第25讲 任意角和弧度制-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 8.某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如表: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg6.13 7.90 9.90 12.1515.0217.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的 函数模型,使它能比较近似地反映这个地区 未成年男性体重ykg与身高xcm的函数 关系? 试写出这个函数模型的解析式; (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个 地区一名身高为175cm,体重为78kg的在 校男生的体重是否正常? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第25讲 任意角和弧度制 高中课 程标准 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 1.角的概念 (1)任意角 ①定义:角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形; ②分类:角按旋转方向分为正角、负角和 零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时 针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转 形成的角 (2)象限角 ①定义:使角的顶点与原点重合,角的始边 与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在 第几象限,就说这个角是第几象限角;如果 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于 任何一个象限. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象 限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°, k∈Z} 第二象 限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+ 180°,k∈Z) 第三象 限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+ 270°,k∈Z} 第四象 限角 {α|k·360°-90°<α<k·360°, k∈Z} (3)所有与角α终边相同的角,连同角α在 内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+ α,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 第25讲 任意角和弧度制 弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧 度数是一个负数,零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°=2πrad 2πrad=360° 180°=πrad πrad=180° 1°= π180rad≈ 0.01745rad 1rad= 180π °≈ 57.30° (3)一些特殊角与弧度数的对应关系 度 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360° 弧 度 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π (4)扇形的弧长公式:l=α·r,扇形的面积公 式:S=12lr= 1 2α ·r2,其中r是半径,α(0< α<2π)为弧所对圆心角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 终边相同的角及象限角 下列说法中正确的序号有 . ①-65°是第四象限角;②225°是第三象限 角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象 限角. 跟踪训练 1.下面与-850°12'终边相同的 角是 ( ) A.230°12' B.229°48' C.129°48' D.130°12' 二 区域角的表示 如图,写出终边落在阴影部分的角的 集合(包括边界). 跟踪训练 2.终边在第四象限的角α 的集 合是 ( ) A.{α|-90°<α<0°} B.{α|270°+k·360°<α<k·360°,k∈Z} C.{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z} D.{α|k·180°-90°<α<k·180°,k∈Z} 三 确定nα及αn所在的象限 已知角α的终边在第四象限. (1)试分别判断α2 ,2α是哪个象限的角; (2)求α3 的范围. 跟踪训练 3.若α是第一象限角,则-α2 是 ( ) A.第一象限角 B.第一、四象限角 C.第二象限角 D.第二、四象限角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36 初升高衔接教材 数学 四 角度与弧度的互化与应用 将下列角度化为弧度,弧度转化为 角度: (1)780°;(2)-1560°;(3)67.5°;(4)-103π ; (5)π12 ;(6)7π4. 跟踪训练 4.(1)将112°30'化为弧度为 . (2)将-5π12rad 化为角度为 . 五 与扇形的弧长、面积有关的计算 已知扇形的圆心角是α(α>0),半径 为R. (1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角 α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 最 大面积是多少? 跟踪训练 5.已知一扇形的周长为6a(a>0), 则当该扇形的面积取得最大时,圆心角的大 小为 ( ) A.π6 B. π 4 C.1 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列说法正确的是 ( ) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度 的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都 相等 D.用弧度表示的角都是正角 2.终边在直线y= 3x上的角的集合为( ) A.αα=2kπ+π3 ,k∈Z B.αα=kπ+π3 ,k∈Z C.αα=2kπ±π3 ,k∈Z D.αα=kπ±π3 ,k∈Z 3.已知α是锐角,那么2α是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角 4.砀山被誉为“酥梨之乡”,每逢四月,万树梨 花开,游客八方来.