专题03 函数（18题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 平面直角坐标系中的规律问题 题型03 函数自变量的取值范围 题型04 确定函数的解析式 题型05 一次函数的图象和性质 题型06 反比例函数的图象和性质 题型07 二次函数图象的变换 题型08 二次函数的图象和性质 题型09 函数与方程、不等式的关系 题型10 反比例函数k的几何意义 题型11 一次函数与反比例函数综合 题型12 二次函数图象与系数a，b，c的关系 题型13 一次函数的实际问题 题型14 反比例函数的实际问题 题型15 二次函数的实际问题 题型16 动点问题的函数图象 题型17 二次函数的最值与范围问题 题型18 二次函数与几何综合 01平面直角坐标系 1．（2025·山东滨州·一模）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东聊城·一模）到x轴的距离是 ． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点到轴的距离是 ． 4．（2025·山东滨州·一模）如图，在中，、、． (1)是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； (2)将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____； (3)与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 02平面直角坐标系中的规律问题 5．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 6．（2025·山东聊城·一模）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    8．（2025·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．    03函数自变量的取值范围 9．（2025·山东德州·一模）函数中，自变量的取值范围是 ． 10．（2025·山东青岛·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 11．（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 04确定函数的解析式 12．（2025·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 13．（2025·山东淄博·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 . 14．（2025·山东临沂·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式． (3)当时，观察图象，直接写出的解集． 05一次函数的图象和性质 15．（2025·山东德州·一模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 16．（2025·山东临沂·一模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 17．（2025·山东威海·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 06反比例函数的图象和性质 18．（2025·山东日照·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 19．（2025·山东济南·一模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 20．（2025·山东青岛·一模）若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 21．（2025·山东烟台·一模）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 07二次函数图象的变换 22．（2025·山东泰安·一模）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 23．（2025·山东德州·一模）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 24．（2025·山东潍坊·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为 ． 08二次函数的图象和性质 25．（2025·山东淄博·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 26．（2025·山东临沂·一模）如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是(    ) A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值-8 C．图象与轴的一个交点是 D．图象开口向下 27．（2025·山东潍坊·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A．B．C． D． 28．（2025·山东济南·一模）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ． 29．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 09函数与方程、不等式的关系 30．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·山东临沂·一模）已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 33．（2025·山东滨州·一模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 34．（2025·山东滨州·一模）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 35．（2025·山东淄博·一模）如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知． (1)请直接写出该双曲线的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 10反比例函数k的几何意义 36．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 37．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 38．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点在轴的负半轴上，连接．若．的面积为6．则的值为 ． 39．（2025·山东聊城·一模）如图，已知矩形的面积是，它的对角线与反比例函数交于点，且，则 ． 40．（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 11一次函数与反比例函数综合 41．（2025·山东淄博·一模）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 42．（2025·山东潍坊·一模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 43．（2025·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 12二次函数图象与系数a，b，c的关系 44．（2025·山东滨州·一模）如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 45．（2025·山东日照·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点、点、点在该函数图象上，则；（4）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（2025·山东威海·一模）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A．②③ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．③④⑤ 47．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13一次函数的实际问题 48．（2025·山东济宁·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（  ） A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米 49．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 50．（2025·山东济南·一模）甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有 ． 51．（2025·山东德州·一模）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌新能源汽车进行了调查研究，绘制的汽车电池充电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，为保证汽车的正常行驶，在最低电量不低于的情况下汽车就要及时充电．如果在电池的电量剩余时，对汽车开始充电，求电池充满电量需要的时间． 52．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 14反比例函数的实际问题 53．