第19讲 函数的应用(一)-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第19讲 函数的应用(一) 第19讲 函数的应用(一) 高中课 程标准 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情 境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.通过具体事例,建立分段函数模型,并解决较为简单的实际问题. 1.常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0) 二次函 数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数, a≠0) 分段函 数模型 f(x)= f1(x),x∈D1, f2(x),x∈D2, ︙ fn(x),x∈Dn 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 幂函数 模型 f(x)=kxα +b(k,b,α 为 常 数, k≠0) 2.对勾函数(耐克函数) 对勾函数(一般模型):对勾函数是一种类似 于反比例函数的一般双曲函数,又被称为 “双勾函数”“勾函数”“对号函数”“双飞燕函 数”.所谓的对勾函数,是形如:f(x)=ax+ b x (a>0,b>0)的函数. (1)定义域:(-∞,0)∪(0,+∞); (2)f(x)=ax+bx 是奇函数,图象关于原点 对称; (3)f(x)=ax+bx 在 - ba,0 , 0,ba 上 单调递减,在 -∞,- ba , ba,+∞ 上 单调递增; (4)当x∈(0,+∞)时,f(x)min=f ba = 2 ab,当 x∈ (- ∞,0)时,f(x)max= f - ba =-2 ab. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 一次函数模型 某公司市场 营销人员的个人月 收入与其每月的销 售量成一次函数关 系,其图象如图所 示,由图中给出的信息可知,营销人员没有 销售量时的收入是 ( ) A.310元 B.300元 C.290元 D.280元 跟踪训练 1.某厂日生产文具盒的总成本y (元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+ 30000,而出厂价格为每套12元,要使该厂 不亏本,至少日生产文具盒 ( ) A.2000套 B.3000套 C.4000套 D.5000套 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 初升高衔接教材 数学 二 二次函数模型 一公司某年用128万元购进一台生产 设备,使用x年后需要的维护费总计2x2+ 14x万元,该设备每年创造利润54万元. (1)求使用设备生产多少年,总利润最大,最 大是多少? (2)求使用设备生产多少年,年平均利润最 大,最大是多少? 跟踪训练 2.某自来水厂的蓄水池中存有水 400吨,水厂每小时向蓄水池注水60吨,而 蓄水池1小时内向居民小区供水总量为 120 6t吨(0≤t≤24).若蓄水池中的水量少 于80吨,就会出现供水紧张,则在一天24 小时内,出现供水紧张的时长约为 ( ) A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.9小时 三 分段函数模型 某企业计划引进新能源汽车生产设备, 通过市场分析,每生产x(千辆)获利W(x)(万 元),W(x)= 30x+350,0<x≤2, -2x2+40x+340,2<x<6, 该公 司预 计2022年 全 年 其 他 成 本 总 投 入 为 (20x+10)万元.由市场调研知,该种车销路 畅通,供不应求.记2022年的全年利润为 f(x)(单位:万元). (1)求函数f(x)的解析式; (2)当2022年产量为多少千辆时,该企业利 润最大? 最大利润是多少? 跟踪训练 3.设函数f(x)= |2x-6|,x≥0, 3x+6,x<0. 若 互不相等的实数x1,x2,x3 满足f(x1)= f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围 是 . 四 对勾函数及其应用 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+4 (a∈R).若对任意的x∈[0,4],f(x)+a+ 1≥0恒成立,求实数a的取值范围. 跟踪训练 4.函数f(x)=x 2+3x+2 x+3 (-2< x<0)的值域为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 第19讲 函数的应用(一) 1.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰 长x 的函数,它的解析式为 ( ) A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10) 2.若函数f(x)= kx+2,x≤1, x2-kx+3k,x>1 在R上为单 调递增函数,则实数k的取值范围是 ( ) A.(0,2]B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2] 3.某公司在甲、乙两地销售同一种产品,利润 (单 位:万 元)分 别 为 L1 =0.506x - 0.0015x2,L2=0.2x,其中x(单位:件)为 在当地的销量.若该公司在甲、乙两地共销 售该产品150件,则公司能获得的最大利 润为 ( ) A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元 D.45.51万元 4.(多选)函数s=f(t)的图象如图所示(图象 与t正半轴无限接近,但永远不相交),则下 列说法正确的是 ( ) A.