如图1,梨花广场的标志 性建筑就是根据梨花的形状进行设计的,建 筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看 作由两个对称的弓形组成,图2为其中的一 个“花瓣”平面图.设弓形的圆弧所在圆的半 径为R,弦长为 2R,则一个“花瓣”的面积为 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 第25讲 任意角和弧度制 A.π-12 R 2 B.π-22 R 2 C.π-14 R 2 D.(π-1)R2 5.将-157°30'化成弧度为 . 6.如图所示,以正方形ABCD 中的点A 为圆 心,边长AB 为半径作扇形EAB,若图中两 块阴影部分的面积相等,则∠EAD 的弧度 数大小为 . 7.用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴 的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集 合(包括边界,如图所示). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第26讲 三角函数的概念 高中课 程标准 借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.理解同角三角函数的基本关系 式:sin2α+cos2α=1,sinαcosα=tanα. 1.三角函数的定义 前 提 在平面直角坐标 系中,设α是一个 任意角,α∈R,它 的终边与单位圆 交于点P(x,y), 那么: 续表 定 义 正 弦 把点 P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函 数,记作sinα,即y=sinα 余 弦 把点 P 的横坐标x 叫做α 的余弦函 数,记作cosα,即x=cosα 正 切 单位圆上点P 的纵坐标与横坐标的比 值y x 为函数值的函数叫做α 的正切函 数,记作tanα,即yx=tanα (x≠0) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 参考答案 过关精练 巩固提升 1.D 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右 函数值异号 的 零 点 有3个,所 以 用 二 分 法 求 解 的 个 数 为3. 2.D 函数f(x)=x2+mx+1有2个不同的零点等价于方 程x2+mx+1=0有2个不同的根, ∴Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2. 3.D 由函数f(x)= x-2x 在(0,+∞)上单调递增,又由 f 12 = 22-4<0,f(1)=1-2<0,f 32 = 62-43<0, f(2)= 2-1>0, 即f 32 ·f(2)<0, 所以根据零点存在定理可知,函数f(x)= x-2x 的零点 所在的区间为 32,2 . 4.C 可以先画出散点图,并利用散 点图直观地认识变量间的关系,选 择合适的函数模型来刻画它,散点 图如图所示. 由散点图可知,图象不是直线,排 除选项D;图象不符合对数函数的 图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排 除B. 5.解析:因为32 是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则 f 32 =2× 32 2 -a×32+3=0 ,解得a=5, 则有f(x)=2x2-5x+3.由f(x)=0, 即2x2-5x+3=0,解得x=32 或x=1, 所以f(x)的另一个零点为1. 答案:1 6.解析:依题意, 因为f(x)=x-4log3x,所以f(1)=1-4log31=1, f(3)=3-4log33=3-4=-1, 所以f(1)f(3)<0,所以零点所在的区间为(1,3); 故第二次计算f(x1)的值时,x1= 1+3 2 =2 , 所以f(2)=2-4log32=log3 9 16<log31=0 , 所以f(1)f(2)<0,所以零点所在的区间为(1,2); 故第三次计算f(x2)的值时,x2= 1+2 2 = 3 2. 答案:3 2 7.解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想, 知函 数 f(x)的 零 点 在 区 间(1.25,1.375)内,但 区 间 (1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25, 1.375)的 中 点1.3125,两 个 区 间(1.25,1.3125)和 (1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号 相异.又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一 个近似解. 8.解:(1)以身高为横坐标,体重为纵 坐标,画出散点图. 根据点的分布特征,可考虑以y=a ·bx 作为刻画这个地区未成年男 性的体重与身高关系的函数模型. 取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx 得:7.9=a ·b70, 47.25=a·b160, 用计算器算得a≈2,b≈1.02. 这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图 象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与 身高的关系. (2)将x=175代入y=2×1.02x,得y=2×1.02175,由计 算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以这 个男生偏胖. 第25讲 任意角和弧度制 重点题型 例题剖析 [例1] 解析:由题意,①-65°是第四象限角,是正确的; ②225°是第三象限角,是正确的; ③475°=360°+115°,其中115°是第二象限角,所以475° 为第二象限角,是正确的; ④-315°=-360°+45°,其中45°是第一象限角,是正确 的,所以正确的序号为①②③④. 答案:①②③④ [跟踪训练] 1.B 与-850°12'终边相同的角可表示为α =-850°12'+k·360°(k∈Z),当k=3时,α=-850°12' +1080°=229°48'. [例2] 解:图1(1)这是对顶角区域的表示问题,结合图象, 终边落在阴影部分的角的集合可表示为: {α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°或k·360°+225°≤α ≤k·360°+270°,k∈Z} ={α|n·180°+45°≤α≤n·180°+90°,n∈Z). 