串讲 一元一次不等式（考点串讲，5大考点+6大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 一元一次不等式 （6考点&8题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：不等式的概念 用不等号(＞,＜,≥,≤)表示数量之间关系的式子叫作不等式. 等式 不等式 定义 用等号表示相等关系的式子 “＝” 用不等号表示不等关系的式子 “＞”“＜”“≥”“≤”“≠” 如果a＞b，b＞c，那么a＞c；如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 根据数的大小关系的传递性，可以得到： 考点透视 表示不等关系的日常用语： 小于、不足 大于、高于 不大于、不超过、至多 不小于、不低于、至少 不相等 ＜ ＞ ≤ ≥ ≠ 考点透视 列不等式的基本步骤： （1）找准描述不等关系的词语； （2）用代数式表示相关量； （3）用不等号将具有不等关系的量连接起来. 考点透视 考点二：不等式的基本性质 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质1： 如果a＞b，那么a±c＞b±c. 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 不等式的基本性质2： 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）； 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）. 考点透视 考点三：一元一次不等式的概念及解 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown). 把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集. 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 求不等式解集的过程叫作解不等式. 考点透视 不等式的解与解集有什么区别与联系？ 不等式的解 不等式的解集 例如：不等 式x＋1＞2 x＝2，3等 x＞1 区别 不等式的解是使不等 式成立的未知数的值 不等式的解集是能使不等式 成立的所有未知数的值 联系 解集包含所有的解，所有的解组成解集. 注意：不等式的解一般有无数个. 考点透视 考点四：解一元一次不等式 步骤 移项 合并同类项 系数化为1 解简单的一元一次不等式的基本步骤和注意点是什么？ 注意点 移项要变号 字母不变，系数相加 等式两边同除以系数： 正数方向不变，负数方向改变 考点透视 解一元一次不等式的步骤、依据和注意事项： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质2. (1)不要漏乘不含分母的项； (2)若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以反过来). 乘法分配律、去括号法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 考点透视 移项 把含未知数的项都移到 不等号的一边，常数项 都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质1. (1)所移的项要改变符号，不移的项不变号； (2)移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 系数相加，字母及字母 的指数不变. 合并同类项法则. 将未知数的系 数化为1 不等式的两边都除以未知数的系数(或乘未知数的系数的倒数)，将不等式化为𝑥>𝑐 或𝑥<𝑐(𝑐为常数) 的形式. 不等式的基本性质2. 当不等式两边都除以（或乘）同一个负数时，不等号的方向要改变. 考点透视 考点五：一元一次不等式组的概念与解法 把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. (1) 这里的“几个”是指两个或两个以上； (2) 每个不等式只能是一元一次不等式； (3) 每个不等式必须含有同一个未知数． 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫作这个不等式组的解集. 求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 考点透视 考点六：一元一次不等式解决问题 用一元一次不等式解决问题的基本步骤是什么？ 步骤 注意事项 审 认真审题,找出已知量和未知量,并找出它们之间的不等关系. 抓住题目中的关键字眼,如“大于”“小于”“不小于”“至少”“超过”等. 设 设出适当的未知数. 表示不等关系的文字如“至少”“最多”等不能出现. 列 根据题中的不等关系列出不等式. 两边所表示的量应该相同,并且单位要统一. 解 解不等式,求出其解集. 不等号方向及符号等不要出错. 验 检验所求出的不等式的解集是否符合题意. 一满足不等式；二符合实际意义. 答 写出答案. 应把表示不等关系的文字补上. 考点透视 用一元一次不等式解决问题的关键和注意点分别是什么？ 关键：找出一个能表示实际问题意义的不等关系. 注意点：解出一元一次不等式的解集后，要根据题意确定符合条件的特殊解.  考点透视 实际问题 建立数学模型 一元一次不等式(组) 找不等关系 设未知数，列不等式 不等式(组)的解集 实际问题的解 检验 解不等式 应用一元一次不等式(组)解决实际问题： 转 化 题型剖析 题型一：不等式的基本概念 【例1】用不等式表示下列数量之间的关系： (1) m（m≠0）的倒数小于－5； (2) x的3倍与y的差大于等于－1； (3) 小丽每天睡眠时间超过9 h，昨天她的睡眠时间是 t h； (4) 某校男子跳高纪录是1.79 m，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是h m，打破了该项纪录. 解：(1)＜－5；(2)3x－y≥－1；(3)t＞9；(4)h＞1.79. 【变式】用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 题型剖析 题型二：不等式的基本性质 【例2】利用不等式的基本性质，将下列不等式化成x＞c或x＜c (c为常数)的形式. （1）x＋5＞2； （2）－2x＞4； （3）3x＜x＋5. 解：(1)根据不等式的基本性质1，在不等式x＋5＞2两边都减去5，得 x＞－3 . (2)根据不等式的基本性质2，在不等式－2x＞4两边都除以－2，得 x＜－2 . (3)根据不等式的基本性质1，在不等式3x＜x＋5两边都减去x，得 2x＜5； 根据不等式的基本性质2，在不等式2x＜5两边都除以2，得 x＜. 【变式】说出下列不等式的变形依据． (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 解：(1)根据不等式的性质，不等式的两边同时减去． (2)根据不等式的性质，不等式的两边同时除以． (2)不等式的性质，不等式的两边同除以． 解：（1）在不等式两边同时减去，不等号方向不变， 得：； （2）在不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得：. 【变式】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“”或“”的形式： (1)； (2). 【变式】仿例：已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴（不等式的基本性质2） 根据仿例，请解答：已知，试比较与的大小，两种方法解答． 解：方法一：∵，（已知）， ∴（不等式的基本性质2）； 方法二：∵， ∴，即（不等式的基本性质1）． 题型剖析 题型三：不等式的解集 解：（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． 【例3】下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ （1）x=1；（2）x=3；（3）x=10；（4）x=12． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【变式】对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 题型剖析 题型四：一元一次不等式的解法 (1) 4x ≥ 2x＋3 ； 【例4】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． 解：移项，得 4x－2x≥3 合并同类项，得 2x≥3 系数化为1，得 x≥1.5 这个不等式的解集在数轴上表示如下： (2)－x－1＞2. 移项，得 －x＞2＋1 合并同类项，得 －x＞3 系数化为1，得 x ＜－6 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 0 1.5 －6 0 【变式】求一元一次不等式10(x＋4)＋x ≤73的非负整数解． 解： 10x＋40＋x≤73 11x≤33 x≤3 x的非负整数解是0，1，2，3. 0 2 3 1 【变式】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) 3x＞5x－4； 解：(1)移项，得3x－5x＞－4 合并同类项，得－2x＞－4. 系数化为1，得x＜2. 在数轴上表示解集为： 0 2 (2) 4x＋5≥1－2x. (2)移项，得4x＋2x≥1－5 合并同类项，得6x≥－4. 系数化为1，得x≥－. 在数轴上表示解集为： － 0 【变式】已知关于x的不等式3x－3＜a－ax的解集是x＞1，求a的范围． 解：由已知， 3x＋ax ＜a＋3 (a＋3) x＜a＋3 ∵x＞1 ∴3＋a ＜ 0 a ＜ －3． 【变式】当x取何非负整数值时，代数式2x－4的值不大于2？ 解: 2x－4 ≤ 2 2x ≤ 2＋4 2x ≤ 6 x ≤ 3. ∴非负整数值为0，1，2，3. 题型剖析 题型五：一元一次不等式的特殊解法 【例5】已知y＝1－2x. (1) 当x为何值时，＞1？ 解：(1) 因为y＝1－2x， 所以＞1. 解得 x＞1. 即当x＞1时， ＞1 . (2) 当y为何值时，x≤－1？ 解：(2) 因为y＝1－2x，所以x， 则≤－1，解得 y≥3. 即当y≥3时，x≤－1. 【变式】已知x＝3是关于x的不等式3x－＞的解，求a的取值范围. 解：∵x＝3是关于x的不等式3x－＞的解， ∴9－＞2， 解得a＜4. 【变式】当x取哪些正整数时，代数式3－ 的值不小于代数式的值？ 解：依题意，得3－ ≥ 去分母，得24－3(x＋2)≥2(x－1), 去括号，得24－3x－6≥2x－2, 移项，得－2x－3x≥6－24－2, 合并同类项，得－5x≥－20, 系数化为1，得x≤4, 因为x是正整数，所以x为1，2，3，4， 故x取正整数1，2，3，4时，代数式3－ 的值不小于代数式的值． 【变式】当代数式 的值不大于3时，求x的非负整数解. 