（2025·山东临沂·一模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 54．（2025·山东威海·一模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化（如图2），血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见表格．下列说法不正确的是（    ） 信息窗 （1）血液酒精浓度呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 55．（2024·山东临沂·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 15二次函数的实际问题 56．（2025·山东枣庄·一模）体育课上投掷实心球活动，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米． 57．（2025·山东青岛·一模）某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： (1)求A型笔的销量万支与售价元的关系式； (2)当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； (3)若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 58．（2025·山东潍坊·一模）某快递公司近年来因电商业务激增，决定将人工分拣中心升级为自动分拣中心．该公司对以下两种自动分拣方案进行了调研． 方案A：公司购买安装智能分拣设备．已知分拣设备日处理10万件时，每日总成本为80万元；日处理15万件时，每日总成本达到最低，最低为75万元；日处理20万件时，每日总成本回升至80万元． 方案B：公司外包分拣服务．外包分拣服务除固定的基础服务费50万元/日外，每处理1万件快递需支付外包公司3万元． 设日处理量为x（万件），方案A的日总成本为（万元），方案B的日总成本为（万元）． (1)从一次函数，二次函数或反比例函数中选择适当的函数模型模拟与x的函数关系，求出其表达式； (2)写出与x的函数表达式，并求日处理量为多少万件时，两种方案的日总成本相同？ 16动点问题的函数图象 59．（2025·山东日照·一模）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 60．（2025·山东济宁·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 61．（2025·山东菏泽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 17二次函数的最值与范围问题 62．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 63．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 64．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 65．（2025·山东威海·一模）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 66．（2025·山东聊城·一模）已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 18二次函数与几何综合 67．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 68．（2025·山东青岛·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 69．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值； (3)如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值． 70．（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东威海·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 3．（2025·山东淄博·一模）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（    ） A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3) 4．（2025·山东菏泽·一模）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 5．（2025·山东青岛·一模）若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 7．（2025·山东青岛·一模）若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（   ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（    ） A． B．8 C．6 D． 10．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东聊城·一模）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东济宁·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 14．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 15．（2025·山东济南·一模）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 16．（2025·山东青岛·一模）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往某景区游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程关于的函数图象如图②所示，已知甲出发后追上乙． (1)点B的坐标为______，点C表示的实际意义是______； (2)求的函数解析式； (3)若用表示乙距出发点的路程s与x之间的关系，请在图②中画出的图象． 17．（2025·山东青岛·一模）大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 18．（2025·山东滨州·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ (3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 19．（2025·山东泰安·一模）已知抛物线（为常数）． (1)①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； (2)当时，最小值为，求值； (3)若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 20．（2025·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 21．（2025·山东枣庄·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 22．（2025·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 平面直角坐标系 题型02 平面直角坐标系中的规律问题 题型03 函数自变量的取值范围 题型04 确定函数的解析式 题型05 一次函数的图象和性质 题型06 反比例函数的图象和性质 题型07 二次函数图象的变换 题型08 二次函数的图象和性质 题型09 函数与方程、不等式的关系 题型10 反比例函数k的几何意义 题型11 一次函数与反比例函数综合 题型12 二次函数图象与系数a，b，c的关系 题型13 一次函数的实际问题 题型14 反比例函数的实际问题 题型15 二次函数的实际问题 题型16 动点问题的函数图象 题型17 二次函数的最值与范围问题 题型18 二次函数与几何综合 01平面直角坐标系 1．（2025·山东滨州·一模）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查根据点所在的象限，求参数的范围，在数轴上表示不等式的解集，先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，解得：， 数轴表示如图： 故选：D． 2．（2025·山东聊城·一模）到x轴的距离是 ． 【答案】4 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离．根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，求解即可． 【详解】解：到x轴的距离是， 故答案为：4． 3．（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点到轴的距离是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，得出坐标，进而根据纵坐标的绝对值是到轴的距离，即可得答案． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是，点到轴的距离是， 故答案为：． 4．