专题14 立体几何初步全章综合15种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题14 立体几何初步全章综合15种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体几何中的截面问题 题型03空间几何体的直观图 题型04空间几何体的表面积 题型05空间几何体的体积 题型06与球有关的切、接问题 题型07直线与平面平行 题型08平面与平面平行 题型09直线与平面垂直 题型10平面与平面垂直 题型11线线垂直 题型12点到平面的距离 题型13异面直线所成角 题型14直线与平面所成角 题型15二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•辛集市期末）下列命题中成立的是　　 A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 2．（2023春•高碑店市校级期末）下列命题中正确的有　　 ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面； ②圆柱不是旋转体； ③半圆围绕直径旋转半周得到一个球； ④圆台的轴截面是等腰梯形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （多选）3．（2023春•高碑店市校级期末）下列说法中，正确的有　　 A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 4．（2020春•新华区校级期末）下列说法正确的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 ( 题型0 2 ) 立体几何中的截面问题 （多选）5．（2024秋•保定期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则　　 A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使平面 C．经过，，，四点的球的表面积为 D．过，，三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 6．（2024春•邢台期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点在棱上，且，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为　　 A．6 B．8 C．12 D．16 7．（2023秋•廊坊期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　 A． B． C． D． （多选）8．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 （多选）9．（2024春•沧州期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．点到平面的距离不变 B．平面截该正方体所得的截面面积为5 C．当点在线段上运动时，始终有平面 D．的最小值为 ( 题型0 3 ) 空间几何体的直观图 10．（2025春•武强县校级期末）水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知，，则△的面积是　　 A．6 B．10 C．12 D．24 11．（2024春•石家庄期末）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•张家口期末）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为，　　 A． B．3 C． D． 13．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知的斜二测画法的直观图为△，若，，，则的面积为　　 A． B． C． D． 14．（2023春•沧州期末）如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为 　　． 15．（2022春•定州市期末）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，则平面图形的周长为　　 A．12 B． C．5 D．10 ( 题型0 4 ) 空间几何体的表面积 16．（2023秋•河北期末）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•河北期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为　　 A． B． C． D． 18．（2024春•深州市校级期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为　　 A．72 B．82 C．92 D．112 19．（2024春•辛集市期末）已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为△，其中，则该三棱柱的表面积为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•张家口期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 空间几何体的体积 21．（2023秋•海港区校级期末）走马灯古称蟠螭灯、仙音烛和转鹭灯、马骑灯，是汉族特色工艺品，亦是传统节日玩具之一，属于灯笼的一种．如图为今年元宵节某地灯会的走马灯，主体为正六棱柱，底面边长，高，则它的体积为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•沧州期末）已知四棱柱的高为3，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 23．（2024春•河北期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积　　 A． B． C． D． 24．（2024春•卢龙县期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 25．（2024春•邯郸期末）若正六棱台的侧棱与底面所成的角为，且，，则该正六棱台的体积为　　 A． B． C． D． 26．（2024春•定州市期末）若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了　　 A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 ( 题型0 6 ) 与球有关的切、接问题 27．（2024春•辛集市期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 28．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 29．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 30．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 32．（2024春•邯郸期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为 　　． 