串讲 图形的变换（考点串讲，8大考点+9大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 图形的变换（8考点&9题型） 苏科版2024 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选6道真题对应考点练 考点透视 考点一：平移的概念 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 决定平移两要素：平移的方向和距离. 平移的方向：射线BB'(或CC'或AA')的方向. 平移的距离：线段BB'(或CC'或AA')的长度. 平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点二：平移的性质与作图 平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行(或在同一条直线上)且相等. 平移作图的基本步骤： 定：确定平移的方向和平移的距离； 找：找到构成原图形的关键点； 移：将找到的关键点按照题目要求的方向和距离进行平移; 确定对应点，并标上相应的字母； 连：按原图形关键点的顺序依次连接各对应点； 写：写出结论. 考点透视 考点三：轴对称的概念 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴,此时称这两个图形成轴对称. 成轴对称的两个图形的对称轴有且只有一条. 成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点四：垂直平分线的性质 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线,简称中垂线. ● ● B A ● O l ∵ 直线l ⊥AB，垂足为O， 且OA＝OB， ∴ 直线l是线段AB的垂直平分线． 符号语言： 考点透视 考点五：轴对称的性质 成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 也就是说，成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. ∵ △ABC与△A'B'C'关于直线l对称， 符号语言： ∴ 直线l是线段AA，BB'，CC'的垂直平分线． 考点透视 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）一找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点(顶点或拐点)； （2）二作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）三连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 考点透视 考点六：轴对称图形 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身， 那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 轴对称图形至少有一条对称轴. 正n边形有n条对称轴. 要判断一个图形是否为轴对称图形，可以把这个图形沿某一条直线对折，如果对折后的两部分关于这条直线对称，那么原来的图形就是轴对称图形，这条直线是对称轴. 考点透视 画轴对称图形的对称轴的方法： (1)找出轴对称图形的任意一对对称点； (2)连接这对对称点； (3)画出对称点所连线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是该轴对称 图形的对称轴. 考点透视 考点七：旋转图形 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转(rotation)，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. “把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度”意味着图形上的每一个点同时都按相同的方式旋转相同的角度. 旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 考点透视 考点八：旋转的性质 旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 考点透视 旋转、平移和轴对称的有哪些相同点？有哪些不同点? 变换异同 旋转 平移 轴对称 不 同 点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点 情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 题型剖析 题型一：图形的平移 【例1】如图，分别画出点A、B向右平移5个单位长度后的点A'、B'，连接A'B'. 线段A'B'即为所求. 解：如图，分别画出点A，B向右平移5个单位长度后的点A'，B'，连接A'B'. A' B' 线段A'B'即为所求. 【变式】如图所示，将网格纸中的图形先向左平移3格，再向下平移4格，画出平移后的图形． 题型剖析 题型二：利用平移的性质解决问题 【例2】将△ABC沿点B到点C的方向平移得到△DEF. (1)若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； A B D E F C 解：(1)由图形平移的性质可知: ∠ACB＝∠F＝26°. 因为∠B＝74°， 所以∠A＝180°－(∠ACB＋∠B) ＝180°－(26°＋74°)＝80°. (2)若BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm，求△ABC平移的距离． A B D E F C (2)因为BC＝4.5 cm，EC＝3.5 cm， 所以BE＝BC－EC＝4.5－3.5＝1(cm)， 所以△ABC平移的距离为1 cm. (2) 平移的距离是_____，△DEF的面积是_____. 7 3 【变式】如图，将面积为3的△ABC 沿BC方向平移到三角形DEF的位置，CE＝5，EF＝2，∠B＝40°，则 2 40° (1) BC＝_____，∠DEF＝______； 【变式】在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案经过一次平移得到的，则平移的距离是______． 6 题型剖析 题型三：平移作图 【例1】平移图中的△ABC，使点A移到点A'的位置，画出平移后的三角形. A B C A' C' B' 解：(1) 连接AA'； (2) 分别过点B、C画AA'的平行线BD、CE； (3) 分别在BD、CE上截取BB ' ＝AA'，CC'＝AA'； (3) 连接A 'C'，C'B'，A'B'； △A'B'C'就是所要画的三角形. l1 l2 【变式】平移图中的正六边形ABCDEF，使点C移到点E的位置，画出平移后的正六边形. A B C F E D F' A' E' D' 【变式】如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm． 题型剖析 题型四：轴对称图形 【例4】如图，△ABC沿着直线MN折叠后，与△DEF完全重合． (1)△ABC与△DEF关于直线________对称，直线MN是________； (2)点B的对称点是________； (3)PC＝_______，PD＝______． MN 对称轴 点E PF PA 【变式】如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上． 若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)求出BF的长度； B AC (2)解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称， ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC－FC＝3cm． (3)解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°， ∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD－∠EAC＝76°－58°＝18°． 题型剖析 题型五：垂直平分线 【例5】如图，直线是线段 的垂直平分线，点,是线段上的两点 且 .试说明点,关于直线 对称. 解：因为直线是线段 的垂直平分线, 所以, . 因为,所以, 即 , 所以直线是线段的垂直平分线， 所以点，关于直线 对称. 【变式】如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.4 cm，则四边形ACBD的周长为_____cm. 8 题型剖析 题型六：旋转图形 【例6】如图，A、B、C 三点共线，△ACD和△BCE都是等边三角形，△ACE 旋转后到达△DCB 的位置. （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转方向是什么？ （3）旋转角是多少度？ 解：（1）点C 是旋转中心. （2）旋转方向是顺时针方向. （3）旋转角是60°. 【变式】如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的一点，将△ABD按逆时针方向旋转一定角度后到达△ACE的位置.(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转了多少度? (3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后， 点M旋转到了什么位置? 