（2025·山东滨州·一模）如图，在中，、、． (1)是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； (2)将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____； (3)与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 【答案】(1) (2) (3)是， 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与图形变化——轴对称、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了轴对称，旋转，一次函数等知识，解题的关键是结合图形进行求坐标，利用待定系数法求解析式． （1）根据轴对称的性质和关于轴对称的点的坐标即可求出点的坐标； （2）利用网格将图形逆时针绕点逆时针旋转即可得到点的坐标； （3）连接与对应点的线段，线段的垂直平分线即为对称轴解析式． 【详解】（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是， 故答案为：； （2）解：由图可知，点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3）解：由图可知，对称轴经过点和点 假设对称轴的解析式为 将两个点的坐标代入解析式得： 解得 ∴对称轴的解析式为： 故答案为：． 02平面直角坐标系中的规律问题 5．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意，计算出各点的坐标，从中得出坐标4个为一个循环，由此得出结果． 本题考查的是点的坐标变化规律，熟练找出其中的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ．．．．．．． ∴上述坐标4个为一个循环， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 6．（2025·山东聊城·一模）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标系内点的平移运动，由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立；先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键. 【详解】解：由题意得，若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点” 反向运动次即可，可以分为两种情况： 先向右个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是 向右平移个单位得到 , 故矛盾，不成立； 先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， ∴点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， ∴最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ， 故选：． 7．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 8．（2025·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查旋转与坐标规律，根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在x轴负半轴，且， ∴点的坐标为． 故答案为：． 03函数自变量的取值范围 9．（2025·山东德州·一模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且x≠2 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得且， 解得且x≠2． 故答案为：且x≠2． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 10．（2025·山东青岛·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且/且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：函数中，且， 解得：且， 故答案为：且． 11．（2025·山东威海·一模）在函数中，的取值范围 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了函数有意义的条件，二次根式的性质和分式的定义．根据二次根式中被开方数非负及分式中分母不为零的性质进行解答即可． 【详解】解：要使函数有意义， 则，， ∴且， 故答案为：且． 04确定函数的解析式 12．（2025·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，，由绕点A顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用全等三角形求得C的坐标是解题的关键． 过点C作轴于点D，易知，从而求得点C坐标，待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， 过点C作轴于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，将点A，点C坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 13．（2025·山东淄博·一模）点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 . 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 14．（2025·山东临沂·一模）如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式． (3)当时，观察图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解决本题的关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． （3）解方程组，可得：，从而可知点的坐标为，观察函数图象得到当时，反比例函数图象在一次函数的图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 直尺是矩形， ， 又点的坐标是， 直线向上平移个单位长度得到直线， 直线的函数解析式为； （3）解：解方程组， 把代入得：， 整理得：， 分解因式可得：， 可得：，(不符合题意，舍去)， 把代入， 可得：， 方程组的解为， 点的坐标是， 由图象得：当时，反比例函数图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为． 05一次函数的图象和性质 15．（2025·山东德州·一模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点以及一次函数的图象， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限即可得到答案． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， ∴该直线不经过第三象限 故答案为：三． 16．（2025·山东临沂·一模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 17．（2025·山东威海·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 06反比例函数的图象和性质 18．（2025·山东日照·一模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是根据反比例函数中k的符号判断图象所在象限及增减性．由可知，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点在第一象限内， ， 点和在第三象限内， ， ， 故选：A 19．（2025·山东济南·一模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故选：B． 20．（2025·山东青岛·一模）若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，解得，根据的范围写出符合条件的即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴，解得：， ∴的值可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（2025·山东烟台·一模）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、判断一次函数的图象 【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致； 【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误； B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确； C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误； D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系． 07二次函数图象的变换 22．（2025·山东泰安·一模）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可. 【详解】解：将抛物线化为顶点式， 即： ， 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得： ， A选项代入，，不符合； B选项代入， ，符合； C选项代入， ，不符合； D选项代入，，不符合； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键． 23．