33．（2024春•河北期末）如图，在正三棱锥中，．正三棱柱的顶点，，分别为，，的中点，，，在底面内，则正三棱柱外接球的表面积为 　　． ( 题型0 7 ) 直线与平面平行 34．（2023秋•武强县校级期末）已知，是两条不同直线，是平面，且，，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）35．（2023秋•唐山期末）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 36．（2024春•武强县校级期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 37．（2023秋•河北期末）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． （1）求证：平面； ( 题型0 8 ) 平面与平面平行 38．（2024春•涉县校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（2024春•广平县校级期末）在正方体中，、、分别是、和的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 40．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． ( 题型 09 ) 直线与平面垂直 41．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 42．（2024春•邢台期末）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面． 43．（2023秋•邢台期末）如图，在三棱台中，，平面，，，，且为中点．求证：平面． ( 题型 10 ) 平面与平面垂直 44．（2024春•廊坊期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 45．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求证：平面平面． 46．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． ( 题型 11 ) 线线垂直 47．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）求证：． 48．（2017春•廊坊期末）如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，面，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求三棱锥的体积． ( 题型 12 ) 点到平面的距离 49．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． ( 题型 13 ) 异面直线所成角 50．（2025春•武强县校级期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角为　　 A． B． C． D． 51．（2024春•承德期末）在正四棱锥中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 52．（2024春•沧州期末）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． ( 题型 14 ) 直线与平面所成角 53．（2019春•武邑县校级期末）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 54．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ( 题型 15 ) 二面角 55．（2023春•石家庄期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 56．（2024秋•衡水期末）如图，是边长为1的正方形，平面，， （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 1．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 2．（2022秋•保定期末）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，． （1）求锐二面角的大小； （2）求与平面所成的角的正弦值． （多选）3．（2024秋•武强县校级期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，下列选项正确的是　　 A． B．平面 C．△的面积与△的面积相等 D．三棱锥的体积为定值 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 立体几何初步全章综合15种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体几何中的截面问题 题型03空间几何体的直观图 题型04空间几何体的表面积 题型05空间几何体的体积 题型06与球有关的切、接问题 题型07直线与平面平行 题型08平面与平面平行 题型09直线与平面垂直 题型10平面与平面垂直 题型11线线垂直 题型12点到平面的距离 题型13异面直线所成角 题型14直线与平面所成角 题型15二面角 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2023春•辛集市期末）下列命题中成立的是　　 A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥 D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体 【解析】对，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起， 所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥，如图，故错误； 对，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直， 则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故正确； 对于，如图所示，若，， 满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故错误； 对，各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体， 比如底面为三角形的直三棱柱，故错误． 故选：． 2．（2023春•高碑店市校级期末）下列命题中正确的有　　 ①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面； ②圆柱不是旋转体； ③半圆围绕直径旋转半周得到一个球； ④圆台的轴截面是等腰梯形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，正确； ②圆柱不是旋转体，不正确； ③以半圆的直径为轴旋转一周形成的旋转体叫做球，所以半圆围绕直径旋转半周得到一个球，不正确； ④圆台的轴截面是等腰梯形，正确． 故选：． （多选）3．（2023春•高碑店市校级期末）下列说法中，正确的有　　 A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 【解析】由平面的基本特征，平面是由无数个点或线组成的集合，正确； 棱柱的侧棱平行且相等，但不是所有的棱都一定相等，错误； 侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱，底面为正多边形的直棱柱为正棱柱，错误， 侧面都是矩形可得侧棱垂直于底面，则棱柱为直棱柱，正确． 故选：． 4．（2020春•新华区校级期末）下列说法正确的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【解析】选项，四棱台的上下底面平行，其余各面也均为四边形，但不是棱柱，即错误； 选项，若这三点共线，则可以确定无数个平面，即错误； 选项，棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即正确； 选项，只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，即错误． 故选：． ( 题型0 2 ) 立体几何中的截面问题 （多选）5．（2024秋•保定期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则　　 A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使平面 C．经过，，，四点的球的表面积为 D．过，，三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 【解析】对于：连接，，，如图所示： 在棱长为2的正方体中，， ，分别是，中点， ， ，故，，，四点共面， 当与重合时满足，，，四点共面，故正确； 对于：取中点为，连接，，，如图所示： ，分别，中点，则与平行且相等， 四边形是平行四边形， ， 又是中点，， ，又平面，平面，故平面，故正确； 对：由图形的对称性易知， 经过，，，四点的球的球心为矩形的中心， 矩形的对角线即为球的直径， 又易得矩形的对角线长为， ，经过，，，四点的球的表面积为，错误； 对，由运动变化思想可得，当与重合时， 过，，三点的平面截正方体的截面为菱形， 当在之间时，由对称性易得： 过，，三点的平面截正方体的截面为六边形， 当当与重合时， 过，，三点的平面截正方体的截面为矩形，正确． 故选：． 6．（2024春•邢台期末）一个棱长为4的正四面体木块如图所示，点在棱上，且，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面图形的周长为　　 A．6 B．8 C．12 D．16 【解析】根据题意，如图所示， 分别在，，上取点，，，且满足， 易得，， 所以四边形为平行四边形， 可得，， 因为平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以四边形即为截面， 故截面图形的周长为8． 故选：． 7．（2023秋•廊坊期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示： 过点作于点，因为，， 所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得，所以棱长为， 如图所示： 过 于点，于点，连接， 由对称性可知，， 所以， 而， 所以， 所以， 同理， 分别在棱，上取点，，使得， 易得，， 所以截面多边形的周长为． 故选：． （多选）8．（2024春•唐县校级期末）正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【解析】对于，取中点，连接、、， 则由题意可知，，且， 所以是直线与所成角或补角，且， 所以直线与所成角余弦值为，故正确； 对于，连接，， 由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故， 又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确； 对于，由可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故正确； 对于，连接， 由正方体性质可知平面， 故是直线与平面所成的角， 又，所以， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为，故错． 故选：． （多选）9．（2024春•沧州期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．点到平面的距离不变 B．平面截该正方体所得的截面面积为5 C．当点在线段上运动时，始终有平面 D．的最小值为 【解析】对于，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点， ，平面，平面．平面， 点是线段上的动点，点到平面的距离不变，故正确； 对于，如图1，连接，，由题意知，， 平面截该正方体所得的截面为平面， ，， 由题意知四边形的面积为， 平面截该正方体所得的截面面积为，故错误； 对于，如图2，连接，，由题意知平面平面， 平面，始终有平面，故正确； 对于，如图3．连接，把平面沿展开到平面所在平面，如图4， 连接交于点，此时取得最小值，即最小值为， 在△中，，．由余弦定理得，故正确． 故选：． ( 题型0 3 ) 空间几何体的直观图 10．（2025春•武强县校级期末）水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知，，则△的面积是　　 A．6 B．10 C．12 D．24 【解析】由斜二测画法可知，，即△为直角三角形， 其中，， 所以△的面积是． 故选：． 11．（2024春•石家庄期末）如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是　　 A． B． C． D． 【解析】正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 则原图是平行四边形，相邻边长为：1和， 原图的周长是：8． 故选：． 12．（2024春•张家口期末）如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，，则原四边形的面积为，　　 A． B．3 C． D． 【解析】根据题意，直观图直角梯形中，，， 则直观图的面积， 故原图的面积． 故选：． 13．（2023春•曹妃甸区校级期末）已知的斜二测画法的直观图为△，若，，，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，根据“斜二测画法”原理，原的面积与△的面积的比值为， ，，， 可得△的面积：，， 则的面积． 故选：． 14．（2023春•沧州期末）如图，一个水平放置的的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形，若，则原三角形的面积为 　　． 【解析】根据题意可得， 在中，， ， 所以的面积为 故答案为：． 15．（2022春•定州市期末）如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，则平面图形的周长为　　 A．12 B． C．5 D．10 【解析】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，且长为4，宽为1． 故该平面图形的周长为10． 