精品解析：河北省张家口市2024-2025学年高一下学期期末数学试题

张家口市2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试 数学试卷 班级____________ 姓名____________ 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号及准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的几何意义可解. 详解】，则， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将给定数据由小到大排列，利用中位数的定义求解. 【详解】样本数据由小到大排列为，共个数， 所以所求中位数是. 故选：A 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 4. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台体积公式求出棱台的高，再利用正四棱台的结构特征求出侧棱长. 【详解】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 故选：C 6. 已知，，的平均数与方差均为3，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由方差公式，代入即可求解. 【详解】， 所以，即，，的平均数为12. 故选：B. 7. 已知圆为的外接圆，且，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知为直角三角形，然后结合直角三角形和数量积定义即可得到. 【详解】，中点，则，， 又，所以，，， 所以. 故选：D. 8. 已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出角，再结合角平分线定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即 ，解得：， 所以，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（ ） A. 事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B. 事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C. 事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D. 该机器人至少成功投放一次的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断ABC；利用对立事件的概率公式求出概率判断D. 【详解】对于A， “两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，“两次都未成功投放”与“至少成功一次” 不可能同时发生，但必有一个发生，它们是对立事件，B正确； 对于C，设“第一次成功投放”为事件，“两次都成功投放”为事件，， ，两个事件相互不独立，C错误； 对于D，“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，“两次都未成功”的概率为， 所以“至少成功一次”的概率为，D正确. 故选：ABD 10. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象和已知条件求出，得出函数解析式，然后逐项分析即可. 【详解】由图象可知：，所以，由，故A选项错误； 由图象可知：，即，所以， 解得：，又，所以，故B选项正确； 因为函数的图象过点，所以， 所以函数， 由，所以， 又在上单调递增，故在区间上单调递增，故C选项正确； 因为，所以， 令，由的定义域为，关于坐标原点对称， 但是， 所以不是奇函数，即函数不是奇函数，故D选项不正确. 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大 C. 的最小值为 D. 当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证得平面并结合锥体体积判断A；证得平面判断B；利用两点间线段最短判断C；求出最小截面圆半径判断D. 【详解】对于A，在正方体中，的面积为定值，而， 平面，平面，则平面，即点到平面的距离为定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，即与平面所成角为，B错误； 对于C，将正与等腰置于同一平面，连接， 显然垂直平分，，C正确； 对于D，正方体的外接球的半径，当点为中点时，以点为截面圆心的截面面积最小， 又正方体的中心（即外接球球心）到点的距离为1，因此截面圆半径最小为， 所以截面面积的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】，，解得. 故答案为：6. 13. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 【详解】，则. 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）整体代换求解函数的值域即可. 【小问1详解】 因为 ， 由， 即， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以函数在区间上的值域为. 16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. （1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； （2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1，可求得，然后利用频率分布直方图平均值及百分位数的求法求解即可； （2）根据分层随机抽样可知从航模社抽取2人，建模社抽取3人，再利用列举法求解古典概型的概率即可. 【小问1详解】 根据题意，，解得， ，解得， 则航模社测试的平均成绩， 设建模社测试成绩的分位数为，又的频率为， 的频率为，的频率为， 其中，， 所以在之间， 则，解得， 所以建模社测试成绩的分位数为. 【小问2详解】 根据题意，航模社“体能合格”人数为人， 建模社“体能合格”的人数为人， 故航模社“体能合格”与建模社“体能合格”的人数之比为， 则按分层随机抽样从航模社抽取2人，分别为，建模社抽取3人，分别为， 再从这5人中选2人担任经验分享会主持人共有： ， ，共10种选择， 其中2人都来自“建模社”有3种选择， 2人都来自“建模社”的概率为. 17. 如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. （1）求证：平面POC； （2）求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证得为正三角形，再结合圆锥的结构特征，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）取的中点，利用几何法求出异面直线夹角的余弦. 【小问1详解】 连接，延长交于点，由AB为底面圆O的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，是中点，取中点，连接，则， 是异面直线AD与BP所成的角或其补角，， ，， 所以异面直线AD与BP所成角的余弦值为. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，正弦定理和三角恒等变换得到，所以或，故为等腰三角形或直角三角形； （2）在（1）基础上，得到，即，设，由题意可得，在和中，分别使用余弦定理，从而得到方程，求出，所以，利用同角三角函数关系求出． 【小问1详解】 由余弦定理得， 故， 即，由正弦定理得， 即，即， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形； 【小问2详解】 因为是斜三角形，由（1）知，即， 设，由题意可得， 在中，由余弦定理可得， 由中，由余弦定理可得， 所以，解得，负值舍去，所以， 又，可得． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. （1）求AD； （2）求点D到平面PBC的距离； （3）设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. 【小问2详解】 在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试 数学试卷 班级____________ 姓名____________ 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号及准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 3. 若，则（ ） A B. C. D. 4. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，的平均数与方差均为3，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 20 7. 已知圆为的外接圆，且，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（ ） A. 事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件 B. 事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件 C. 事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立 D. 该机器人至少成功投放一次的概率为 10. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数的图象过点，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 为奇函数 11. 如图，正方体的棱长为2，点在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大 C. 的最小值为 D. 当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知向量，，若，则_________. 13 已知复数，则______. 14. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图. （1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）； （2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率. 17. 如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，. （1）求证：平面POC； （2）求异面直线AD与BP所成角的余弦值. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，. （1）求AD； （2）求点D到平面PBC距离； （3）设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $