第24讲 函数的应用(二)-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第24讲 函数的应用(二) 第24讲 函数的应用(二) 高中课 程标准 1.二分法与求方程的近似解 (1)结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. (2)结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分法求方 程近似解的思路,能借助计算工具用二分法求方程的近似解,了解用二分法求方程 近似解具有一般性. 2.函数与数学模型 (1)理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实 际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. (2)结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数 函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. (3)收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如 何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义. 1.函数的零点 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数y=f(x)的零点. 方程、函数、图象之间的关系: 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有 零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 一条 连 续 不 断 的 曲 线,并 且 有 f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 3.二分法的定义 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函 数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区 间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系,可用二 分法来求方程的近似解. 4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定零点x0 的初始区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的 区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的 零点; ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则 令b=c; ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(a,b)),则 令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则 得到零点近似值a(或b);否则重复步骤 (2)~(4). 以上步骤可简化为:定区间,找中点,中值计 算两边看;同号去,异号算,零点落在异号 间;周而复始怎么办? 精确度上来判断. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 初升高衔接教材 数学 5.常用函数模型 常 用 函 数 模 型 一次函 数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 二次函 数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数, a≠0) 指数函 数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0, a>0,且a≠1) 对数函 数模型 y=mlogax+n(m,a,n 为常数, m≠0,a>0,且a≠1) 幂函数 模型 y=axn+b(a,b为常数,a≠0) 分段函 数模型 y= ax+b(x<m), cx+d(x≥m) 6.建立函数模型解决问题的基本过程 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 零点存在定理的应用 函数y=x2-(m-1)x-m 的一个零 点在区间(1,2)内,则实数m 的取值范围是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3) 跟踪训练 1.函数f(x)=3x+3x-8的零点 所在的区间为 ( ) A.(0,1) B. 1,32 C. 32,3 D.(3,4) 二 二分法的应用 已知函数f(x)=x3-2x-1在区间 (1,2)内存在一个零点,用二分法计算这个 零点的近似值,其参考数据(函数值均保留 四位小数)如下: f(1.5)= -0.6250 f(1.75)= 0.8594 f(1.625)= 0.0410 f(1.5625)= -0.3103 f(1.59375) =-0.1393 f(1.609375) =-0.0503 f(1.6171875) =-0.0050 f(1.62109375) =0.0180 则这个零点的近似值为 .(保留两 位小数) 跟踪训练 2.用二分法求方程x+lgx-3=0 的近似解,以下区间可以作为初始区间的是 ( ) A.[1,2] B.[2,3] C.[3,4] D.[4,5] 三 函数模型的应用 某种商品在近30天内每件的销售价 格P(元)和时间t(天)的函数关系为: P= t+20(0<t<25), -t+100(25≤t≤30). (t∈N*) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的 函数关系为Q=40-t(0<t≤30,t∈N*), 求这种商品的日销售金额的最大值,并指出 日销售金额最大是第几天? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06 第24讲 函数的应用(二) 跟踪训练 3.