故选：． ( 题型0 4 ) 空间几何体的表面积 16．（2023秋•河北期末）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，圆锥的底面半径为2，高为， 则该圆锥的母线长， 则其侧面积． 故选：． 17．（2024春•河北期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】等腰直角三角形的斜边长为2， 以该等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴， 两条直角边旋转一周得到的几何体为两个底面半径，高为的圆锥， 则圆锥的母线长， 将底面重合后形成的组合体， 其表面积为． 故选：． 18．（2024春•深州市校级期末）已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为，则该棱台的表面积为　　 A．72 B．82 C．92 D．112 【解析】正棱台的上、下底面是边长分别为4、6的正方形，侧棱长为， 可得棱台的侧面是等腰梯形，高， 所以一个侧面积， 所以该棱台的表面积． 故选：． 19．（2024春•辛集市期末）已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为△，其中，则该三棱柱的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】由斜二测画法还原底面平面图如图所示， 其中， 所以， 所以此直三棱柱的底面积为，高为1， 故直三棱柱表面积为． 故选：． 20．（2023秋•张家口期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为、，母线长为， 则，，母线与下底面所成的角为， 则， 故该圆台的表面积． 故选：． ( 题型0 5 ) 空间几何体的体积 21．（2023秋•海港区校级期末）走马灯古称蟠螭灯、仙音烛和转鹭灯、马骑灯，是汉族特色工艺品，亦是传统节日玩具之一，属于灯笼的一种．如图为今年元宵节某地灯会的走马灯，主体为正六棱柱，底面边长，高，则它的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】正六棱柱的底面是边长的正六边形，能分成六个边长为的正三角形， 则底面积为， 又棱柱高，体积． 故选：． 22．（2024春•沧州期末）已知四棱柱的高为3，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）如图所示，其中，，则这个四棱柱的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由于直观图的面积为． 根据原图面积，（其中表示直观图面积） 所以四边形的面积为， 所以四棱柱的体积是． 故选：． 23．（2024春•河北期末）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则该圆台的体积　　 A． B． C． D． 【解析】设该圆台的母线长为， 根据题意可得， 解得， 所以该圆台的高为， 则． 故选：． 24．（2024春•卢龙县期末）在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱锥的底面边长为，， 则其高为， 正四棱锥体积为： ， 当且仅当，即时，取得等号， 正四棱锥体积的最大值为． 故选：． 25．（2024春•邯郸期末）若正六棱台的侧棱与底面所成的角为，且，，则该正六棱台的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】取上下底面正六边形的中心分别为，，连接， 则是棱台的高，过作，则平面， 所以， 因为六边形为正六边形，，， 所以，，， 在直角中，， 因为棱台上底面面积为， 棱台的下底面面积为， 所以正六棱台的体积为． 故选：． 26．（2024春•定州市期末）若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了　　 A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【解析】设新圆台与原圆台的体积分别为，， 则， 所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍． 故选：． ( 题型0 6 ) 与球有关的切、接问题 27．（2024春•辛集市期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 设底面三角形的中心为，上底面三角形的中心为， 连接，则球的球心在上，连接、、、， 由已知求得，，设求的半径为， 则，解得． 球的体积为． 故选：． 28．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积． 故选：． 29．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱， 则三棱锥和三棱柱的外接球相同， 设，分别为和的外心， 则三棱柱的外接球球心为的中点， 连接并延长交于点，则为的中点，连接， 因为，所以， 由正弦定理可得， 所以， 由， 即， 可得， 则， 则外接球的表面积． 故选：． 30．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设外接球的半径为，因为， 所以，所以， 又，，，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面． 由于，所以平面，又平面，所以， 所以，所以是等边三角形． 设其外心为，设是的中点，连接，则， 由于平面平面，平面平面，平面， 所以平面，设，则是矩形的外接圆的圆心． 连接，如图所示，因为平面，所以， 球心在的正上方也在的正上方，故四边形是矩形， 因为， 所以， 所以外接球的表面积为． 故选：． 31．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 【解析】如图， 由，可得，又由， 可得点到底面的垂足为的外心，即的中点， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有， 解得． 故答案为：． 32．（2024春•邯郸期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为 　　． 【解析】连接交于点，连接，因为，共 面，且平面， 所以，易知为的中点，所以为的中点， 设四面体外接球的球心为，则平面， 设，则， 所以， 解得， 故四面体外接球的表面积为． 故答案为：． 33．（2024春•河北期末）如图，在正三棱锥中，．正三棱柱的顶点，，分别为，，的中点，，，在底面内，则正三棱柱外接球的表面积为 　　． 【解析】在正三棱锥中，， 正三棱锥的高为， 根据题意可得正三棱柱的高为3，底面正三角形的边长为3， 正三棱柱的底面正三角形的中心到该正三角形顶点的距离为， 又正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，设该球的半径为， 则， 正三棱柱外接球的表面积为． 故答案为：． ( 题型0 7 ) 直线与平面平行 34．（2023秋•武强县校级期末）已知，是两条不同直线，是平面，且，，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由，不能得到， 而，，，则， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：． （多选）35．