解：(1)旋转中心是点A. (2)旋转了60°. (3)点M旋转到了线段AC中点的位置上. A B C D E M 题型剖析 题型七：旋转的性质 【例7】如图，把△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AB'C'. 已知∠BAC＝50°，求∠CAB'，∠BAC′的大小. A B C C′ B' 解：根据题意，点B，C的对应点分别为B'，C'， 所以∠BAB'＝60°. 因为∠CAB′＝∠BAB'－∠BAC，∠BAC＝50°， 所以∠CAB′＝60°－50°＝10°. 因为∠BAC′＝∠BAB'＋∠B'AC， ∠B'AC′＝∠BAC＝50°， 所以∠BAC′＝60°＋50°＝110°. 【变式】如图，将ABC逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜360°)后得到DEC，点D恰好为BC的中点． (1)若∠ACE＝140°，指出旋转中心，并求出α的值； 解：(1)∵△DEC由△ABC逆时针旋转得到， ∴∠ACB＝∠DCE，AC＝DC， ∵∠ACE＝140°，∠ACB＋∠DCE＋∠ACE＝360°， ∴∠ACB＝∠DCE＝(360°－140°)÷2＝110°， ∴旋转中心为点C，旋转角度为110°. 如图，将ABC逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜360°)后得到DEC，点D恰好为BC的中点． (2)若CE＝10，求AC的长． 解：(2)由旋转得，CE＝CB＝10，AC＝DC， ∵点D恰好为BC的中点， ∴， ∴． 题型剖析 题型八：旋转作图 【例8】如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； O 解：(1)如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． O (3) ． 解：(2)如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 题型剖析 题型九：图形的变换综合 【例9】如图，的三个顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，点O为外一点． (1)将先向右平移4个单位长度得到，作出平移后的图形； 解：(1)平移后的图形如图所示． A1 C1 B1 (2)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的图形； 解：(2)旋转后的图形如图所示． A1 C1 B1 A2 C2 B2 (3)可以看作是经过什么变换得到的？ 解：(3)如图，连结交于一点， 可以看作是绕点顺时针旋转得到． A1 C1 B1 A2 C2 B2 D 【变式】如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm. (1)求△OEF的周长； 解：(1)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴ME＝EO，FN＝FO. ∴△OEF的周长为 OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN ＝MN ＝5(cm)． A B P M E N F O (2)连接PM、PN，判断△PMN的形状，并说明理由； A B P M E N F O 解：(2)连接PO. ∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴PM＝PO，PO＝PN， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． (3)若∠APB＝α，求∠MPN的度数．(用含α的代数式表示) A B P M E N F O 解：(3)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点， ∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN， ∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α， ∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO ＝∠APB＝α， ∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN ＝α＋α＝2α. 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25·七年级下·江苏徐州·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【详解】解：根据题干可知哪吒图片的变换顺序为轴对称，平移，旋转， 故选：A 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在 的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在网格中与 成轴对称的格点三角形最多能画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解：在网格中与△成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知 ， 分别是长方形纸条 边 ， 上两点（其中 且 ），如图 所示沿 ， 所在直线进行第一次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ， 交 于点 ． (1)若 ，则 的度数为 ． (2)如图 ，继续沿 进行第二次折叠，点 ， 的对应点分别为点 ， ． ①若 ，则 的度数为 ． ②若 ，请求出 的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． ∴折叠可知 ． 又∵ ， ∴ ． （2）解：①∴折叠可知 ， ∴ ． 又∵ ，且 ， ∴ ． ②设 ，则 ． ∵ ， ∴ ． ∴折叠可知 ， ． ∵ ， ， ，且 ， ∴ ， ． ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 解得 ． ∴ ． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为 ，点 、 、 、 、 均在格点（网格线的交点）上． (1)画 ，使它与 关于直线 成轴对称． (2)画 ，使它与 关于点 成中心对称． (3)小明在玩激光反射游戏，平面镜位于直线 上，他需要从点处发射激光，经镜面反射后击中目标点 ，请在直线 上作出反射点 ． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）如图， 即为所求； （3）如图，连接 交 与点 ，则点 即为所求． 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．下列选项分别是扬州大学、扬州五亭桥、扬州中国大运河博物馆、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（　　） A．B．C． D． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点A逆时针旋转 到 的位置，则 ． 【详解】解：由旋转的性质可得： ， ∴ ， 故答案为：35． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在 中， ， 沿 翻折到 的位置，然后将 沿 翻折到 的位置，且 ，则 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 沿 翻折到 的位置， EMBED Equation.DSMT4 ． 将 沿 翻折到 的位置， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将 逆时针旋转一定角度 后得到 ，点D恰好为 的中点． (1)若 ，指出旋转中心，并求出 的值； (2)若 ，求 的长． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴旋转中心为点C， 的值为 ； （2）解：由旋转知 ， ， 又∵点D恰好为 的中点， ∴ ． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形 中， ， ，连接 ，将四边形 绕着点 逆时针旋转至四边形 ，使 落在 边上． (1)若 ，求 的大小； (2)若 ， 的周长为9，求 的长． 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 将四边形 绕着点 逆时针旋转至四边形 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）解： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 将四边形 绕着点 逆时针旋转至四边形 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶点都在格点上． (1)在图①中把 向右平移4格，再向上平移2格得到 ，画出 ； (2)在图②中把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，画出 ； (3)将图②中画出的 ，绕点 顺时针旋转 ，得到 ，画出 ； (4)填空：图②中AC与 的关系为___________． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：如图所示， 即为所求； （3）解：如图所示， 即为所求； （4）平行且相等 因为 绕点 顺时针旋转 可得到 （两次旋转 ），根据旋转性质，对应线段平行且相等， 所以AC与 的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等． $$