图(2)在-180°~180°的范围内,阴影部分为-150°~120° 终边落在阴影部分的角的集合可表示为:{α|k·360°- 150°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}. [跟踪训练] 2.C 终 边 在 第 四 象 限 的 角α 的 集 合 是 {α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}或{α|k·360°+ 270°<α<360°+k·360°,k∈Z}. [例3] 解:(1)∵α是第四象限的角, ∴2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴kπ+3π4< α 2<kπ+π (k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时,∴2nπ+3π4< α 2<2nπ+π (n∈Z), 此时α 2 是第二象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时, ∴2nπ+7π4< α 2<2nπ+2π (n∈Z), 此时α 2 是第四象限角. ∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π(k∈Z), 此时2α在第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴上. (2)∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴2kπ3 + π 2< α 3< 2kπ 3 + 2π 3 (k∈Z). [跟踪训练] 3.D 因为α是第一象限角,所以k·360°< α<k·360°+90°,k∈Z, 所以k·180°<α2<k ·180°+45°,k∈Z, 所以α 2 是第一、三象限角. 又因为-α2 与α 2 的终边关于x轴对称, 所以-α2 是第二、四象限角. [例4] 解:(1)780°=780180×π 弧度=13π3 弧度. (2)-1560°=-1560180×π 弧度=-263π 弧度. (3)67.5°=67.5180π 弧度=3π8 弧度. (4)-103π 弧度=-103×180°=-600°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98 初升高衔接教材 数学 (5)π12 弧度=180°12=15°. (6)7π4 弧度=74×180°=315°. [跟踪训练] 4.解析:(1)因为1°= π180rad , 所以112°30'= π180×112.5rad= 5π 8rad. (2)因为1rad= 180π °, 所以-5π12rad=- 5π12×180π °=-75°. 答案.(1)5π8rad (2)-75° [例5] 解:(1)α=60°=π3rad , ∴l=α·R=π3×10= 10π 3 (cm). (2)由已知得,l+2R=20,所以5=12lR= 1 2 (20-2R)R =10R-R2=-(R-5)2+25, 所以当 R=5cm 时,S 取 得 最 大 值25cm2,此 时l= 10cm,α=2. 跟踪训练 5.D 设扇形的半径为r,弧长为l, 则l+2r=6a, 所以l=6a-2r(0<r<3a),扇形面积S=12rl= (3a-r) r=-r2+3ar(0<r<3a). 当r=3a2 时,S有最大值,此时圆心角α=lr = 3a 3a 2 =2. 过关精练 巩固提升 1.A 根据弧度的定义知,“1弧度的圆心角所对的弧长等 于半径”,故A正确. 2.B 在[0,2π]内,终边在直线y= 3x上的角为π3 和4π 3= π+π3 ,则终边在直线y= 3x 上的角的集合为 α α= 2kπ+π3 或2kπ+4π3 ,k∈Z ,即 αα=kπ+π3,k∈Z . 3.C 因为α是锐角,所以α∈ 0,π2 ,所以2α∈(0,π),满 足小于180°的正角. 其中D选项不包括90°,故错误. 4.B 因为弓形的圆弧所在圆的半径为R,弦长为 2R,所以 弓形的圆弧所对的圆心角的大小为π 2 , 所以弓形的面积S=14×πR 2-12R 2, 所以一个“花瓣”的面积为π-2 2 R 2. 5.解 析:-157°30'= -157.5°= -3152 × π 180rad= -78πrad. 答案:-78πrad 6.解析:设AB=1,∠EAD=α. ∵S扇形ADE=S阴影BCD, 由题意可得1 2×1 2×α=12-π×1 2 4 ,∴解得α=2-π2. 答案:2-π2 7.解:因为75°=5π12rad ,由图(1)知:以射线OA 为终边的角 的集合为S1= αα=2kπ+ 5π 12 ,k∈Z , 330°角的终边与-π6rad 的角的终边相同, 以OB 为终边的角为S2= αα=2kπ-π6,k∈Z , 所以终边落在阴影部分内的角的集合为 α 2kπ-π6≤α ≤2kπ+5π12 ,k∈Z . 因为30°=π6rad ,210°=7π6rad , 由图(2)知:以射线OA 为终边的角为S3= ββ=2nπ+ π 6 ,n∈Z ,以射线OB 为终边的角为S4= ββ=2nπ+ 7π 6 ,n∈Z ,所以终边在直线AB 上的角为S= ββ=2nπ +π6 ,n∈Z ∪ ββ=(2n+1)π+π6,n∈Z = ββ=kπ +π6 ,k∈Z , 同理终边在y轴上的角为 ββ=kπ+π2,k∈Z , 所以终边落在阴影部分内的角的集合 αkπ+π6≤α≤kπ +π2 ,k∈Z . 第26讲 三角函数的概念 重点题型 例题剖析 [例1] 解:∵P(x,- 2)(x≠0),∴点P 到坐标原点的距 离r= x2+2 又cosα= 36x ,∴ x x2+2 = 36x. ∵x≠0,x2=10,∴x=± 10,r=2 3. 当x= 10时,点P 的坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义,得sinα=- 2 2 3 =- 66 ,cosα sinα= 10 - 2 =- 5, ∴sinα+cosαsinα=- 6 6- 5=- 6 5+ 6 6 ; 当x=- 10时,同理,可求得sinα+cosαsinα= 6 5- 6 6 . 综上,sinα+cosαsinα 的值为-6 5+ 66 或6 5- 6 6 . [跟踪训练] 1.解析:因为cosα≤0,sinα>0, 所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上. 因为α终边过(3a-9,a+2), 所以 3a-9≤0, a+2>0, 所以-2<a≤3. 答案:(-2,3] [例2] 解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+ 30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°) =sin45°cos30°+cos60°sin30° = 22× 3 2+ 1 2× 1 2= 6 4+ 1 4= 1+ 6 4 . (2)原式=sin -2π+π6 +cos 2π+2π5 tan(4π+0)= sinπ6+cos 2π 5×0= 1 2. [跟踪训练] 2.解:(1)设x=3,y=4,所以tanα=yx = 4 3 , 所以tan(-6π+α)=tanα=43. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 09