专题04 几何初步与三角形（8题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 几何初步与三角形 题型概览 题型01 几何初步 题型02 相交线与平行线 题型03 三角形的有关概念及性质 题型04 三角形的有关线段 题型05 特殊三角形 题型06 全等三角形的性质与判定 题型07 相似三角形的性质与判定 题型08 解直角三角形及其应用 01几何初步 1．（2025·山东东营·一模）如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于 海里． 3．（2025·山东临沂·一模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 02相交线与平行线 5．（2025·山东青岛·一模）如图，AB∥CD，MN⊥AC，∠NMB＝118°，则∠DCE等于（    ） A．22° B．28° C．32° D．38° 6．（2025·山东潍坊·一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（    ）    A．10° B．12° C．15° D．20° 7．（2025·山东滨州·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东枣庄·一模）将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东威海·一模）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·山东东营·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山东济宁·一模）如图，直线，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·山东济南·一模）如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，当，时 度． 13．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，，则的度数为 度． 14．（2025·山东济宁·一模）将一张对边平行的纸条按如图折叠，若，则的度数为 ． 03三角形的有关概念及性质 15．（2025·山东济南·一模）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山东聊城·一模）如图，中，，将逆时针旋转，得到， 交 于 F，当时，点D 恰好落在上，此时的度数等于 ． 17．（2025·山东烟台·一模）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 04三角形的有关线段 18．（2025·山东威海·一模）如图，在中，．点D在的延长线上，点E为上一点，连接DE，点M，N分别为，的中点，连接．若，，则的长为 ． 19．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 20．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，延长到D，使，E 是的中点．求证：． 21．（2025·山东德州·一模）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于50，求的长； (2)如图2，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F．若，求的度数． 05特殊三角形的判定与性质 22．（2025·山东东营·一模）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 23．（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 24．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 26．（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ． 27．（2025·山东聊城·一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片，，，， 第二步，D是上一点，沿折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． (1)如图1，若点C恰好落在上，求的长度． (2)如图2，若点D是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度． 28．（2025·山东临沂·一模）如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值． 06全等三角形的性质与判定 29．（2025·山东聊城·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 30．（2025·山东济南·一模）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 31．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．（2025·山东潍坊·一模）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2025·山东德州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 34．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·山东青岛·一模）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（2025·山东德州·一模）如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 37．（2025·山东菏泽·一模）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 38．（2025·山东烟台·一模）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 07相似三角形的性质与判定 39．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 40．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 41．（2025·山东滨州·一模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 42．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则 ． 43．（2025·山东枣庄·一模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上反弹时入射角等于反射角，如果他跳起击球时的高度是2米即米，排球落地点离墙的距离是8米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是 米． 44．（2025·山东济南·一模）如图所示，在中，，，，点在斜边上，且四边形为正方形，现有一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为 ． 45．（2025·山东临沂·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 46．（2025·山东滨州·一模）（1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 47．（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 48．（2025·山东东营·一模）在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且． （1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明； （2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由； （3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)． 49．（2025·山东滨州·一模）【特例探究】 （1）图1、图2、图3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 2 4 4 图2 1 2 图3 1 ___________ ___________ ___________ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，用含的等式与出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：_________ 【变式思考】 （2）已知的角平分线，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 50．