第20讲 指数-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 7.某单位在国家科研部门的支持下进行技术 攻关,采取了新工艺,把二氧化碳转化为一 种可利用的化工产品.已知该单位每月的处 理量最少为400吨,最多为600吨,月处理 成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关 系可 近 似 的 表 示 为 y=12x 2-200x+ 80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的 化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使 每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利? 如果获利,求出 最大利润;如果不获利,则需要国家至少补 贴多少元才能使单位不亏损? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第20讲 指数 初中课程标准 高中课程标准 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解整数指数幂的意义和基本性质. 通过对有理数指数幂a m n (a>0,且a≠1;m,n为整数,且 n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了 解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 根式 (1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根. (2)式子 n a叫做根式,其中n叫做根指数,a叫 做被开方数. (3)根式的性质 n 0=0(n∈N*,且n>1);( n a)n=a. 当n为奇数时, n an=a. 当n为偶数时, n an=|a|= a,a≥0, -a,a<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 第20讲 指数 一 利用根式的性质化简求值 求下列各式的值: (1) 3 (-6)3+ 4 (5-4)4+ 3 (5-4)3; (2)x2-2x+1- x2+6x+9(-3<x<3). 跟踪训练 1.化简 3 -a· 6 a的结果为 . 二 根式与分数指数幂的互化 把根式化为分数指数幂,把分数指数 幂化为根式(式中字母均为正实数). (1)b- 7 9;(2)27 m3 ;(3)(a+b) 3 4;(4) 15 x3+y . 跟踪训练 2.下列根式与分数指数幂的互化 正确的是 ( ) A.- x=(-x) 1 2 B.x- 3 4= 4 1x 3(x>0) C. 6 y2=y 1 3 D.[ 3 (-x)2] 3 4=x 1 2(x<0) 三 利用分数指数幂的运算性质化简求值 计算或化简下列各式: (1)(a-2)·(-4a-1)÷(12a-4)(a>0); (2) -338 -23 +0.002- 1 2 -10(5-2)-1 +(2- 3)0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 初升高衔接教材 数学 跟踪训练 3.计算: (1) 214 1 2 - (-9.6)0- 338 -23 + (1.5)-2; (2) 3 (-4)3- 12 0 +0.25 1 2× -12 -4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知x7=8,则x等于 ( ) A.2 2 B. 7 8 C.- 7 8 D.± 7 8 2.已知 (a-b)2=a-b,则 ( ) A.a>b B.a≥b C.a<b D.a≤b 3.下列各式正确的是 ( ) A. 8 a8=a B.a0=1 C. 4 (-4)4=-4 D. 5 (-π)5=-π 4.已知a>0,则化简 a 2 a2 2+ 2 的结果是 ( ) A.a-2 B.a-1 C.a D.a2 5. 278 1 3 -(30.5)2+(0.008)- 2 3×425= . 6.(1-x)2+ (2-x)2(x≥1)= . 7.化简下列各式: (1) 5 (-2)5+( 5(-2))5; (2) 6 (-2)6+( 6 2)6; (3) 4 (x+2)4. 8.已知a 1 2+a- 1 2=3,求下列各式的值. (1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a 3 2+a- 3 2+2 a2+a-2+3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05 参考答案 ∴当t=1-x=1,即x=0时,函数y=- t+4t 取到最 大值-5,∴a≥-5. 综上所述,a的取值范围是[-5,4]. [跟踪训练] 4.解析:f(x)=x 2+3x+2 x+3 =x+3+ 2 x+3- 3(-2<x<0),令t=x+3∈(1,3). 因为y=t+2t 在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递 增,所以t+2t≥2 2 ,当t=1时,y=t+2t =3 ,当t=3 时,y=t+2t= 11 3 ,所以f(x)∈ 2 2-3,23 . 答案: 2 2-3,23 过关精练 巩固提升 1.D 依题意得2x+y=20,所以y=20-2x. 由三边形三边关系可得 y<2x, y>0, 即0<20-2x<2x,解得 5<x<10. 因此,函数解析式为y=20-2x(5<x<10). 