（2023秋•唐山期末）如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 【解析】取中点，连接，， 正三棱柱中，，分别是，的中点， 底面，则，又，， 若，则平面，则，又， 是等边三角形，，则与不垂直，项错误； 取中点，则，且，则，且， 则四边形为平行四边形，则，若，则与相交矛盾，错误； 项，由于，在长方形中，，正确； 项，，平面，平面，平面，正确． 故选：． 36．（2024春•武强县校级期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：是矩形， ，又平面， 平面， ，平面，平面， 又，平面平面， 平面，平面． （2），，即为二面角的平面角， ，又，平面， 又平面，平面平面， 作于，则平面．连结， 所以直线与平面所成角为，，， 所以． 直线与平面所成角的正弦值为． 37．（2023秋•河北期末）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，． （1）求证：平面； 【解析】（1）证明：如图，连接，因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点， 又为的中点，所以为△的中位线，可得， 又平面，不在平面内， 可得平面； ( 题型0 8 ) 平面与平面平行 38．（2024春•涉县校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】，是不同的直线，，是不同的平面，且，，推不出“且”，缺少条件，相交； 若“”，则内任意一条直线都平行于平面，正确； 故“且”是“”的必要不充分条件， 故选：． 39．（2024春•广平县校级期末）在正方体中，、、分别是、和的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【解析】证明：（1）连接，， 是正方形，是中点， 是中点， 又是中点， ， 平面，平面， 平面； （2）连接，， 是正方形，是的中点， 是中点， 又是中点， ， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面，且， 平面平面． 40．（2023春•元氏县校级期末）如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【解析】（1）证明：因为平面，，所以平面， （2）证明：因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，所以平面，又因为平面，， 所以平面平面． ( 题型 09 ) 直线与平面垂直 41．（2024春•河北期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为，，，为的中点，为的中点， 连接，，设，连接， 可得四边形为矩形， 可得为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）证明：因为平面，平面， 所以， 易证得，， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为，为的中点， 所以， 又因为， 所以平面； （3）解：，， 可得，， 由（2）可得平面， 所以为直线与平面所成的角， 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 42．（2024春•邢台期末）如图①，在菱形中，且，为的中点．将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，求证：平面． 【解析】证明：菱形中，且，为的中点， 可得，因为， 在中，， 图①中，连接， 可得为等边三角形， 图②中，，， 所以平面，而平面， 所以， 又因为， 所以平面． 43．（2023秋•邢台期末）如图，在三棱台中，，平面，，，，且为中点．求证：平面． 【解析】证明：如图， 由，为的中点，可得， 又平面，平面，可得， 而，则平面． ( 题型 10 ) 平面与平面垂直 44．（2024春•廊坊期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面平面； （2）证明：平面平面． 【解析】证明：（1）由题意可知：，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 又因为，，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，可得平面， 且，，平面， 所以平面平面． （2）因为为正方形，则， 因为，，，则△△， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，，平面， 可得平面， 由平面， 所以平面平面． 45．（2023春•曹妃甸区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点． （1）求证：面； （2）求证：平面平面． 【解析】（1）证明：设，连接， 因为，分别是，的中点 ，所以 而面，面， 所以面 （2）连接，因为， 所以， 又四边形是菱形， 所以 而面，面，， 所以面 又面， 所以面面 46．（2023春•昌黎县校级期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点． （1）若点为中点，求证：平面； （2）若，，，平面平面，求证：平面平面． 【解析】证明：（1）连接交于，连接，如图所示： 因为为的中点，是的中点， 所以是的中位线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）在中，，，， 所以由余弦定理可得，， 则， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． ( 题型 11 ) 线线垂直 47．（2024春•邢台期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）若为边的中点，求证：平面； （2）求证：． 【解析】证明：（1）连接，在菱形中，， 为等边三角形， 又已知为的中点，， 又平面平面，平面平面， 由平面与平面垂直的性质可得平面； （2）已知为正三角形，为的中点，， 又由（1）知，且，、平面，平面， 而平面，则． 48．（2017春•廊坊期末）如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，面，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求三棱锥的体积． 【解析】证明：（1）因为面，又平面， 所以， 又因为，， 在中，由余弦定理有： 所以， 即：， 又因为，又平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． 解：（2）由已知有：， 所以，，因为面 且为的中点，所以点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积： ． ( 题型 12 ) 点到平面的距离 49．（2020春•卢龙县期末）如图，在边长为的菱形中，，面，，是和的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离． 