（2025·山东菏泽·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，． 【探究与证明】 如图1，取的中点，以点为直角顶点作等腰直角三角形在的左侧．若点与点重合，与相交于点． （1）若，则的长_____； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点为的中点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 51．（2025·山东德州·一模）以下是人教版九年级下册教材《相似》一章的某个练习题： 如图，...中，CD是斜边AB上的高，求证： （1）；（2）． 小明针对该习题进行了拓展研究，提出了如下问题，请尝试解决． 在中，点D为边上一点，连接． (1)已知． ①如图1，请找到一组相似的三角形，并证明； ②若点D为的三等分点，，求的长； (2)如图2，点E为中点，连接，若，，，直接写出的长：________． 08解直角三角形及其运用 52．（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 53．（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 54．（2025·山东日照·一模）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 55．（2025·山东德州·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 56．（2025·山东聊城·一模）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)求坡高； (2)本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 57．（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 58．（2025·山东淄博·一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． (1)求C到地面DE距离； (2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 59．（2025·山东济南·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 60．（2025·山东烟台·一模）某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 61．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 62．（2025·山东临沂·一模）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 63．（2025·山东菏泽·一模）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） (1)求的长； (2)如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 1．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·一模）如图，直线分别交直线于点E，F，，与交于点P，且，，，则 ． 3．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 4．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，点在边上，点在边上，且满足，过作于点，过作于点，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 6．（2025·山东德州·一模）如图，中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 8．（2025·山东德州·一模）如图，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点E，则 ． 9．（2025·山东烟台·一模）晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度． 10．（2025·山东烟台·一模）如图1，已知直线MNGH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK=n°，∠CDK=(4m﹣2n﹣10)°，则m的取值范围为　　． 11．（2025·山东威海·一模）【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 12．（2025·山东济南·一模）【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何初步与三角形 题型概览 题型01 几何初步 题型02 相交线与平行线 题型03 三角形的有关概念及性质 题型04 三角形的有关线段 题型05 特殊三角形 题型06 全等三角形的性质与判定 题型07 相似三角形的性质与判定 题型08 解直角三角形及其应用 01几何初步 1．（2025·山东东营·一模）如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了对顶角相等、三角形的外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是关键． 根据三角形外角的性质，，进而可求出的大小． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛A在它的北偏东方向上，航行12海里到达点处，测得小岛A在它的北偏东方向上，那么小岛A到航线的距离等于 海里． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题、含30度角的直角三角形、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D，根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，可得∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°，根据外角性质可得∠BAC=30°，可得AC=BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得出CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长，可得答案． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D， 根据题意可知∠EBA=60°，∠FCA=30°，EB⊥BC，FC⊥BC，BC=12， ∴∠ABD=30°，∠ACD=60°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=30°， ∴AC=BC=12， ∴CD=AC=6， ∴AD===． 故答案为： 【点睛】本题考查方向角的定义、三角形外角性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定义是解题关键． 3．（2025·山东临沂·一模）抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 4．（2025·山东济南·一模）光线从空气斜射向水中时会发生折射现象．空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的．如图，、为入射光线，、为折射光线，且满足，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由得到，则，由得到，最后由可得出答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵空气中平行的光线斜射向水中，经过折射后在水中的光线也是平行的即， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 02相交线与平行线 5．（2025·山东青岛·一模）如图，AB∥CD，MN⊥AC，∠NMB＝118°，则∠DCE等于（    ） A．22° B．28° C．32° D．38° 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质，得，再平行线的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵∠NMB＝118°，MN⊥AC ∴ ∵AB∥CD， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、平行线的性质，从而完成求解． 6．（2025·山东潍坊·一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（    ）    A．10° B．12° C．15° D．20° 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线． 过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解． 