2.D 因为函数f(x)= kx+2,x≤1, x2-kx+3k,x>1 在 R上为单调 递增函数, 所以 k>0, k 2≤1 , k+2≤1-k+3k, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴1≤k≤2. 3.A 设该公司在甲地销x辆,x∈[0,150], 那么乙地销150-x辆,利润L(x)=0.506x-0.0015x2 +0.2(150-x)=-0.0015x2+0.306x+30, 函数L(x)的图象为开口向下的抛物线, 对称轴方程为x=102,∴x=102时,L(x)取到最大值,这 时最大利润为45.606万元. 4.BD 由图象可知函数s=f(t)的值域为(0,5],故B正确; 由图象可知函数s=f(t)在(0,1)上单调递增,又当t1, t2∈(0,1)(t1≠t2)时, f(t1)-f(t2) t1-t2 >0,则s=f(t)在 (0,1)上单调递增,故D正确. 5.解析:设总利润为L(x), 则L(x)= - 1 2x 2+200x-10000,0≤x<300, -100x+35000,x≥300. 则L(x)= - 1 2 (x-200)2+10000,0≤x<300, -100x+35000,x≥300. 当0≤x<300时,L(x)max=10000, 当x≥300时,L(x)max=5000, 所以总利润最大时店面经营天数是200. 答案:200 6.解:(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35), C(30,15)分别代入y1,y2,得k1= 1 5 ,k2= 1 2 , ∴y1= 1 5x+29 ,y2= 1 2x. (2)令y1=y2,即 1 5x+29= 1 2x ,则x=9623. 当x=9623 时,y1=y2,两种卡收费一致; 当x<9623 时,y1>y2,即使用“便民卡”便宜; 当x>9623 时,y1<y2,即使用“如意卡”便宜. 7.解:(1)由题意知,平均每吨二氧化碳的处理成本为yx = 1 2x+ 80000 x -200≥2 1 2x ·80000 x -200=200 ; 当且仅当1 2x= 80000 x ,即x=400时等号成立, 故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低. (2)不获利,设该单位每个月获利为S元,则S=100x-y =100x- 12x2-200x+80000 =-12x2+300x- 80000=-12 (x-300)2-35000. 因为x∈[400,600],则S∈[-80000,-40000], 故该单位每月不获利,需要国家每个月至少补贴40000 元才能不亏损. 第20讲 指数 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1) 3 (-6)3+ 4 (5-4)4+ 3 (5-4)3=-6+ (4- 5)+ 5-4=-6. (2)原 式= (x-1)2- (x+3)2=|x-1|-|x+3| (-3<x<3). 因为-3<x<3,所以-4<x-1<2,0<x+3<6, 当-4<x-1<0,即-3<x<1时,|x-1|-|x+3|= 1-x-(x+3)=-2x-2; 当0≤x-1<2,即1≤x<3时,|x-1|-|x+3|=x- 1-(x+3)=-4, 所以原式= -2x-2 ,-3<x<1, -4,1≤x<3. . [跟踪训练] 1.解析:由题意,可知a≥0, ∴ 3 -a· 6 a=(-a) 1 3 ·a 1 6 =-a 1 3 ·a 1 6 =-a 1 3+ 1 6 = -a 1 2=- a. 答案:- a [例2] 解:(1)b- 7 9= 19 b7 .(2)27 m3 =2m- 3 7. (3)(a+b) 3 4= 4 (a+b)3.(4) 15 x3+y =(x3+y)- 1 5. [跟踪训练] 2.B x- 3 4 = 1x 3 4 = 4 1x 3 (x>0),故选 项B正确. [例3] 解:(1)原式=-4a-2-1÷(12a-4)=-13a -3+4= -13a. (2)原式= -278 -23 + 1500 -12 - 10 5-2 +1 = -32 3 -23 +500 1 2-10(5+2)+1 =49+10 5-10 5-20+1=- 167 9 . [跟踪训练] 3.解:(1) 214 1 2 -(-9.6)0- 338 -23 + (1.5)-2= 94-1- 278 -23 + 32 -2 =32-1- 4 9+ 4 9= 1 2. (2) 3 (-4)3- 12 0 +0.25 1 2× -12 -4 =-4-1+ 0.25×(- 2)4=-3. 过关精练 巩固提升 1.B 因为7为奇数,8的7次方根只有一个 7 8. 2.B (a-b)2=|a-b|=a-b, 所以a-b≥0,所以a≥b. 3.D 5 (-π)5=-π,故D正确. 4.D a2a2 2+ 2 =(a2- 2)2+ 2=a4-2=a2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58 初升高衔接教材 数学 5.解析: 278 1 3 -(30.5)2+(0.008)- 2 3 ×425= 32 3×13 - 3 1 2×2+ 15 3× -23 ×425=32-3+4=52. 答案:5 2 6.解析:当1≤x≤2时,(1-x)2+ (2-x)2=x-1+2- x=1; 当x>2时, (1-x)2+ (2-x)2=x-1+x-2= 2x-3. 所以 (1-x)2+ (2-x)2= 1 (1≤x≤2), 2x-3(x>2). 