一家旅社有100间相同的客房, 经过一段时间的经营实践,旅社经理发现, 每间客房每天的价格与住房率之间有如下 关系: 每间每天定价 20元 18元 16元 14元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高,则每间应定价为 ( ) A.20元 B.18元 C.16元 D.14元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点 的个数与可以用二分法求解的个数分别为 ( ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 2.函数f(x)=x2+mx+1有两个不同的零 点,则m 的取值范围是 ( ) A.-1<m<1 B.-2<m<2 C.m>1或m<-1 D.m>2或m<-2 3.函数f(x)= x-2x 的零点所在的区间为 ( ) A. 0,12 B. 12,1 C. 1,32 D. 32,2 4.有一组实验数据如下表所示: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是 ( ) A.u=log2t B.u=2t-2 C.u=t 2-1 2 D.u=2t-2 5.若32 是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零 点,则f(x)的另一个零点为 . 6.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=x- 4log3x,用二分法计算此函数在区间[1,3] 上零点的近似值,第一次计算f(1),f(3)的 值,第二次计算f(x1)的值,第三次计算 f(x2)的值,则x2= . 7.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x 的根的 近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并 用计算器得到下表: x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x)1.07940.1918 -0.3604-0.9989 由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x 的一个近似解(精确度为0.1). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 初升高衔接教材 数学 8.某地区不同身高的未成年男性的体重平均 值如表: 身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg6.13 7.90 9.90 12.1515.0217.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)根据表中提供的数据,能否建立恰当的 函数模型,使它能比较近似地反映这个地区 未成年男性体重ykg与身高xcm的函数 关系? 试写出这个函数模型的解析式; (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个 地区一名身高为175cm,体重为78kg的在 校男生的体重是否正常? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第25讲 任意角和弧度制 高中课 程标准 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 1.角的概念 (1)任意角 ①定义:角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形; ②分类:角按旋转方向分为正角、负角和 零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时 针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转 形成的角 (2)象限角 ①定义:使角的顶点与原点重合,角的始边 与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在 第几象限,就说这个角是第几象限角;如果 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于 任何一个象限. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象 限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°, k∈Z} 第二象 限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+ 180°,k∈Z) 第三象 限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+ 270°,k∈Z} 第四象 限角 {α|k·360°-90°<α<k·360°, k∈Z} (3)所有与角α终边相同的角,连同角α在 内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+ α,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 初升高衔接教材 数学 [跟踪训练] 5.D ∵b>a>1,∴ 函 数 y=logax 在 (0,+∞)上单调递增,图象过一、四象限. 又∵函数y=loga(x+b)的图象是由函数y=logax 的图 象向左平移b个单位长度得到, 而b>1,∴函数y=loga(x+b)的图象不经过第四象限. [例4] A a=log3 1 2<log31=0 ,0=log31<b=log32< log33=1,c=log23>log22=1, 所以a<b<c. [跟踪训练] 6.解:(1)对数函数y=log5x在(0,+∞)上是 增函数,而3 4< 4 3 ,所以log5 3 4<log5 4 3. (2)由于log132= 1 log2 1 3 ,log152= 1 log2 1 5 , 对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 且1 3> 1 5 ,所以0>log2 1 3>log2 1 5 , 所以 1 log2 1 3 < 1 log2 1 5 ,所以log132<log132. (3)取中间值1,因为log23>log22=1=log55>log54, 所以log23>log54. [例5] 解析:因为函数y=log0.6x 在(0,+∞)上单调递 减,log0.6(x+2)>log0.6(1-x), 得0<x+2<1-x,解得-2<x<-12 , 所以实数x的取值范围是 -2,-12 . 