专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何的外接球问题 1．（2024春•辛集市期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 6．（2024春•邯郸期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为 　　． 7．（2024春•河北期末）如图，在正三棱锥中，．正三棱柱的顶点，，分别为，，的中点，，，在底面内，则正三棱柱外接球的表面积为 　　． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 （多选）8．（2024春•涉县校级期末）在三棱锥中，平面，，，，，则下列说法正确的是　　 A．此三棱锥的四个面均为直角三角形 B．此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面 C．此三棱锥内切球的半径为 D．此三棱锥外接球的半径为 （多选）9．（2023秋•辛集市期末）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是　　 A．圆锥底面圆的半径为 B．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为 C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为 D．该圆锥的内切球的表面积为 ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 10．（2022秋•路北区校级期末）已知三棱锥中，平面，则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为 　　，　　． 11．（2023春•沧州期末）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 　　． 12．（2024春•武强县校级期末）将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是　　． 13．（2018春•滦南县期末）圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 　4　． 14．（2024秋•正定县校级期末）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 1．（2024秋•衡水期末）在三棱锥中，平面，，．若，，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．（2025春•武强县校级期末）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为　　 A． B． C． D． （多选）3．（2024秋•邯郸期末）如图，四面体由矩形沿对角线折叠而成，其中，，当向量和所成的角为时，下列结论正确的有　　 A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱的长度为4 C．平面 D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 （多选）4．（2024秋•沧州期末）直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则　　 A．与一定不垂直 B．平面 C．三棱锥的外接球表面积为 D．的最小值为 （多选）5．（2024秋•保定期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则　　 A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使平面 C．经过，，，四点的球的表面积为 D．过，，三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 （多选）6．（2024秋•邢台期末）在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，，，则下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面 D．当，时，三棱锥外接球的表面积为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 与球有关的切接问题综合3种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何的外接球问题 题型02空间几何的内切球问题 题型03空间几何体中球的放置问题 ( 题型01 ) 空间几何的外接球问题 1．（2024春•辛集市期末）已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 设底面三角形的中心为，上底面三角形的中心为， 连接，则球的球心在上，连接、、、， 由已知求得，，设求的半径为， 则，解得． 球的体积为． 故选：． 2．（2024春•涉县校级期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积． 故选：． 3．（2024春•邯郸期末）在三棱锥中，平面，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，将三棱锥补成三棱柱， 则三棱锥和三棱柱的外接球相同， 设，分别为和的外心， 则三棱柱的外接球球心为的中点， 连接并延长交于点，则为的中点，连接， 因为，所以， 由正弦定理可得， 所以， 由， 即， 可得， 则， 则外接球的表面积． 故选：． 4．（2023秋•唐县校级期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设外接球的半径为，因为， 所以，所以， 又，，，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面． 由于，所以平面，又平面，所以， 所以，所以是等边三角形． 设其外心为，设是的中点，连接，则， 由于平面平面，平面平面，平面， 所以平面，设，则是矩形的外接圆的圆心． 连接，如图所示，因为平面，所以， 球心在的正上方也在的正上方，故四边形是矩形， 因为， 所以， 所以外接球的表面积为． 故选：． 5．（2023秋•深州市校级期末）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为 　　． 【解析】如图， 由，可得，又由， 可得点到底面的垂足为的外心，即的中点， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有， 解得． 故答案为：． 6．（2024春•邯郸期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为 　　． 【解析】连接交于点，连接，因为，共 面，且平面， 所以，易知为的中点，所以为的中点， 设四面体外接球的球心为，则平面， 设，则， 所以， 解得， 故四面体外接球的表面积为． 故答案为：． 7．（2024春•河北期末）如图，在正三棱锥中，．正三棱柱的顶点，，分别为，，的中点，，，在底面内，则正三棱柱外接球的表面积为 　　． 【解析】在正三棱锥中，， 正三棱锥的高为， 根据题意可得正三棱柱的高为3，底面正三角形的边长为3， 正三棱柱的底面正三角形的中心到该正三角形顶点的距离为， 又正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，设该球的半径为， 则， 正三棱柱外接球的表面积为． 故答案为：． ( 题型02 ) 空间几何的内切球问题 （多选）8．（2024春•涉县校级期末）在三棱锥中，平面，，，，，则下列说法正确的是　　 A．