【详解】解：过点B作交于D，    ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 7．（2025·山东滨州·一模）将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（2025·山东枣庄·一模）将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质．根据直尺两边平行，求出的度数，再根据平角的性质，求解即可． 【详解】解：∵直尺对边平行， ， ． 故选：B． 9．（2025·山东威海·一模）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、尺规作一个角等于已知角、由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 10．（2025·山东东营·一模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．（2025·山东济宁·一模）如图，直线，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，由垂线的定义得到，再由平行线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 12．（2025·山东济南·一模）如图，是等腰三角形，，顶点在上，顶点在上，当，时 度． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意得到，求出，根据平行线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，，则的度数为 度． 【答案】127 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据内错角相等，两直线平行，得到，利用平行线的性质，得到，结合，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：127． 14．（2025·山东济宁·一模）将一张对边平行的纸条按如图折叠，若，则的度数为 ． 【答案】130 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据折叠的性质，得，根据平角的定义，得，结合，得到，解答即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：130． 03三角形的有关概念及性质 15．（2025·山东济南·一模）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 16．（2025·山东聊城·一模）如图，中，，将逆时针旋转，得到， 交 于 F，当时，点D 恰好落在上，此时的度数等于 ． 【答案】/80度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转可得，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：． 17．（2025·山东烟台·一模）如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，   ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 04三角形的有关线段 18．（2025·山东威海·一模）如图，在中，．点D在的延长线上，点E为上一点，连接DE，点M，N分别为，的中点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了三角形中位线、勾股定理等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 连接，取的中点，连接、，由中位线定理可得、的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，如图所示， ∵分别是的中点， ∴分别是、的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得． 故答案为：． 19．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，在边和边上分别截取，使，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质、尺规作图、勾股定理，根据角平分线的性质可知，根据勾股定理可知，根据可以求出，利用三角形的面积公式可求． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由尺规作图可知：是的平分线， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 20．（2025·山东菏泽·一模）如图，在中，，延长到D，使，E 是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定．如图所示，取的中点F，连接，证明是的中位线，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图所示，取的中点F，连接， ∵，即点B为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵E、F分别是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．（2025·山东德州·一模）题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于50，求的长； (2)如图2，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F．若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据线段垂直平分线性质知，，根据三角形的周长公式即可求解； （2）根据线段垂直平分线性质知，，由等边对等角求得，由三角形的外角性质求得，证得，由等角对等边求得，据此即可证得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长等于50， ∴，， ， 又∵， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 05特殊三角形的判定与性质 22．（2025·山东东营·一模）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题．根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 23．（2025·山东威海·一模）已知直线，等边的顶点刚好落在上，与交于点．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作，先由平行线的性质得到，再判定，由平行线的性质得到，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】解：∵等边， ∴， 作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 24．（2025·山东日照·一模）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】根据尺规作图可得，是的平分线，可得，由三角形内角和定理可得，由等腰三角形性质可得，根据直角三角形的性质可得，可推出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由尺规作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查基本作图，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，角所对直角边长度是斜边的一半． 25．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 26．（2025·山东烟台·一模）如图，已知，射线平分，C是上一点，，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；过点作射线交于点D．则 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、尺规作一个角等于已知角、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查尺规作图—作角等于已知角，平行线的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是得到为等腰三角形．作，根据作图易得，证明为等腰三角形，利用三线合一，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于E， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 27．（2025·山东聊城·一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作： 第一步，准备直角三角形纸片，，，， 第二步，D是上一点，沿折叠，点C的对应点是点． 