【解析】（1）证明：，， 又平面，平面， 故平面； （2）解：在面内作过作于 面，面 面面 又面面，，面面 又平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离． 在直角三角形中，，，， 故点到平面的距离等于点到平面的距离， 等于． ( 题型 13 ) 异面直线所成角 50．（2025春•武强县校级期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，异面直线与所成角为　　 A． B． C． D． 【解析】连结、， 因为在正方形与正方形中，、分别为、的中点， 所以是△的中位线，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 结合，可知异面直线与所成角等于． 故选：． 51．（2024春•承德期末）在正四棱锥中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是　　 A． B． C． D． 【解析】在正四棱锥中，，，是棱的中点， 取中心为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 由题意知，，，， 所以，，，， ， ，， 所以． 故选：． 52．（2024春•沧州期末）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，因为，由题意可得， 连接，，取的中点，连接，， 在正三棱台中，设， 由，分别是，的中点易知，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 即为异面直线，所成角（或其补角）， 在梯形中，为梯形的高，， 可得，， ， 即，， 在中，易知， 所以， 即异面直线，所成角的余弦值为． 故选：． ( 题型 14 ) 直线与平面所成角 53．（2019春•武邑县校级期末）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图，连结，，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，， ，，， ，平面，， （2）如图，取中点，连结、，则四边形是平行四边形， 平面，，平行四边形是矩形， 由（1）得平面，则平面平面， 在平面上的射影在直线上， 连结，交于点，则是直线与平面所成角（或补角）， 设，则在△中，则， 为的中点，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 54．（2024春•辛集市期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成△，使平面平面． （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：，是的中点，， 故四边形是菱形，从而， 沿着翻折成△后，，， 又， 平面， 由题意，易知，， 四边形是平行四边形，故， 平面； （2）解：平面， 与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， △是正三角形，， 与平面所成的角为； （3）假设线段上是存在点，使得平面， 过点作交于，连结，，如下图： ，，，，四点共面， 又平面，， 四边形为平行四边形，故， 为中点， 故在线段上存在点，使得平面，且． ( 题型 15 ) 二面角 55．（2023春•石家庄期末）在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，若此三棱锥外接球的表面积为，则二面角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，， 所以， 所以， 所以为在直角三角形， 取的中点，则为的外心， 球心在过底面的外心， 球心在过底面的外心（中心）且垂直底面的直线上，也在过外心且垂直侧面的直线上， 如图： 因为三棱锥外接球的表面积为，即， 解得， 取的中点，连接，，，则， 所以，都垂直于， 所以是二面角的平面角， 又， ，，， 在中，， 又， 在中，， 所以， 所以， 在中，，， ， 由面得，又， 所以面， 由面得， 又，， 所以面， 又平面，平面有公共点， 所以，，，四点共面， 所以， 即二面角的大小为，其余弦值为． 故选：． 56．（2024秋•衡水期末）如图，是边长为1的正方形，平面，， （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由条件可知，，，且， 所以△△， 过点作，连结，则，且， 所以为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，所以， 由，则， 所以，则， △中，，， 所以， 所以， 所以二面角的大小为． 1．（2021春•沧州期末）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，，分别为，的中点，二面角的正切值为2． （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）解：为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ， 又，， 底面为正方形． 又易得， 四棱的体积． （2）证明：由（1）知，平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ， 平面， 平面， ． （3）解：设，连接，． 平面． 为直线与平面所成的角， 可求得，，， ， 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 2．（2022秋•保定期末）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，． （1）求锐二面角的大小； （2）求与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）在四棱锥中，取中点，连接，，， 在菱形中，，则是正三角形，，由，得， 由是正三角形，得， 则是二面角的平面角， 而，则， 所以锐二面角的大小为． （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 取中点，连接，，由为正三角形，得，， 而平面平面，平面，则平面， 三棱锥的体积， 显然，，又平面，即有， 于是， 又，底边上的高， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，于是， 解得， 由，平面，平面，得平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离， 令与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值． （多选）3．（2024秋•武强县校级期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，下列选项正确的是　　 A． B．平面 C．△的面积与△的面积相等 D．三棱锥的体积为定值 【解析】由正方体的性质平面，平面， 则，又，，，平面， 所以平面，平面，则，故正确； 由正方体的性质知平面，即平面，故正确； 由正方体性质得到直线的距离为，而到直线的距离为1，两个三角形面积不相等，故错； ，而到平面的距离即到平面的距离为， 因此为定值，故正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$