答案:1,1≤x≤2, 2x-3,x>2 7.解:(1)原式=(-2)+(-2)=-4. (2)原式=|-2|+2=2+2=4. (3)原式=|x+2|= x+2 ,x≥-2. -x-2,x<-2. 8.解:(1)将a 1 2+a- 1 2=3两边平方,得a+a-1+2=9, ∴a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47. (3)∵a 1 2+a- 1 2=3,a+a-1=7,a2+a-2=47, ∴a 3 2 +a- 3 2 =(a 1 2)3+(a- 1 2)3=(a 1 2 +a- 1 2)(a-1+ a-1)=3×(7-1)=18, ∴a 3 2+a- 3 2+2 a2+a-2+3 =18+247+3= 2 5. 第21讲 指数函数 重点题型 例题剖析 [例1] 解析:对于②,y=x4为幂函数. 根据指数函数的定义可以判断:①y=4x,④y= 12 2x = 14 x ,⑤y=2-x= 12 x ,所以①④⑤都是指数函数. ③y=-4x,⑥y=2x-1=2 x 2 不是指数函数. 答案:①④⑤ [跟踪训练] 1.C 由题意得 a>0, a≠1, a2-4a+4=1, 解得a=3. [例2] 解析:(1)∵f(x)=ax,f(2)=9, ∴a2=9.又a>0,∴a=3,∴f(x)=3x,∴f 12 = 3. (2)∵y= 1 2x-1 ,∴2x-1>0,解得x>0,即函数的定义 域为(0,+∞). 答案:(1)D (2)(0,+∞) [跟踪训练] 2.A 因为f(x)= x- 1 2-1,x≥0, 2x,x<0, 所以f(4)=4- 1 2-1=12-1=- 1 2 , 所以f(f(4))=f -12 =2-12= 22. [例3] C 当a>1时,1a∈ (0,1),因此0<f(0)=1- 1 a<1 ,且函数f(x)=ax-1a 在 R 上单调递增,故 A,B 均不符合; 当0<a<1时,1a>1 ,因此f(0)=1-1a<0 ,且函数 f(x)=ax-1a 在R上单调递减,故C符合,D不符合. [跟踪训练] 3.C 由题图,直线x=1与函数图象的交点 的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而 3>54> 1 2> 1 3 , 结合各选项知C正确. [例4] 解析:原式可化为 13 x 2 +x ≤ 13 2x+30 . 因为y= 13 x 为减函数,所以x2+x≥2x+30,即x2- x-30≥0,解得x≥6或x≤-5,所以原不等式的解集为 (-∞,-5]∪[6,+∞). 答案:(-∞,5]∪[6,+∞) [跟踪训练] 4.C 由题设A={x|-1≤x≤1}, B={x|x>0},所以A∩B=(0,1]. 过关精练 巩固提升 1.D ①中底数-8<0,所以不是指数函数; ②中指数不是自变量x,而是x 的函数,所以不是指数 函数; ③中底数a,只有规定a>0且a≠1时,才是指数函数; ④中3x 前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数. 2.A 因为a>1,所以f(x)是增函数,g(x)的图象与y 轴 上的交点为(0,a)(a>1),故只有A项正确. 3.C 对于函数f(x),令x-3=0,可得x=3,则f(3)= a0+2=3,所以函数f(x)=ax-3+2(a>0,且a≠1)的图 象恒过定点坐标为(3,3). 4.C 由题意可知,y1=90.9=31.8,y2=270.48=(33)0.48= 31.44,y3= 13 -1.5 =[(3)-1]-1.5=31.5. 又函数y=3x 在R上是单调递增函数, 因为1.8>1.5>1.44, 所以31.8>31.5>31.44,故y1>y3>y2. 5.解析:由题知18-2 x-1≥0,即18≥2 x-1,即2-3≥2x-1. 因为y=2x 为单调递增函数,所以-3≥x-1,即x≤-2. 答案:(-∞,-2] 6.解析:当a>1时,y=ax 在R上单调递增,由x>x-2,可 得ax>ax-2; 当0<a<1时,y=ax 在R上单调递减,由x>x-2,可得 ax<ax-2. 因为不等式ax<ax-2对一切实数x都成立, 所以0<a<1,所以a的取值可为12. 答案:1 2 (答案不唯一) 7.解:(1)∵2= 12 -1 , ∴原不等式可以转化为 12 3x-1 ≤ 12 -1 . ∵y= 12 x 在R上是减函数,∴3x-1≥-1,∴x≥0, 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)分情况讨论: ①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在 R上是 减函数,∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0, 可得x<-1或x>5; ②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在 R上是增函 数,∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0, 可得-1<x<5. 综上所述,当0<a<1时,x的取值范围是(-∞,-1)∪ (5,+∞); 当a>1时,x的取值范围是(-1,5). 第22讲 对数 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)由对数定义得x=log32. (2)由对数定义得m=log26. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 68