根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如下图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题． (1)如图1，若点C恰好落在上，求的长度． (2)如图2，若点D是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设，根据折叠的性质可知：，，即，再在运用勾股定理可得，即，然后在中运用勾股定理列方程求解即可； （2）如图：过点D作，则，由已知条件可得以及勾股定理可得，然后证明可得，然后运用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：设， 根据折叠的性质可知：，， ． 在中，，， ， ． 在中，， ∴，， 的长度为． （2）解：如图：过点D作，则， 为中线， ． 在中，， ∵点D是边的中点，沿着中线折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ，即，解得：． 为等腰三角形， ，． 28．（2025·山东临沂·一模）如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据角平分线和平行线证明即可； （2）先证明是等边三角形，设，然后求出的长，再证即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意知平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：由题意知垂直平分， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵，设， ∴． ∴． 由（1）知，，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三解形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键． 06全等三角形的性质与判定 29．（2025·山东聊城·一模）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 30．（2025·山东济南·一模）如图，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：C． 31．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 32．（2025·山东潍坊·一模）如图，与关于直线对称，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，由轴对称的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：和关于直线对称，， ， 又∵， ， 故选：C． 33．（2025·山东德州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质成为解题的关键． 由旋转性质知，据此得、，再根据等腰三角形性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质的可得：， ∴、， ∴． 故选：D． 34．（2025·山东日照·一模）如图，在四边形中，，点在上，，点是的中点，且，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边对等角的性质，掌握了以上知识是解答本题的关键． 延长交于点．证明，则；根据勾股定理，得；根据等边对等角，得，根据等角的余角相等，得，则，则，进而求得的长． 【详解】解：延长交于点，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 35．（2025·山东青岛·一模）如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】易证，可得，可得①正确，再根据角平分线的性质可求得，可得②正确，证明，则③不正确，根据③可求得④正确．本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 不能得出为的中点； 故①不符合题意； ∵为的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，，， ∴， ∴为等腰三角形， 故②符合题意； 过E作于G点，    ∵E是的角平分线上的点，且， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分；不平分； 故③不符合题意； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故④符合题意； 故选：B． 36．（2025·山东德州·一模）如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】全等三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 37．（2025·山东菏泽·一模）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、作垂线(尺规作图)、根据三线合一证明、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 38．（2025·山东烟台·一模）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 07相似三角形的性质与判定 39．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可； 【详解】解：由题易得：, ∴=相似三角形的对应高之比， 又， ∴， 故选：D 40．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、不等式的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由，，得到，，将，，代入，即可判断①正确，由，，将代入，整理后即可判断②正确，将，代入，即可判断③正确， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，完全平方公式的应用，解不等式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式的变形及应用． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴即：，整理得：，故①正确， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∵、、， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， 综上所述，①②③正确， 故选：． 41．（2025·山东滨州·一模）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解∶∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为∶ ． 42．（2025·山东德州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则 ． 【答案】6 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了坐标 于图形，中位线的判定和性质，掌握两点之间距离的计算，中位线是关键． 根据题意得到，且是中位线，则即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵点的横坐标分别是， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 43．（2025·山东枣庄·一模）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上反弹时入射角等于反射角，如果他跳起击球时的高度是2米即米，排球落地点离墙的距离是8米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是 米． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，进而可证，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ， 解得：， 排球能碰到墙面离地的高度的长是米． 故答案为：． 44．（2025·山东济南·一模）如图所示，在中，，，，点在斜边上，且四边形为正方形，现有一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、几何概率 【分析】本题考查了概率计算，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质得到，得到，得出，，求出，得到，因为，所以，即可得到答案． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即一小球在三角形区域运动，则落在阴影部分区域内的概率为， 故答案为：． 45．