串讲 整式乘法（考点串讲，4大考点+9大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 整式乘法（4考点&9题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 九大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：整式的乘法 1、单项式乘以单项式： （2）相同字母的幂分别相乘 （3）只在一个单项式中现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式. （1）系数相乘 考点透视 单×单＝(系数×系数)(同底数幂×同底数幂)(单独的幂) 注意：（1）注意符号 （2）运算顺序 （3）防止遗漏 考点透视 2、单项式与多项式相乘的法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. m(a+b+c)= ma+mb+mc (m，a，b，c都是单项式) 考点透视 3、多项式与多项式相乘的法则 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． (a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq 考点透视 考点二：平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 平方差公式 特点: 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另一项互为相反数； 右边是相同项的平方减去相反项的平方. (a+b)(a-b)=a2-b2 注意：公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是 单项式或者多项式. 考点透视 考点三：完全平方公式 完全平方公式的文字叙述： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2 完全平方公式 注：公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 考点透视 考点四：整式的除法 1、单项式除以单项式： （2）相同字母的幂分别相除 （3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. （1）系数相除 考点透视 单÷单＝(系数÷系数)(同底数幂÷同底数幂)(单独的幂) 注意：（1）注意符号 （2）运算顺序 （3）防止遗漏 考点透视 a+ b+c = (am +bm+cm) ÷m 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 2、多项式除单项式法 注意：两项相除时，先定符号. 题型剖析 题型一：单项式与单项式相乘 【例1】计算： （1）(－5a2b)(－3a)；　　　（2）(2x)3(－5xy2)． 解： (－5a2b)(－3a) ＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b ＝15a3b；　　　 解： (2x)3(－5xy2) ＝8x3·(－5xy2) ＝[8×(－5)](x3·x)·y2 ＝－40x4y2． 归纳总结 注意: （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与单项式的乘法法则 【变式】已知6an＋1bn＋2与－3a2m－1b的积与2a5b6是同类项，求m，n的值． 分析：先将单项式相乘，再根据同类项的定义得到关 于m，n的方程． 解：(6an＋1bn＋2)(－3a2m－1b)＝－18a2m＋nbn＋3， 所以－18a2m＋nbn＋3与2a5b6是同类项． 所以2m＋n＝5 ①，n＋3＝6 ②. 由②解得n＝3，代入①解得m＝1. 所以m＝1，n＝3. 【变式】有理数x，y满足条件|2x＋4|＋(x＋3y＋5)2＝0， 求(－2xy)2·(－y2)·6xy2的值． 解：由题意得2x＋4＝0，x＋3y＋5＝0， 解得x＝－2，y＝－1. 所以(－2xy)2·(－y2)·6xy2＝4x2y2·(－y2)·6xy2＝－24x3y6. 当x＝－2，y＝－1时， 原式＝－24×(－2)3×(－1)6＝－24×(－8)×1＝192. 【变式】计算： (1)(－3x)2－8x·2x； (2)(－4xy2)·(2x2y)2. 解：原式＝(－4xy2)(4x4y2)＝－16x5y4 解： 原式＝9x2－16x2＝－7x2 【变式】计算： (3)4ab2·(－a2b)3； (4)2x·3y2＋8x·(－ y)2. 解：原式＝4ab2·(－a6b3)＝－4a7b5 解：原式＝6xy2＋8x· y2＝6xy2＋2xy2＝8xy2 题型剖析 题型二：单项式与多项式相乘 【例2】 计算： (1) 2ab(5ab2+3a2b)； (2) ； (3) 5m2n(2n + 3m－n2)； (4) 2(x+y2z + xy2z3)·xyz . 解：(1) 2ab(5ab2+3a2b) =2ab·5ab2 + 2ab·3a2b =10a2b3 +6a3b2； (3) 5m2n(2n + 3m－n2) =5m2n·2n +5m2n·3m－5m2n·n2 =10m2n2 +15m3n－5m2n3 ； (4) 2(x + y2z + xy2z3)·xyz =(2x +2 y2z + 2xy2z3)·xyz =2x·xyz +2 y2z·xyz +2xy2z3·xyz =2x2yz +2xy3z2 +2x2y3z4. 【变式】先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 当a＝2时，原式＝－82. 【变式】化简求值：x2(x－1)－x(x2＋x－1)，其中，x＝ . 