解：由题意得： ≤3 去分母得：5(x＋3)－2(x－1)≤30 去括号得： 5x＋15－2x－2≤30 移项、合并同类项得： 3x≤13 两边同时除以3得： x≤ 所以满足x≤ 的非负整数解是0，1，2，3，4. 题型剖析 题型六：一元一次不等式组的解集 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为：． 【例6】求不等式组的整数解． 【变式】已知关于x，y的二元一次方程组 (1) 若方程组的解是正数，求m的取值范围； 解：（1）解方程组，得， ∵方程组的解是正数， ∴， 解得． 已知关于x，y的二元一次方程组 (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 解：（2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【变式】若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是____________. 【变式】若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是________________. m≥2 －3≤a＜－2 题型剖析 题型七：不等式组解的情况求参数 【例7】已知关于x的不等式组当常数m取何值时，不等式组无解？ 解：解不等式①，得x＞－. 解不等式②，得x≤－1. ∵不等式组无解，∴－≥－1. 解得m≤3. ∴当m≤3时，不等式组无解. －1 0 － 在数轴上表示不等式①和②的解集： 【变式】若不等式组有解，求 a 的取值范围. 解：解不等式①，得 x≥-a. 解不等式②，得 x<1. ①当 -a>1 时即 a<-1，不等式组无解，不符合题意； ②当 -a=1 时即 a=-1，不等式组无解，不符合题意； ③当 -a<1 时即 a>-1，不等式组有解. ∴ -a<1，即 a>-1. 题型剖析 题型八：一元一次不等式组的实际应用 【例8】 如图，用4根火柴棒可以搭1个正方形，用7根火柴棒可以搭2个正方形，用10根火柴棒可以搭3个正方形. 照此搭法，用50根火柴棒最多可以搭多少个正方形？ 解：设用50根火柴棒可以搭n个正方形. 根据题意，得4＋3(n－1)＜50 解这个不等式，得 n＜ 因为n为整数，所以n的最小值为16. 答：用50根火柴棒最多可以搭16个正方形. 【变式】小明和弟弟一起看足球比赛直播，小明想考一考弟弟：甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每对胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分超过22分. 甲队至少胜了多少场？ 解：设甲队胜了x场，则平了(10－x)场. 根据题意，得：3x＋(10－x)＞22 答：甲队至少胜了7场 . 解不等式，得： x＞， x取最小的正整数为7， 【变式】某公园出售一次性使用的门票，每张10元，为了吸引更多游客，最近推出购买“个人年票”的活动(从购买日起，可供持票者使用一年).年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票. 某游客一年中进入该公园至少要超过多少次，购买A类年票才较合算？ 解：设某游客一年中进入该公园x次，则购买A类年票需花费100元，购买B类年 票需花费(50＋2x)元. 由题意，得100＜50＋2x，解得x＞25. 答：某游客一年中进入该公园至少要超过25次，购买A类年票才较合算. 解：设小滨购买了x本笔记本，则购买了(25−x)支水笔， 根据题意可得：6x＋3(25－x)≤100， 解得：≤， ∵x为正整数， ∴x＝8， 答：小滨最多能买的笔记本数是8本． 【变式】小滨用100元钱去购买笔记本和水笔共25件．已知每本笔记本6元，每支水笔3元，求小滨最多能买多少本笔记本？ 【变式】现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，在每辆车都满载的情况下，甲种运输车需要安排多少辆？ 解：设甲种运输车运输x吨，则乙种运输车运输(46－x)吨. 根据题意得： ≤10 解这个不等式，得：x≥30， ＝6. 答：甲种运输车需要安排6辆. 【变式】某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元． (1)每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？ 解：(1)设每个甲种驱蚊手环的售价x元，每个乙种驱蚊手环的售价是y元， 根据题意得， ，解得: ， 答：每个甲种驱蚊手环的售价是36元，每个乙种驱蚊手环的售价是20元. (2)某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？ 解：(2)设购买甲种驱蚊手环m个，则购买乙种驱蚊手环(100－m)个， 根据题意得：36m＋20(100－m)≤2500， 解得， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为31. 答：最多可购买甲种驱蚊手环31个. 