（2025·山东临沂·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 【答案】 【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 作于，得到，则，证明、，则，，，，则，即． 【详解】解：如图所示，作于， ∵， ∴ ∴， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 又， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 46．（2025·山东滨州·一模）（1）如图，四边形中，，． ①求证：； ②若，求的长． （2）求作：菱形，且点在边上，点在边上． 【答案】（1）①见解析；②；；（2）见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的判定，画垂直平分线； （1）①根据平行线的性质可得，进而结合已知条件得出，即可得证； ②根据得出，进而代入数据，即可求解； （2）作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 【详解】（1）①证明：∵， ∴ ∵ ∴， ∴； ②解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得：； （2）如图所示，作的垂直平分线交分别于点，连接，则四边形是菱形 设交于点， ∵垂直平分 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形 47．（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用相似三角形的性质求解、黄金分割 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 48．（2025·山东东营·一模）在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且． （1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明； （2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由； （3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)． 【答案】（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合 【分析】（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明； （2）成立，证法同（1）； （3）先看PF=PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF∙PE=3PF2，因此，因为，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=PE． 【详解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵∠BPF=60° ∴∠BPF=∠EBF=60°， ∵∠BFP=∠BFE， ∴△BPF∽△EBF； ∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD， ∴△BPF∽△BCD； （2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下： 如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE， ∴△BPF∽△EBF； ∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD， ∴△BPF∽△BCD． 如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD； （3）当BD平分∠ABC时，PF=PE， 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°． ∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°． ∴PF=PB 又∵∠BEF=60°−30°=30°=∠ABP， ∴PB=PE． ∴PF=PE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断是解题的关键． 49．（2025·山东滨州·一模）【特例探究】 （1）图1、图2、图3是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图1 1 2 4 4 图2 1 2 图3 1 ___________ ___________ ___________ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，用含的等式与出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：_________ 【变式思考】 （2）已知的角平分线，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴． 【点睛】本题考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 50．（2025·山东菏泽·一模）【问题情境】 综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，． 【探究与证明】 如图1，取的中点，以点为直角顶点作等腰直角三角形在的左侧．若点与点重合，与相交于点． （1）若，则的长_____； （2）求证：； 【应用拓展】 （3）如图2，小亮做了一下调整，点为的中点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．请写出线段与线段的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解； （2）作交延长线于点，则，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，由相似三角形的性质即可得证； （3）作于，等腰直角三角形的性质可得，，设，则，由旋转的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，求出，证明四边形为矩形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，点M与点A重合， ∴，， ∴； （2）证明：如图，作交延长线于点，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，作于， ∵为等腰直角三角形，点D为的中点， ∴，， 设，则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转 ∴ ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 51．（2025·山东德州·一模）以下是人教版九年级下册教材《相似》一章的某个练习题： 如图，...中，CD是斜边AB上的高，求证： （1）；（2）． 小明针对该习题进行了拓展研究，提出了如下问题，请尝试解决． 在中，点D为边上一点，连接． (1)已知． ①如图1，请找到一组相似的三角形，并证明； ②若点D为的三等分点，，求的长； (2)如图2，点E为中点，连接，若，，，直接写出的长：________． 【答案】(1)①，见解析；②CD的长为4或 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得证；②设，，由（1）中相似，得，分点是靠近点的三等分点，和靠近点的三等分点，从而根据相似三角形的性质得，求解即可得到答案； （2）作于点，连接，由，得，，则，求得，由点为中点，点为中点，得，则，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①，证明如下： ， 又， ∴ ②， 则 即，设，， 如图，当点是靠近点的三等分点时， 则，则 ， ，， 则有，解得； 当点是靠近点的三等分点时， 则，则 ， ，， 则有， 解得 ∴的长为或； （2）解：作于点，连接，则， ， ，， ，， ， 点为中点，点为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 08解直角三角形及其运用 52．（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)3 【知识点】同底数幂的除法运算、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，整式的运算． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后计算加减法即可得； （2）先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 54．（2025·山东日照·一模）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、求角的正切值 【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可． 【详解】由题意可知：， 设，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻． 55．（2025·山东德州·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 【答案】河岸之间的距离 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点P作于点H．设，根据构建方程求解． 【详解】解：如图，过点P作于点H．设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：河岸之间的距离． 56．（2025·山东聊城·一模）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)求坡高； (2)本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)教学楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡比可设设，，在中，根据勾股定理构造方程即可求解； （2）设，则，由得到，证明四边形为矩形，得到，，，进而，，根据，即可求出方程，求解即可． 【详解】（1）解：斜坡的坡比为，，， ， 设，， ∵在中，， ∴，解得， ， （2）解： 设，则， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， 即， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． （米）， 故教学楼的高度为米． 57．（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 58．（2025·山东淄博·一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． (1)求C到地面DE距离； (2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)①，② 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长NC交AB于M，则CM⊥AB，求出h=MN=1.44（m），由（1）得CN=0.8m，然后求出CM的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【详解】（1）解：过点C作CN⊥DE，垂足为N， 在Rt△CND中，， ∴∠CDN＝30°， CN＝0.5×1.6＝0.8， （2）①延长NC，交AB的延长线于点M ∵AB∥DE， ∴CM⊥AB， ∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44， ∴CM＝1.44－0.8＝0.64， ②在Rt△ACM中，， ∵cos37°≈0.8， ∴∠MCA＝37°， ∴， 由（1）得：∠DCG=90°-∠CDG=60°， ∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG≈180°-37°-60°=83°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 59．（2025·山东济南·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 60．（2025·山东烟台·一模）某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【答案】观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【知识点】等边三角形的判定和性质、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得到是等边三角形，得到的长，即观景台到雕塑的距离；在中，求出，的长，在中，利用勾股定理，求出的长，即可得到结果． 【详解】解：∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向 ∴ ∴是等边三角形， ∴； 如图，过点作于点 ∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ∴ 在中，， ∵ ∴ 在中， 答：观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 61．（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 62．（2025·山东临沂·一模）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于，延长交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 63．（2025·山东菏泽·一模）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） (1)求的长； (2)如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【答案】(1)4m (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和旋转的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作于点E，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 1．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A正确； 过点作，则， ∴，， ∴，故B正确； 由三角形内角和定理可知，，故C正确； 由三角形外角的性质可知，，故D不一定正确； 故选：D． 2．（2025·山东滨州·一模）如图，直线分别交直线于点E，F，，与交于点P，且，，，则 ． 【答案】/55度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先求出的度数，进而求出的度数，根据平行线的性质，求出的度数，根据，求出的度数，过点作，进而得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2025·山东枣庄·一模）如图，在中，是边上一动点（不与B，C重合），于点E．设给出下面三个结论： ①  ② ③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．② D．①②③ 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】连接，当平分，即时，即证明，可得出，当不平分，若时，，若时，，可判定①错误；根据，又由，可得，可判定②正确；证明，得出，又根据，则可得出，可判定③正确． 【详解】解：连接， 当平分，即时， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴即； 若时，，即， 若时，，即， 故①错误； ∵，， ∴，即， ∵， ∴， 故正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 4．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 5．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，点在边上，点在边上，且满足，过作于点，过作于点，则的值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作，过点作，延长与相交于一点，结合等腰三角形的性质，证明，整理得，然后证明四边形是矩形，得，即可作答． 【详解】解：过点A作，过点作，延长与相交于一点，如图： ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形 ∴． 即． 故选：A． 6．（2025·山东德州·一模）如图，中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，先证明，由全等三角形的性质得出，，再得出和是等腰直角三角形，进而可得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，如下图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 由勾股定理可得出：，， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·山东菏泽·一模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】④ 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，根据图形性质以及角的运算，线段的运算，平行线的判定，得出①②③是错误的． 【详解】解：设与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴在中，， ∴，故④正确； ∵，不一定等于 ∴不一定成立，故①不正确； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴，故③不正确； ∵， ∴， 即， ∴，则②不成立；故②不正确； 综上分析可知：正确的结论有④． 