解：原式＝x3－x2－x3－x2＋x ＝－2x2＋x 当x＝ 时，原式＝ 【变式】化简求值：x(x2－1)＋2x2(x＋1)－3x(2x－5)，其中，x＝－1. 解：原式＝x3－x＋2x3＋2x2－6x2＋15x ＝3x3－4x2＋14x 当x＝－1时， 原式＝3×(－1)3－4×(－1)2＋14×(－1) ＝－3－4－14 ＝－21 题型剖析 题型三：多项式乘多项式 【例3】计算： (1) (1－x) (0.6－x)； (2) (2x + y) (x－y) . 解：(1) (1－x) (0.6－x) =1×0.6－1× x + x×0.6 + x·x =0.6－x－0.6x+ x2 =0.6－1.6x+ x2 ； (2) (2x + y) (x－y) =2x·x－2x·y + y·x－y·y =2x2－2xy+xy－y2 =2x2－xy－y2. 【变式】计算:(1)(3x+1)(x+2)； (2)(x-8y)(x-y)； (3) (x+y)(x2-xy+y2). 解： (1) 原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2 =3x2+6x+x+2 =3x2+7x+2； (2) 原式=x·x-xy-8xy+8y2 =x2-9xy+8y2； (3) 原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2 =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 = x3+y3. 【变式】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1. 解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. 【变式】计算： （1）x(x2+x-1)-(2x2-1)(x-4)． 解：原式=x3+x2-x-(2x3-8x2-x+4) =x3+x2-x-2x3+8x2+x-4 =-x3+9x2-4. （2）(x+5)(2x-3)-2x(x2-2x+3). 解：原式=2x2-3x+10x-15-2x3+4x2-6x =-2x3+6x2+x-15. 题型剖析 题型四：平方差公式 【例4】利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) . 解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 . = ( x + y)2 – z2 解： 原式=[( x + y) + z][( x + y) – z] 【变式】利用平方差公式计算： ( x + y+z)( x + y – z). 当 m = 2 时，原式 = 24 – 16 = 0 = m4 – 16 = (m2 – 4)(m2 + 4) =(m + 2)(m – 2)(m2 + 4) 解:（1） (m + 2)(m2 + 4)(m – 2) 【变式】先化简，再求值 ： (m + 2)(m2 + 4)(m – 2)，其中m = 2. 【变式】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 【变式】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1). 解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1) ＝(24－1)(24＋1)(28＋1) ＝(28－1)(28＋1) ＝216－1 题型剖析 题型五：平方差公式与几何图形 【例5】如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形． (1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 分析：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，再计算图②中阴影部分面积为S2＝ (2b＋2a) (a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式． 解：(1) S1＝a2－b2， S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)． (2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2. 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16. ∵a2＞a2－16， ∴李大妈吃亏了． 【变式】王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 【变式】如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　) A.a(a－b)＝a2－ab B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C.(a－b)2＝a2－b2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b) D 【变式】(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是　　　 (写成两数平方差的形式); (2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则这个长方形的宽是　　　　,长是　　　,面积是　　　　　 (写成多项式乘法的形式); (3)比较图①②中阴影部分的面积, 可以得到什么结论? a2－b2 a－b a+b (a+b)(a－b) 结论:(a+b)(a-b)=a2-b2. 题型剖析 题型六：完全平方公式 解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)] = x2－(2y－3)2 = x2－(4y2－12y+9) = x2－4y2+12y－9. 【例6】运用乘法公式计算: (1) (x+2y－3)(x－2y+3) ; (2) (a+b－5)2. 解：原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61. 【变式】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平 方式，求m的值． 【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　 (1)(3x＋5y)2; 解：原式＝(3x)2＋2·3x·5y＋(5y)2 ＝9x2＋30xy＋25y2 解：原式＝(2x)2－2·2x· ＝4x2－2x＋ 【变式】计算：　　　　　　　　　　　　　　 (1)(4x－3y)2; 解：原式＝(4x)2－2·4x·3y＋(3y)2 ＝16x2－24xy＋9y2 解：原式 题型剖析 题型七：完全平方公式的运用 【例7】七年级2班的49名同学准备定制统一的T恤去春游，据了解，一件T恤的价格为49元，班长小亮正在计算总的费用时，小明立马给出答案，2401元。你知道小明为什么算这么快吗？ 小明的做法如下： 【变式】计算： (1)(x+3)2－x2； (2) (a+b+3)(a+b－3)； (3) (x+5)2－(x－2) (x－3) . 解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2=6x+9 (2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3] = (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9； (3) (x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 . 【变式】已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值. 分析：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解． 解：因为a2＋b2＝13，ab＝6， 所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25； (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1. 【变式】已知(a＋b)2＝19，ab＝2. (1)求a2＋b2的值； (2)求(a－b)2的值. 解：(1)(a＋b)2＝19 则a2＋b2＋2ab＝19 将ab＝2代入，得 a2＋b2＋2×2＝19 则a2＋b2＝15 (2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab ＝15－2×2 ＝11 【变式】一个圆的半径长为r(r>2) cm，减少2 cm后，这个圆的面积减少了多少？ 解：∵圆的半径长为r(r＞2) cm，减少2 cm后的半径变为 (r－2) cm. 则半径减少后圆的面积为： π(r－2)2＝π(r2－4r＋4)＝πr2－4πr＋4π. ∴圆的面积减少了：πr2－(πr2－4πr＋4π)＝(4πr－4π) cm2. 题型剖析 题型八：单项式除以单项式 【例8】计算： 分析：（1）（2）直接运用单项式除法的运算法则； （3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除； （4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算． 解：(1) (2)10a4b3c2÷5a3bc =(10÷5) a4-3b3-1c2-1=2ab2c； (3)(2x2y)3·(-7xy2) ÷14x4y3 = 8x6y3·(-7xy2) ÷14x4y3 = -56x7y5 ÷14x4y3 = -4x3y2 ； (4)(2a+b)4÷ (2a+b)2 = (2a+b)4-2 = (2a+b)2 = 4a2+4ab+b2 . 【变式】已知(－3x4y3)3÷ ＝mx8y7，求n－m的值 . 导引：先利用单项式除以单项式法则计算等式左边的 式子，再与等式右边的式子进行比较求解． 解：因为 ＝18x12－ny7， 所以18x12－ny7＝mx8y7.因此m＝18，12－n＝8. 所以n＝4，所以n－m＝4－18＝－14. 题型剖析 题型九：多项式除以单项式 【例9】计算： (1) (6ab+8b)÷2b ； (2) (27a3-15a2+6a)÷3a ； (3) (9x2y-6xy2)÷3xy；(4) 解：(1) (6ab+8b)÷2b = 6ab÷2b+8b÷2b = 3a+4 ； (2) (27a3-15a2+6a)÷3a = 27a3÷3a +(-15a2)÷3a +6a÷3a =9a2-5a+2 ； 解：(3) (9x2y-6xy2)÷3xy = 9x2y÷3xy +(-6xy2) ÷3xy = 3x -2y； (4)   【例9】计算： (1) (6ab+8b)÷2b ； (2) (27a3-15a2+6a)÷3a ； (3) (9x2y-6xy2)÷3xy；(4) 解：原式＝[4(x2y2－2xy＋1)＋ (x2y2－4)] ÷xy ＝ (5x2y2－8xy)÷ xy ＝20xy－32， 当x＝－2，y＝ 时，原式＝－40 【变式】化简求值：[4(xy－1)2－(xy＋2)(2－xy)]÷xy，其中x＝－2，y＝ . (1) (3xy+y) ÷y 解：原式=3xy÷y+y÷y =3x+1 (2) (12a3b2-6a2)÷3a 解：原式=12a3b2÷3a+(－6a2)÷3a =4a2b2+(－2a) =4a2b2－2a (3) (12a3b2-6a2)÷(-3a) 解：原式=12a3b2÷(-3a)+(－6a2)÷(-3a) =－4a2b2+2a 【变式】计算 【变式】化简求值：[(x－y)2＋y(4x－y)－8x]÷2x，其中，x＝8，y＝2 021. 