（2025·山东德州·一模）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．依题意得出在上，根据表格和对称轴，得出或，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线向左平移1个单位得到新抛物线，点在新抛物线上， ∴在上， 观察表格可得在抛物线上， 又对称轴为直线， ∴也在原抛物线上， ∴或， ∴或3． 故选：D． 24．（2025·山东潍坊·一模）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”求解作答即可． 【详解】解：由题意知，平移过后的抛物线表达式为， 故答案为：． 08二次函数的图象和性质 25．（2025·山东淄博·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握增减性的影响因素是解题关键． 把二次函数解析式化为顶点式可得对称轴为直线，从而得到关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 26．（2025·山东临沂·一模）如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是(    ) A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值-8 C．图象与轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为，图象与x轴的一个交点是和， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式 27．（2025·山东潍坊·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（          ）． A．B．C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 28．（2025·山东济南·一模）已知二次函数，则此函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、把二次函数解析式化为顶点式，先将二次函数解析式化为顶点式，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标是， 故答案为：． 29．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据二次函数的定义求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 09函数与方程、不等式的关系 30．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，由数轴表示不等式的解集，先根据图象法确定不等式的解集，进而在数轴上表示出解集，进行判断即可．熟练掌握图象法求不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知：的解集为：； 在数轴上表示出解集为： 故选C． 31．（2025·山东临沂·一模）已知抛物线（是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，可得：，所以可知抛物线的对称轴是，根据二次函数的对称性可得：当时，，又因为当时，，可知当时，，从而可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把整理， 可得：， 抛物线的对称轴是， 当时，； 根据抛物线的对称性可得：当时，， 又当时，， 当时，， ， 解得：． 故选：D． 32．（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时，. ∴方程组的解是. 故答案为：. 33．（2025·山东滨州·一模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 34．（2025·山东滨州·一模）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先结合图像求出抛物线的对称轴与轴的交点坐标，再利用函数对称性可得，关于对称轴的对称点是，结合图像即可而出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点坐标为， ∴关于对称轴的对称点是， ∴当时，或． 故选：B． 35．（2025·山东淄博·一模）如图，直线与双曲线相交于点A，B（点A在第一象限，点B在第三象限），与x轴相交于点C，过点A作轴于点D，连接并延长交该双曲线于点E，连接，已知． (1)请直接写出该双曲线的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，根据反比例函数与一次函数的交点求一元一次不等式的解集， （1），先标注图形，可得，再设点的坐标，可表示，然后根据三角形的面积相等得出方程，求出解即可； （2），求出直线的关系式，进而求出点E得知坐标，再作轴，交于点G，可得，然后联立函数关系式求出点B的坐标，最后根据得出答案； （3），根据交点坐标，结合直线在双曲线上方的部分得出答案即可. 【详解】（1）解：先标注图形， 当时，， ∴点； 当时，， ∴， 即. 设点的坐标为，则， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴点，. 将点代入反比例函数的关系式，得， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为. 将两个关系式联立，得， 解得（舍去）， ∴点. 过点E作轴，交于点G， 当时，， ∴点， ∴. 将直线和反比例函数关系式联立，得， 解得（舍去）， ∴点. ∴； （3）解：当或时， 10反比例函数k的几何意义 36．（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出 ．根据点的坐标求出值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点M的横坐标为6， ∴，     ∵在直线上， 可设， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 故选：． 37．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以为边作正方形，顶点恰好落在该反比例函数的图象上，则的值是（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求反比例函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．求出点的坐标为，点B的坐标为，求出点D的坐标为，根据点B和点D都在反比例函数的图象上得到，进一步即可求出答案． 【详解】解：当时，，解得 ∴点的坐标为， 设点B的坐标为， 过点B作轴于点，过点D作轴于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为 ∵点B和点D都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A 38．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，点在轴的负半轴上，连接．若．的面积为6．则的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 如图：作轴于点D，设，则，由得即可解答． 【详解】解：如图：作轴于点D， ∵直线与反比例函数的图象交于点A， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 39．（2025·山东聊城·一模）如图，已知矩形的面积是，它的对角线与反比例函数交于点，且，则 ． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求面积 【分析】设点D的坐标为（x，y），根据求出B点坐标，然后再由面积求出xy的值，从而求出k. 【详解】解：设点D的坐标为（x，y）， ∵， ∴点B的坐标为， ∵矩形的面积是， ∴， 则， ∵点D在反比例函数上， ∴k=xy=6， 故答案为：6. 【点睛】本题是对反比例函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及矩形的性质是解决本题的关键. 40．（2025·山东青岛·一模）点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接并延长，交轴于点，且轴，连接，是的中点，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 11一次函数与反比例函数综合 41．（2025·山东淄博·一模）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数的综合、已知正切值求边长 【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D， 在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝． ∴OD＝2，即点D（0，2）， 把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣， ∴直线的关系式为y1＝﹣x+2； 把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9． （3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键． 42．（2025·山东潍坊·一模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、根据旋转的性质求解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，   ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 43．