此三棱锥的四个面均为直角三角形 B．此三棱锥的四个面中有四对相互垂直的面 C．此三棱锥内切球的半径为 D．此三棱锥外接球的半径为 【解析】由题知，，，又， 平面，又平面， ， 所以易知此三棱锥的四个面均为直角三角形，故正确； 由题知平面平面，平面平面，平面平面，共三对，故不正确； 设内切球的半径为， 则此三棱锥的体积， 可得，故正确； 设外接球的半径为，取的中点， 由直角三角形的性质知，，所以点为此三棱锥外接球的球心， ， 所以外接球的半径为，不正确． 故选：． （多选）9．（2023秋•辛集市期末）已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则以下结论正确的是　　 A．圆锥底面圆的半径为 B．该圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面在圆锥的侧面上）的侧面积的最大值为 C．该圆锥的内接圆柱的体积的最大值时，圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为 D．该圆锥的内切球的表面积为 【解析】设圆锥底面圆的半径为，母线长为， 则，据此可得， 由圆锥的表面积公式可得，解得， 选项正确； 如图为圆锥和内接圆柱体的轴截面， 则， 设，， 由相似关系得，即，解得， 则内接圆柱的侧面积等于， 由二次函数的性质可知时侧面积最大，最大值为， 选项正确； 内接圆柱的体积等于， 求导可得， 令，解得，令，解得， 所以在单调递增，单调递减， 所以当时圆柱体积最大，此时圆柱的高为， 圆柱的底面圆的半径与圆柱的高的比为， 选项正确； 设内切圆的圆心为半径为， 由等体积法可得， 即， 所以， 因为圆锥的内切球的半径等于， 所以内切球的体积等于，选项错误． 故选：． ( 题型03 ) 空间几何体中球的放置问题 10．（2022秋•路北区校级期末）已知三棱锥中，平面，则该三棱锥的表面积与内切球的半径分别为 　　，　　． 【解析】平面， ， 即是等腰直角三角形， 且，即是等边三角形， 则，， 则该三棱锥的表面积， 设内切球的半径为，球心为， 则， 即 即， 则， 故答案为：，． 11．（2023春•沧州期末）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 　　． 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接，，，，，， 则， 正四面体的高， 因为，所以， 所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，所以， 故该模型中5个球的表面积之和为． 故答案为：． 12．（2024春•武强县校级期末）将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中，水面升高，则钢球的半径是　　． 【解析】水面升高，则知钢球体积为即有， ． 故答案为：3． 13．（2018春•滦南县期末）圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 　4　． 【解析】设球半径为，则由可得，解得． 故答案为：4 14．（2024秋•正定县校级期末）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆， 则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于， 而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得， 解出， 根据球的体积公式，该球的体积． 故选：． 1．（2024秋•衡水期末）在三棱锥中，平面，，．若，，，，四点都在球的表面上，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取的中点，连接，， 在四面体中，平面，是边长为的等边三角形， ，是等腰三角形， 令的中心为，作交的中垂线于， 为外接球的球心，由，， 得球的半径， 故球的表面积为． 故选：． 2．（2025春•武强县校级期末）底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰△的内切圆， 即，，，， 在△中，，由，，则， 在△中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积为． 故选：． （多选）3．（2024秋•邯郸期末）如图，四面体由矩形沿对角线折叠而成，其中，，当向量和所成的角为时，下列结论正确的有　　 A．折叠过程中四面体外接球的表面积恒等于 B．棱的长度为4 C．平面 D．四面体的四个面都是直角三角形，其内切球的半径是 【解析】在四面体中，，，，， 所以外接球的球心在的中点处，且半径，所以表面积为，正确； 因为，又，， 所以，解得，所以选项错误； 由勾股定理易得，又， 所以，，又， 所以平面，所以选项正确； 由勾股定理易得，，又，， 所以四面体的四个面都是直角三角形， 所以易得， 所以四面体的表面积， 设内切球的半径为，所以由等积法可得，解得，所以选项正确． 故选：． （多选）4．（2024秋•沧州期末）直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不含端点），则　　 A．与一定不垂直 B．平面 C．三棱锥的外接球表面积为 D．的最小值为 【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图 对于，当为的中点，与重合，根据正方体的性质可得，故错误； 对于，因为，平面，所以平面，故正确； 则三棱锥的外接球即正方体的外接球， 外接球的半径为，外接球的表面积，故正确； 对于，将面翻折至与共面，此时点与重合， 所以的最小值为，故正确． 故选：． （多选）5．（2024秋•保定期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则　　 A．存在点，使，，，四点共面 B．存在点，使平面 C．经过，，，四点的球的表面积为 D．过，，三点的平面截正方体所得截面图形不可能是五边形 【解析】对于：连接，，，如图所示： 在棱长为2的正方体中，， ，分别是，中点， ， ，故，，，四点共面， 当与重合时满足，，，四点共面，故正确； 对于：取中点为，连接，，，如图所示： ，分别，中点，则与平行且相等， 四边形是平行四边形， ， 又是中点，， ，又平面，平面，故平面，故正确； 对：由图形的对称性易知， 经过，，，四点的球的球心为矩形的中心， 矩形的对角线即为球的直径， 又易得矩形的对角线长为， ，经过，，，四点的球的表面积为，错误； 对，由运动变化思想可得，当与重合时， 过，，三点的平面截正方体的截面为菱形， 当在之间时，由对称性易得： 过，，三点的平面截正方体的截面为六边形， 当当与重合时， 过，，三点的平面截正方体的截面为矩形，正确． 故选：． （多选）6．（2024秋•邢台期末）在棱长为6的正方体中，为的中点，点满足，，，，，则下列说法正确的是　　 A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，平面 D．当，时，三棱锥外接球的表面积为 【解析】如图， 设，，，，分别为棱，，，，的中点， 当时，点在线段上，由，，且， 得平面，而平面，则，故正确； 当时，点在线段上，，平面， 可得与平面不平行，则三棱锥的体积不是定值，故错误； 当时，点在线段上， 由，分别为棱，的中点，得，而不在平面内，则平面， 由，分别为棱，的中点，得，而不在平面内，则平面， 又，则平面平面，而平面，可得平面，故正确． 当，时，为的中点，三棱锥与三棱柱的外接球相同． 在△中，，，责， 所以，设△外接圆的半径为， 在△中，由正弦定理得，即． 设三棱柱外接球的半径为，由勾股定理得， 则三棱锥外接球的表面积，正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$