故答案为：④． 8．（2025·山东德州·一模）如图，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点E，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图)、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图所示，连接，，由作图得到，，求出，，证明出，得到，整理得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， 由作图可得，垂直平分 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴，即 整理得， ∴ 解得或（舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，尺规作中垂线等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（2025·山东烟台·一模）晒甲河项目是我区画河文化旅游综合改造项目的重要组成部分，在建设过程中十分重视便民利民．其中，规划的晒甲河湿地公园一个休闲区域是一个四边形，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为入口，经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，，若米．（参考数据：，，） (1)求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） (2)小明从A地步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，请分别求出、的长度． 【答案】(1)1738.4米 (2)、的长度分别为米和米 【知识点】等腰三角形的性质和判定、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方位角、等腰三角形的判定与性质，理解题意，正确画出示意图是解答的关键． （1）如图，过作，先根据方位角关系得到，利用锐角三角函数求得求得米，米，再根据角度间的计算得到，进而求得即可解答； （2）过点D作交的延长线于点F，先根据等腰三角形的判定得到，根据锐角三角函数求得米，再求得，再利用正切定义求得米，米即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：如图：过作， ∵， ∴， 米， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可得：， ∴， ∵米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米），（米）， ∴米， 答：、的长度分别为米和米． 10．（2025·山东烟台·一模）如图1，已知直线MNGH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB=90°，∠DFE=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK=n°，∠CDK=(4m﹣2n﹣10)°，则m的取值范围为　　． 【答案】（1）①15°；②15°或45°；（2） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、多边形内角和问题 【分析】（1）①根据直角三角形的性质求出∠DEF=60°，结合图形计算即可； ②分∠AFD=90°、∠FAD=90°两种情况计算，得到答案； （2）先根据四边形的内角和得∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°，利用平行线的性质得：n°=(4m-235) °，确认点C边界上两点时，确定n的取值，代入n°=(4m-235) °，可得结论． 【详解】(1)①∵∠DFE=90°， ∴∠DEF+∠EDF=90°， ∵∠EDF=30°， ∴∠DEF=60°， ∵∠DEF=∠EAF+∠AFE， ∴∠AFE=∠DEF﹣∠EAF=60°﹣45°=15°； ②如图，当∠AFD=90°时， ∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵∠BAC=45° ∴∠ABC=45°， ∵MN∥GH， ∴∠BAN=∠ABC=45°， ∵∠AFD=90°， ∴∠FAD+∠ADF=90°， ∵∠ADF=30°， ∴∠FAD=60°， ∴∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=60°﹣45°=15°； 如图，当∠FAD=90°时， ∠FAN=∠FAD﹣∠BAN=90°﹣45°=45°， ∴∠FAN度数为15°或45°； （2）如图，∵∠BAC=45°，∠ACB=90°， ∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-45°=225°， ∵MN∥GH， ∴∠MAK=∠AKD=n°， ∵∠AKD+∠CDK=225°， ∴(n+4m-2n-10) °=225°， 整理得：n°=(4m-235) °， ∵AC=1，且EF和GH之间的距离为1， ∴BC=1， 如图，点C在直线MN上时，点B、K、D重合，∠MAK= n°=180°-45°=135°， 如图，点C在直线GH上时，点B、K、D重合，∠MAK= n°=90°-45°=45°， ∵点C在MN和GH之间（不含MN、GH上）， ∴45°＜n°＜135°， 即45°＜(4m-235) °＜135°， ∴m的取值范围是：70°＜m＜92.5°． 故答案为：70°＜m＜92.5°． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、四边形内角和定理，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 11．（2025·山东威海·一模）【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出，，然后推导出，进而得出，即可得解； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，，进而得到，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1）；，证明如下， 延长交于点，如图1所示， 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ，，， ， ，， ， ． ． ， ， （2），，理由如下： ， ， ，， ， ，， 延长与交于点，如图2， ， ， ， ， ， ； （3）过作交延长线于，过作交于，如图3， ， ， ， ，，， ， ，， ， 到直线的距离为7， ， ， ， ， ，即， 解得，， ． 12．（2025·山东济南·一模）【问题发现】 某数学兴趣小组的同学们将两块大小不一的顶角为的等腰三角形纸片叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动其中的一个三角形，可以得到如图1，图2的两种情况，据此得到如图3，图4的两个图形． 小颖发现，图3中存在全等三角形，图4中存在相似三角形． （1）请你直接写出小颖发现的图3中___________，图4中___________； 【类比迁移】 小刚发现，图3中的两个全等三角形可以看作是将一个三角形绕点逆时针旋转得到的．随即，小刚在图5中也进行了类似的操作．如图5，在中，，，点，点在边上，．小刚发现线段，，之间的数量关系：． （2）请你先进行小刚的操作，再求证：； 【拓展应用】 （3）如图6，在中，，，点，点在边上，，求的面积． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图3，由题意求得，即可证明；如图4，求得，即可证明； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，推出，利用勾股定理即可求解； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，在中，求得，；在中，利用勾股定理求得，再证明，求得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：（1）如图3，由题意得，，， ∴， ∴； 如图4，由题意得，， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∵， ∴，，； ∵， ∵，， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交于点，过点作于点，如图： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，； ∴， 在中，，， 则； ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ； 在中，； 故的面积为． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的性质等；正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$