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知 ，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵ ，∴ ，故该选项不符合题意； B、∵ ，∴ ，则 ，故该选项符合题意； C、∵ ，∴ ，故该选项不符合题意； D、∵ ，∴ ，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知 、 为常数，若 的解集为 ，则 的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ 的解集为 ， 又∵不等号发生了变化，∴ ， 又∵ ，解得： ，∴ ，即 ，∴ ， 将 代入不等式，可得： ， 解得： ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）关于 的方程 的解是非负整数，且关于 的不等式组 有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数 的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【详解】解：由方程 得： ， ∵关于 的方程 的解是非负整数，∴ ，解得 ， 解不等式组 得： ， ∵此不等式组有且仅有3个整数解，∴ ，解得： ， ∴ ， ∵关于 的方程 的解是非负整数， ， ∴符合条件的所有整数 的和是： ， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）若关于 的不等式组 无解，则 的取值范围是 ． 【详解】解： 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∵原不等式组无解， ∴ ， 故答案为： ． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组 恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【详解】解： ， 解不等式 得： ， 解不等式 得： ， 则不等式组的解集是： ， 不等式组有3个整数解，则整数解是4，5，6， 则 ． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）学校计划为年级参加“校园心理剧”获奖班级购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需200元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需260元．黄主任准备购买A、B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的 ，问： (1) 、 两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题） (2) 种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题） 【详解】（1）解：设 种奖品的单价为 元， 种奖品的单价为 元， 依题意得： ，解得： ． 答： 、 两种奖品的单价分别是 元和 元； （2）解：设购买 种奖品 个，则购买 种奖品 个， 种奖品的数量不小于 种奖品数量的 ， ， ， 又 为整数， ． 种奖品至少买8个． 1．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若 ，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A. 若 ，则 ，故选项错误，不符合题意； B. 若 ，则 ，故选项正确，符合题意； C. 若 ，则 ，故选项错误，不符合题意；     D. 若 ，则 ，故选项错误，不符合题意； 故选：D 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的 解满足 ，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】解： 得： ，∴ ， ∵ ，∴ ，解得 ， 故选：A． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于 的二元一次方程组 满足 ，则 的取值范围是 ． 【详解】解： ，得 ∵ ∴ ， 解得 ， 故答案为： ． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若关于 的不等式组 有解，则的取值范围是 ． 【详解】解：∵关于 的不等式组 有解， ∴ ， 故答案为： ． 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知 ． (1) ______（用含x的代数式表示）； (2)当y是非负数时，x的取值范围是_____； (3)当 时，求x的取值范围． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为： ； （2）解：由（1）知 ， 当y是非负数时， 即 ，解得： ，故答案为： ； （3）解：当 时，即 ， 解得： ． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州．”在2024年扬州“烟花三月”国际经贸旅游节来临之际，东关街某商店老板计划购进A、B两款茉莉花造型陶瓷手链进行销售．已知A、B两款手链的进价和售价如表所示． A款手链 B款手链 进价（元/个） 18 15 售价（元/个） 25 20 (1)若该商店老板购进A、B两款手链共50个，花费855元，求购进A、B两款手链各多少个；（请用二元一次方程组解决问题） (2)若该商店老板购进A、B两款手链共40个，卖完全部手链后要保证利润不低于268元，求至少购进A款手链多少个． 【详解】（1）解：设A款手链购进x个，B款手链购进y个，则： 解得： 答：A款手链购进35个，B款手链购进15个． （2）解：设A款手链购进m个，则： 解得： 答：A款手链至少购进34个． $$