（2025·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得，解得：， 或． 12二次函数图象与系数a，b，c的关系 44．（2025·山东滨州·一模）如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据函数图象依次计算判断即可得到答案. 【详解】∵对称轴是直线x=-1， ∴， ∴，故①正确； ∵图象与x轴有两个交点， ∴＞0，故②正确； ∵图象的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点坐标是（2,0）， ∴与x轴另一个交点是（-4,0）， ∴方程的两根是2和-4，故③正确； ∵图象开口向下， ∴在对称轴左侧y随着x的增大而增大， ∴是抛物线上两点，则<，故④错误， ∴正确的有①、②、③， 故选：C. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据函数图象判断式子的正负，正确理解函数图象，掌握各式子与各字母系数的关系是解题的关键. 45．（2025·山东日照·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点、点、点在该函数图象上，则；（4）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）正确，根据对称轴公式计算即可； （2）错误，利用时，，即可判断； （3）错误，利用函数图象即可判断； （4）正确，利用二次函数与二次不等式关系即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，故正确； （2）∵时，， ∴， ∴，故错误； （3）∵点、点、点， ∴， ∴ ∴点离对称轴的距离近， ∴ ∵， ∴ ∴ 故错误； （4）∵， ∴ ∴ 解之得：或， ∴，故正确． 故：（1）（4）正确，选B． 【点睛】本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质，学会利用图象信息解决问题是解决问题的关键． 46．（2025·山东威海·一模）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A．②③ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解不等式等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵不论取何值，都有， ∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标为， ∴，故①正确； ∵二次函数过点，， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为，， ∴，， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴无法判断与0的大小关系，故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 又， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 47．（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴是直线， ，， ， ，①正确； 二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点为， 二次函数与轴的一个交点为， ， ，②正确； 二次函数与轴的交点为和， 关于x的一元二次方程的两个根为，3，③正确； 二次函数开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， 二次函数的对称轴是直线，， ，④错误； 二次函数的对称轴是直线， 当是，二次函数有最小值为， 对任意实数m，都有，即 对任意实数m，不等式恒成立，⑤正确， 故选：C． 13一次函数的实际问题 48．（2025·山东济宁·一模）现如今，路上随处可见骑手送外卖．已知骑手甲和骑手乙在同一餐饮店等餐，且均送往距离餐饮店米远的同一小区，由于出餐时间不同，甲出发2分钟后乙再出发（假设甲、乙两骑手在骑行过程中都是匀速行驶）．甲、乙两骑手之间的距离y（单位：米）与骑手甲行驶的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（  ） A．甲的平均速度大于乙的平均速度 B．乙出发后用了8分钟追上甲 C．当乙追上甲时，乙距离小区米 D．当乙到达小区时，甲距离小区米 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据可以逐一判断，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想． 【详解】解：由题图可知，甲先出发2分钟，骑行了600米，8分钟时乙追上甲， ∴乙的平均速度大于甲的平均速度，故A选项不符合题意； 乙出发后用了（分钟）追上甲，故B选项不符合题意； （米/分钟）， ， 解得：（米/分钟）， 当乙追上甲时，骑行了（米）， ∴此时乙距离小区（米），故C选项不符合题意； 乙骑行米所用时间为（分钟）， 则当乙到达小区时，甲骑行了（米）， ∴当乙到小区时，甲与小区的距离为（米），故D选项符合题意； 故选：D． 49．（2025·山东济南·一模）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距 ． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．先求出乙队所用的时间，进而得到乙队比甲队晚出发，分别求出甲乙两队的函数解析式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，乙队所用的时间为：， 故乙队比甲队晚出发， 设甲队在时前进的路程（单位：）与甲队出发时间的函数解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， ， 设乙队的解析式为，将，代入得： ， 解得：， ， ， 当时，， 即当甲出发时间时，甲乙两队相距， 故答案为：． 50．（2025·山东济南·一模）甲乙两货车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速行驶到地，乙匀速行驶到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止．两车之间的距离与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示，则甲到达地时，乙距离A地还有 ． 【答案】80 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 甲到达地用时， 则乙行驶了， 乙距离A地还有． 故答案为：80． 51．（2025·山东德州·一模）随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌新能源汽车进行了调查研究，绘制的汽车电池充电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)该品牌新能源汽车的最大充电量为，为保证汽车的正常行驶，在最低电量不低于的情况下汽车就要及时充电．如果在电池的电量剩余时，对汽车开始充电，求电池充满电量需要的时间． 【答案】(1) (2)电池充满电需要 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出充电前车上剩余的电量所占的充电时间，再求出时的充电时间，两者相减即可得到充满电量需要多少时间． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将和代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：开始充电时，汽车的剩余电量为：，     当时，，解得，     当时，，解得，     ∴（分钟）， ∴电池充满电需要． 52．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 14反比例函数的实际问题 53．（2025·山东临沂·一模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 54．（2025·山东威海·一模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化（如图2），血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见表格．下列说法不正确的是（    ） 信息窗 （1）血液酒精浓度呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题意，能正确识图是解题的关键．观察图2可直接判断A、B，由可得到的值，从而判断C，观察图2可得时的值，从而算出的值，即可判断D． 【详解】解：A、由图2可知，呼气酒精浓度越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为100，故B正确，不符合题意； C、由信息窗可知，当时，， 当时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意； D、由图2知，当时，，则， 该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意； 故选：C． 55．（2024·山东临沂·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． （2）解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 15二次函数的实际问题 56．