解：原式＝(x2－2xy＋y2＋4xy－y2－8x)÷2x ＝(x2＋2xy－8x)÷2x ＝ x＋y－4 当x＝8，y＝2 009时， 原式＝ ×8＋2 009－4＝2 009 【变式】化简求值：[(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)2]÷(－y)，其中， x＝2，y＝－3. 解：原式＝[4x2－y2－(4x2＋4xy＋y2)]÷(－y) ＝(4x2－y2－4x2－4xy－y2)÷(－y) ＝(－2y2－4xy)÷(－y) ＝2y＋4x 当x＝2，y＝－3时， 原式＝2×(－3)＋4×2＝－6＋8＝2. 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若 且 ，则代数式 的值为（   ） A． B． C．3 D．2 【详解】解： ， 当 ， 时， 原式 EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为：A． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如果 ， ， 等于（   ） A．42 B．40 C．39 D．38 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：B ． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若 是一个完全平方，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得： ． 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若 的结果中不含 的一次项，则 ． 【详解】解： 由结果中不含x的一次项，得到 ，即 , 故答案为： 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）若 ，则 ． 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案为： ． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知点 在线段 上，现如图摆放以 为边的两张正方形卡片，若 ，则阴影部分的面积为 （用含 的代数式表示）；若 ，且两个正方形的面积之和为 ，则阴影部分的面积是 ． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵以 为边的正方形的边长为 ，以 为边的正方形的边长为 ， ∴ ， 若 ，且两个正方形的面积之和为 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 故答案为：① ；② ． 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知 ，则 的值是 ． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为：9． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）计算： 【详解】解：原式 ． 3．（23-24·七年级下·江苏常州·期末）先化简，再求值： ，其中 ， ． 【详解】解：原式 ， 当 时， 原式 ． 4．（23-24七年级下·江苏南京·期末）一套住房的部分结构如图所示（单位： ），这套房子的主人打算将卧室铺设500元 的地板，客厅铺设100元 的地砖，浴室和厨房铺设80元 的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 【详解】解：∵浴室的面积为 ，厨房的面积为 ，客厅的面积为 ，卧室的面积为 ， ∴购买所需地板和地砖共 （元）． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① ，图② ； （2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母a、b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知 ，则 的值为 ； ②计算： ； 【拓展】计算 的结果为 ． 【详解】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ， 图②的阴影部分为长为 ，宽为 的矩形，则其面积为 ， 故答案为： ， ； （2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式： ， 故答案为： ； 应用：① ， 故答案为：12； ②原式 ， ， ； 拓展：原式 ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 6．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．请根据以上信息，解答下列问题： (1)已知 ，求 的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若 ，求图中阴影部分的面积； (3)若 ，则 的值为______． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴ ， 解得： ． （2）解：根据题意可得： 图中阴影部分的面积 ． 根据题意，得 ， 即 ， ∵ ， ， 即 ． ∴图中阴影部分的面积 ． （3）解：令 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， 则 ， 故答案为：13． $$