答案: -2,-12 [跟踪训练] 7.A 由log2x<1,解得0<x<2. 由x2+x-6<0,解得-3<x<2. 由(0,2)⫋(-3,2),∴“log2x<1”是“x2+x-6<0”的充 分不必要条件. [例6] C 因为函数y=f(x)的图象与y=lgx的图象关 于直线y=x对称, 所以函数y=f(x)与函数y=lgx互为反函数, 所以f(x)=10x,所以f(lg3)·f(lg4)=10lg3×10lg4= 3×4=12. [跟踪训练] 8.D 因为y=ex,所以其反函数为y=lnx, 即f(x)=lnx, 所以f(3x)=ln3x=lnx+ln3(x>0). 过关精练 巩固提升 1.D A,B,C均为对数型复合函数,而D是底数为自然常 数的对数函数. 2.B 0=lg1<x=lg9<lg10=1,即0<x<1; 1=30<y=30.1,即y>1; z=ln13<ln1=0 ,即z<0.故z<x<y. 3.C 由题意,根据函数f(x)=loga(x+b)的图象, 可得0<a<1,0<b<1. 根据指数函数y=a-x(0<a<1)的图象与性质, 结合图象变换,向下移动b个单位长度,可得函数g(x)= a-x-b的图象只有选项C符合. 4.AD A正确,∵x2-x+1= x-12 2 +34>0 恒成立, ∴函数f(x)的定义域为 R;D正确,函数f(x)的图象关 于直线x=12 对称. 5.解析:由题意,x≥0. 在y=f(x)= x中,x=y2,y=f(x)= x≥0, x,y互换得,y=x2,∴f-1(x)=x2(x≥0). 答案:x2(x≥0) 6.解析:令2x-3=1,得x=2,此时y=8,故定点A(2,8). 设f(x)=xα,则f(2)=2α=8,得α=3,故f(3)=33=27. 答案:27 7.解:(1)由x2-4>0,可得x>2或x<-2, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞). (2)因为y=x2-4在(-∞,-2)上 单 调 递 减,在(2, +∞)上单调递增,y=log2x是增函数, 所以函数f(x)=log2(x2-4)在(-∞,-2)上单调递减, 在(2,+∞)上单调递增. (3)因为f(x)>3,所以log2(x2-4)>3=log28, 所以x2-4>8,x2>2,所以x>2 3或x<-2 3, 所以不等式f(x)>3的解集为(-∞,-23)∪(23,+∞). 8.解:(1)由 x-1>0 , 6-2x>0, ,解得1<x<3, ∴函数φ(x)的定义域为{x|1<x<3}. (2)不等式f(x)≤g(x), 即为loga(x-1)≤loga(6-2x). ①当a>1时,不等式等价于 1<x<3 , x-1≤6-2x, 解得1<x≤73 ; ②当0<a<1时,不等式等价于 1<x<3 , x-1≥6-2x, 解得7 3≤x<3. 综上可得,当a>1时,不等式的解集为 1,73 ; 当0<a<1时,不等式的解集为 73,3 . 第24讲 函数的应用(二) 重点题型 例题剖析 [例1] C 令f(x)=x2-(m-1)x-m=0,即(x+1) (x-m)=0,解得x1=-1,x2=m. 又因为函数 f(x)的 一 个 零 点 在 区 间(1,2)内,-1∉ (1,2),所以m∈(1,2), 所以实数m 的取值范围是(1,2). [跟踪训练] 1.B 因为函数y=3x,y=3x-8均为R上的 增函数,故函数f(x)为R上的增函数. 因为函数f(x)在R上是连续的曲线, 且f(1)=-2<0,f 32 =3 3-72>0, 所以函数f(x)的零点所在的区间为 1,32 . [例2] 解析:由表可知,f(1.6171875)=-0.0050<0, f(1.62109375)=0.0180>0, 所以函 数 f(x)=x3-2x-1在 区 间(1.6171875, 1.62109375)内存在零点, 这个零点保留两位小数后的近似值为1.62. 答案:1.62 [跟踪训练] 2.B 设f(x)=x+lgx-3,显然函数图象是 连续的, 则有f(1)=-2<0,f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0, f(4)=1+lg4>0,f(5)=2+lg5>0, 所以f(1)·f(2)>0,f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)>0, f(4)·f(5)>0, 故区间[2,3]可以作为初始区间. [例3] 解:设日销售金额为y(元),则y=PQ, 所以y= -t2+20t+800(0<t<25), t2-140t+4000(25≤t≤30). (t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时,y=-(t-10)2+900, 所以当t=10时,ymax=900元. ②当25≤t≤30且t∈N*时,y=(t-70)2-900, 所以当t=25时,ymax=1125元. 结合①②,得ymax=1125元. 因此,这种商品日销售额的最大值为1125元,且在第25 天时日销售金额达到最大. [跟踪训练] 3.C 每天的收入在四种情况下分别为20× 65%×100=1300(元),18×75%×100=1350(元),16× 85%×100=1360(元),14×95%×100=1330(元). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 88 参考答案 过关精练 巩固提升 1.D 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右 函数值异号 的 零 点 有3个,所 以 用 二 分 法 求 解 的 个 数 为3. 2.D 函数f(x)=x2+mx+1有2个不同的零点等价于方 程x2+mx+1=0有2个不同的根, ∴Δ=m2-4>0,解得m>2或m<-2. 3.D 由函数f(x)= x-2x 在(0,+∞)上单调递增,又由 f 12 = 22-4<0,f(1)=1-2<0,f 32 = 62-43<0, f(2)= 2-1>0, 即f 32 ·f(2)<0, 所以根据零点存在定理可知,函数f(x)= x-2x 的零点 所在的区间为 32,2 . 