（2025·山东枣庄·一模）体育课上投掷实心球活动，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米． 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入求出x的值即可，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 解得：x或（舍去）． 故答案为：． 57．（2025·山东青岛·一模）某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： (1)求A型笔的销量万支与售价元的关系式； (2)当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； (3)若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)20；410 (3)650万元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是关键． （1）A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，据此列出函数解析式即可； （2）求出两种笔的销量，即可求出答案； （3）列出销售利润的二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支， ∴， 即A型笔的销量万支与售价元的关系式为； （2）当A型笔的定价为8元时，，即A型笔销量为万支， 此时B型笔销量为万支， ∵B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． ∴元， 即当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为元， 万元， 故答案为：20；410 （3）设销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， A型笔的销量， B型笔的销量， ∴， ，   开口向下 对称轴直线 当时随增大而增大 当时最大值为650 答：所获得的最大利润为650万元 58．（2025·山东潍坊·一模）某快递公司近年来因电商业务激增，决定将人工分拣中心升级为自动分拣中心．该公司对以下两种自动分拣方案进行了调研． 方案A：公司购买安装智能分拣设备．已知分拣设备日处理10万件时，每日总成本为80万元；日处理15万件时，每日总成本达到最低，最低为75万元；日处理20万件时，每日总成本回升至80万元． 方案B：公司外包分拣服务．外包分拣服务除固定的基础服务费50万元/日外，每处理1万件快递需支付外包公司3万元． 设日处理量为x（万件），方案A的日总成本为（万元），方案B的日总成本为（万元）． (1)从一次函数，二次函数或反比例函数中选择适当的函数模型模拟与x的函数关系，求出其表达式； (2)写出与x的函数表达式，并求日处理量为多少万件时，两种方案的日总成本相同？ 【答案】(1) (2)日处理量为万件或万件时，两种方案的日总成本相同 【知识点】公式法解一元二次方程、其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解一元二次方程，理解题意，正确求出二次函数以及一次函数解析式是解此题的关键． （1）设二次函数与x的函数关系式为，再将代入解析式计算即可得解； （2）由题意可得与x的函数表达式为，联立可得，求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数与x的函数关系式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴； （2）解：由题意可得与x的函数表达式为， 联立可得：， 解得：或， ∴日处理量为万件或万件时，两种方案的日总成本相同． 16动点问题的函数图象 59．（2025·山东日照·一模）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 60．（2025·山东济宁·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 61．（2025·山东菏泽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， ∴当时，，此时的面积为， ∴， ∴， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ∵，， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ∴， 当时，如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ∵， ∴的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 17二次函数的最值与范围问题 62．（2025·山东济南·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 63．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为．已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握其性质并能准确画出图象是解决此题的关键．根据二次函数的性质，结合一元二次方程的根的分布，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的图象与轴交点的横坐标为，抛物线与轴交点的横坐标为． 抛物线与轴的交点坐标为,抛物线与直线的交点坐标为,, ∵， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， 如图所示， 观察图象可知，, 故选：B． 64．（2025·山东临沂·一模）在平面直角坐标系xOy中，点在二次函数的图象上， (1)用含的代数式表示______________________； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数有最大值为4 (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点形成的“弦长”问题． （1）将点代入即可求解； （2）确定二次函数解析式，由于对称轴直线，开口向上，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设的图象与直线交点为．联立解析式得，则，由根与系数的关系代入得到，而，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意将点代入得：， ∴ （2）解：由（1）得 二次函数解析式： 对称轴为直线 当时，函数有最大值为； （3）解：设的图象与直线交点为． 则有， 联立解析式得，即， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 即． 65．（2025·山东威海·一模）已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． (3)若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当时，，由二次函数的对称轴为直线，可得当或时，，求出的取值范围； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【详解】（1）解：将，代入，得： ，解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数的开口向上，顶点坐标为， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， 当或时，， 在范围内二次函数有最大值为，最小值为， ； （3）解：由（2）可得的对称轴为1， 且抛物线在范围内随的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值， ， 将代入得：， 或， 向左平移， ， ； ②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ， 综上所述，或． 66．（2025·山东聊城·一模）已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）①根据两个交点的横坐标之和为4求出即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； （2）由对称轴为直线求出，从而可求出当时函数取得最小值，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①设两个交点的坐标为， 两个交点的横坐标之和为4， ， ， ， 二次函数的解析式为． ②∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，当时； 取值范围为：． （2）解：对称轴为直线， ， ； 二次函数关系式为； 当时取最小值． ①若， 则当时，， 当时，． ； 即， （舍）； ②若，则最小值为时取得． 若时取最大值，则， 即， （舍），， 的取值范围为， 若时取最大值，， 有，符合题意， 综上所述n的取值范围为． 18二次函数与几何综合 67．（2025·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 68．（2025·山东青岛·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积； (3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由题意得：，即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 将代入得， 二次函数的表达式为． （2）解：令得，， 解得， ． 