4.C 可以先画出散点图,并利用散 点图直观地认识变量间的关系,选 择合适的函数模型来刻画它,散点 图如图所示. 由散点图可知,图象不是直线,排 除选项D;图象不符合对数函数的 图象特征,排除选项A;当t=3时,2t-2=23-2=6,排 除B. 5.解析:因为32 是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则 f 32 =2× 32 2 -a×32+3=0 ,解得a=5, 则有f(x)=2x2-5x+3.由f(x)=0, 即2x2-5x+3=0,解得x=32 或x=1, 所以f(x)的另一个零点为1. 答案:1 6.解析:依题意, 因为f(x)=x-4log3x,所以f(1)=1-4log31=1, f(3)=3-4log33=3-4=-1, 所以f(1)f(3)<0,所以零点所在的区间为(1,3); 故第二次计算f(x1)的值时,x1= 1+3 2 =2 , 所以f(2)=2-4log32=log3 9 16<log31=0 , 所以f(1)f(2)<0,所以零点所在的区间为(1,2); 故第三次计算f(x2)的值时,x2= 1+2 2 = 3 2. 答案:3 2 7.解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想, 知函 数 f(x)的 零 点 在 区 间(1.25,1.375)内,但 区 间 (1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25, 1.375)的 中 点1.3125,两 个 区 间(1.25,1.3125)和 (1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号 相异.又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一 个近似解. 8.解:(1)以身高为横坐标,体重为纵 坐标,画出散点图. 根据点的分布特征,可考虑以y=a ·bx 作为刻画这个地区未成年男 性的体重与身高关系的函数模型. 取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a· bx 得:7.9=a ·b70, 47.25=a·b160, 用计算器算得a≈2,b≈1.02. 这样,我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图 象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与 身高的关系. (2)将x=175代入y=2×1.02x,得y=2×1.02175,由计 算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以这 个男生偏胖. 第25讲 任意角和弧度制 重点题型 例题剖析 [例1] 解析:由题意,①-65°是第四象限角,是正确的; ②225°是第三象限角,是正确的; ③475°=360°+115°,其中115°是第二象限角,所以475° 为第二象限角,是正确的; ④-315°=-360°+45°,其中45°是第一象限角,是正确 的,所以正确的序号为①②③④. 答案:①②③④ [跟踪训练] 1.B 与-850°12'终边相同的角可表示为α =-850°12'+k·360°(k∈Z),当k=3时,α=-850°12' +1080°=229°48'. [例2] 解:图1(1)这是对顶角区域的表示问题,结合图象, 终边落在阴影部分的角的集合可表示为: {α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°或k·360°+225°≤α ≤k·360°+270°,k∈Z} ={α|n·180°+45°≤α≤n·180°+90°,n∈Z). 图(2)在-180°~180°的范围内,阴影部分为-150°~120° 终边落在阴影部分的角的集合可表示为:{α|k·360°- 150°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}. [跟踪训练] 2.C 终 边 在 第 四 象 限 的 角α 的 集 合 是 {α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}或{α|k·360°+ 270°<α<360°+k·360°,k∈Z}. [例3] 解:(1)∵α是第四象限的角, ∴2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴kπ+3π4< α 2<kπ+π (k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时,∴2nπ+3π4< α 2<2nπ+π (n∈Z), 此时α 2 是第二象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时, ∴2nπ+7π4< α 2<2nπ+2π (n∈Z), 此时α 2 是第四象限角. ∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π(k∈Z), 此时2α在第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴上. (2)∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π (k∈Z), ∴2kπ3 + π 2< α 3< 2kπ 3 + 2π 3 (k∈Z). [跟踪训练] 3.D 因为α是第一象限角,所以k·360°< α<k·360°+90°,k∈Z, 所以k·180°<α2<k ·180°+45°,k∈Z, 所以α 2 是第一、三象限角. 又因为-α2 与α 2 的终边关于x轴对称, 所以-α2 是第二、四象限角. [例4] 解:(1)780°=780180×π 弧度=13π3 弧度. (2)-1560°=-1560180×π 弧度=-263π 弧度. (3)67.5°=67.5180π 弧度=3π8 弧度. (4)-103π 弧度=-103×180°=-600°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 98