当时， ． 设直线交对称轴于点的解析式为， 把代入解析式得： 解得： 直线的解析式为． 当时，， ． ． （3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴， ． ， 设，则， ． ， 当时，有最大值，此时的最大值为． 69．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点，，与轴交于点，顶点为；抛物线：，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是抛物线上一点（点在点右侧），是以为斜边的直角三角形，若，求的值； (3)如图2，点为抛物线与的异于点的另一个交点，连接，，，记的面积为，当时，直接写出的值． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，通过相似三角形的性质和方程思想解决问题． （1）将，代入抛物线解析式，通过解方程组求出解析式中的系数，进而得到抛物线表达式和顶点坐标． （2）过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F，证明，根据相似三角形对应边成比例的性质建立等式，再结合点在抛物线上这一条件求解． （3）先联立两个抛物线的方程求出交点坐标或，再通过构建图形，利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点 ∴， 解得， ∴抛物线， ∴顶点； （2）解：如图，过点P作x轴的平行线l，交y轴于点E，过点D作垂直于l，垂足为F； 可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 将，代入抛物线， 解得； （3）解：由抛物线，可得顶点， 联立抛物线与：，解得或， ∴点， ∵顶点，， 所以直线， 过点P作x轴平行线交的延长线于点M，可得， ∴， ∴， 当时，， ∴或， 解得或或． 70．（2025·山东烟台·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．       (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，，其中． 当在点上方时，，． ∵， ∴． ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当M在N点下方时， ． ∴， 解得：（不合题意，舍去）． ∴满足条件的点M的坐标有两个． （3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个． 如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的对称轴与直线相交于点， 联立， 解得：或（舍去）， ， 过点分别作直线的垂线交抛物线于点， ， ， ， ， ， ∴点与点重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到． ∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到， 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：（舍去）． ， 当时，四边形是矩形， ∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． ∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到． 如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得， ， ， 设， ， ∵点不与点重合， 和， ， ， ∴如图，满足条件的点有两个． 即． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向向平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键． 1．（2025·山东威海·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果拋物线只经过两个象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 根据抛物线只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于，即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 拋物线只经过两个象限， ， ， 故选：A． 2．（2025·山东威海·一模）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】B 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、根据交点确定不等式的解集 【分析】观察函数图象，找到抛物线在双曲线下方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质，数形结合是解题的关键． 3．（2025·山东淄博·一模）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（    ） A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3) 【答案】A 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分， ∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°， ∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键． 4．（2025·山东菏泽·一模）如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（    ）    A．该函数的最大值为7 B．当时，随的增大而增大 C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案． 【详解】解：由图象可知： A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意； B．当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意； C．当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意； D．设时，，则， 解得， ， 当时，； 设时，， 则， 解得， ， 当时，， 当和时，对应的函数值都等于4， 当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是通过函数图象获得有效信息． 5．（2025·山东青岛·一模）若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意； B、当时，，，故说法正确，符合题意； C、当时，，，故说法错误，不符合题意； D、当时，，，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 7．（2025·山东青岛·一模）若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（   ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质等知识点依次对各结论进行分析判断即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）． ∴抛物线与x轴另一个交点在和之间（不包含和）， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， ∴，解得：，故②正确； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故③正确； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故④错误； ⑤当时，，的值不一定是正值， 故⑤错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数自变量或函数值 【分析】首先根据题意判定A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0），代入抛物线解析式，得出关系式，①结论正确；解出，即可判断②结论错误，④结论正确；进而得出抛物线的解析式，得出对称轴，可判定③结论正确；平行四边形ABCD的面积即可算得6，⑤结论错误. 【详解】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0） 又∵抛物线过三点 将三点坐标代入，得 ∴①结论正确； 解得 ∴抛物线解析式为 ∴，②结论错误； 抛物线的对称轴为，③结论正确； 点即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确； ，⑤结论错误. 故正确的个数是3，选C. 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合运用，熟练掌握即可解题. 9．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G,设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4，求出DH=，由勾股定理求出 AH ，根据E为AD的中点，由勾股定理求得OA ,证明△DGC≅△AFB中，得DG=AF= 在Rt∆AFB中，根据锐角三角函数求出BF的长度，再得到 将代入y=，得k． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， 可知：∠DHA=∠DGC=∠BFA=90° 在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4, ∴DH= AH= ∵E为AD的中点， ∴AE= ， ∴OE= ， ∴OA= ， OH=HA-OA= ， 又四边形DHOG为矩形， ∴DG=HO= ， ∵AE∥BC， ∴∠AEO=∠BCG=60°， ∴∠DCG=90°-60°=30°， ∴∠CDG=90°-30°=60° 又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°， ∵矩形ABCD中，AB=AC， 在△DGC和△AFB中， ， ∴△DGC≅△AFB， ∴DG=AF= ， 在Rt∆AFB中， ∵tan∠BAF= ， ∴BF=AFtan30°= ， ∴OF=OA+AF=2 ， BF=3， ∴ 将代入y= 得k= ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△DGC≅△AFB，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 10．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 11．（2025·山东聊城·一模）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 12．（2025·山东济宁·一模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 13．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 14．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是 ． 【答案】6 【知识点】中点坐标、利用平移的性质求解、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ． 设，则 ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为∶6． 15．（2025·山东济南·一模）如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，，在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，则为正整数）的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．由题意，，，，，都是等腰直角三角形，想办法求出，，，，，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【详解】解：由题意，，，，，都是等腰直角三角形， ， ，设， 则有， 解得， ， 设，，则有， 解得， ， 同法可得，， ， ， 故答案为：． 16．（2025·山东青岛·一模）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线前往某景区游玩，甲骑电动车前往，乙骑自行车前往．设乙行驶的时间为，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图①所示，甲距出发点的路程关于的函数图象如图②所示，已知甲出发后追上乙． (1)点B的坐标为______，点C表示的实际意义是______； (2)求的函数解析式； (3)若用表示乙距出发点的路程s与x之间的关系，请在图②中画出的图象． 【答案】(1)，乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米． (2) (3)画图见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，解题关键是认真观察函数图象和求函数解析式的步骤． （1）根据图象可以得出答案． （2）设的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数解析式． （3）根据函数特点直接直接画出图象． 【详解】（1）解：根据题意得，甲出发后追上乙． ∴B的横坐标为， 点的坐标为， 点表示的实际意义是：乙出发小时后甲先到达终点，此时两人相距10千米． （2）解：设函数表达式为： 把，代入得      解得 （3）解：由点可得，乙经过h到达景点，所以的图像是一条经过的正比例函数的图像，画的图像如图所示： ． 17．（2025·山东青岛·一模）大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 【答案】(1)直线l的解析式为，抛物线解析式为 (2)没有风险 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设右侧水流与地表的高度差为米，得出，求出，从而得出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线经过原点， ∴设直线表达式为：， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴山坡的表达式为：； ∵在直线上， ∴，， ∵两侧水流关于轴对称， ∴右侧抛物线经过点， 设右侧抛物线表达式为：， 将，，代入， 得， 解得， ∴轴右侧抛物线表达式为：； （2）解：没有风险； 理由：设右侧水流与地表的高度差为米， 则， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴直线， 又∵， ∴当时，， ∴没有风险． 18．（2025·山东滨州·一模）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ (3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【答案】(1) (2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 (3)纪念品的销售单价x的范围是 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、根据交点确定不等式的解集、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为元 ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）解：∵利润不低于2250元， 且，w随x增大而增大， 由得或， ∴． 19．（2025·山东泰安·一模）已知抛物线（为常数）． (1)①若抛物线过点，求值； ②求证：该抛物线的顶点在轴上方； (2)当时，最小值为，求值； (3)若抛物线上有两点，且，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①；②详见解析 (2)或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）①将点代入解方程即可求解；②将化成顶点式得抛物线的顶点为，根据，开口向下可得该抛物线的顶点在轴上方； （2）分两种情况：①当，即时，当时，有最小值；②当，即时，当时，有最小值．分别代入解方程即可求解； （3）由题意知，得，进而可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①抛物线过点， ， 解得； ②证明：， 抛物线的顶点为， ， 该抛物线的顶点在轴上方； （2）解：①当，即时， 当时，有最小值． ， （不合题意，舍去）； ②当， 即时， 当时，有最小值． （不合题意，舍去） 因此，或； （3）解：由题意知，当时，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． 20．（2025·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形综合 【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题； （3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题． 【详解】（1）解：∵正比例函数过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数过点， ∴， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点是在线段的延长线上， ∴设， ∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； （3）解：方法一：由（2）得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴ ， 解得， ∴； 方法二：由（2）得得，， ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 解得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元一次方程的应用，等腰直角三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 21．（2025·山东枣庄·一模）已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则，解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则，解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴，解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则，解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 22．（2025·山东滨州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$