函数s=f(t)的定义域为[-3,+∞) B.函数s=f(t)的值域为(0,5] C.当s∈[1,2]时,有两个不同的t值与之 对应 D.当t1,t2∈(0,1)(t1≠t2)时, f(t1)-f(t2) t1-t2 >0 5.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖 店,经过预算,店面装修费为10000元,每天 需要房租水电等费用100元,受营销方法、 经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收 入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)= 300x-12x 2,0≤x<300, 45000,x≥300, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则总利润最大时 店面经营天数是 . 6.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移 动电话采用不同的收费方式,其中所使用的 “如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关 系分别如图①、②所示. (1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之 间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种 卡便宜? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 初升高衔接教材 数学 7.某单位在国家科研部门的支持下进行技术 攻关,采取了新工艺,把二氧化碳转化为一 种可利用的化工产品.已知该单位每月的处 理量最少为400吨,最多为600吨,月处理 成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关 系可 近 似 的 表 示 为 y=12x 2-200x+ 80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的 化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使 每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利? 如果获利,求出 最大利润;如果不获利,则需要国家至少补 贴多少元才能使单位不亏损? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第20讲 指数 初中课程标准 高中课程标准 1.了解二次根式、最简二次根式的概念. 2.了解整数指数幂的意义和基本性质. 通过对有理数指数幂a m n (a>0,且a≠1;m,n为整数,且 n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了 解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 根式 (1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根. (2)式子 n a叫做根式,其中n叫做根指数,a叫 做被开方数. (3)根式的性质 n 0=0(n∈N*,且n>1);( n a)n=a. 当n为奇数时, n an=a. 当n为偶数时, n an=|a|= a,a≥0, -a,a<0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 初升高衔接教材 数学 3.C 要使函数f(x)= 1 2-x +x0有意义, 则有 2-x>0, x≠0 解得x<2且x≠0, 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,2). 4.AB 函数y= x的值域为[0,+∞),A正确;函数y= x2-2x+1=(x-1)2的值域为[0,+∞),B正确. 5.解析:因为y=xα 的图象恒过(1,1), 所以f(x)=2+xα 的图象恒过定点P(1,3). 答案:(1,3) 6.解析:因为f(x)=(m2-5m+5)xm+1是幂函数, 所以m2-5m+5=1⇒m=1或m=4. 当m=4时,f(x)=x5,因为f(-x)=-x5=-f(x),所 以函数f(x)=x5是奇函数,不符合题意; 当m=1时,f(x)=x2,因为f(-x)=x2=f(x),所以函 数f(x)=x2是偶函数,符合题意, 故该函数的增区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 7.解:(1)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴32+k- 1 2k 2>0,解得-1<k<3. 又∵k∈Z,∴k=0,1,2. 由f(x)为偶函数知k=1,∴f(x)=x2. (2)若f(x)在(0,+∞)上是减函数,则32+k- 1 2k 2<0, 解得k<-1或k>3(k∈Z), 即k的取值范围是{k|k<-1,或k>3,且k∈Z}. 8.(1)解:因为函数f(x)=(2t2+t)x-2t(t∈R)为幂函数, 所以2t2+t=1,解 得t=-1或t=12. 当t=-1时, f(x)=x2,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以t= 1 2 ,f(x)=x-1,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)证明:由(1)知 函 数g(x)=[f(x)]2- 1[f(x)]2 = x-2- 1 x-2 (x≠0).设x1>x2>0,则g(x1)-g(x2)= x-21 - 1 x-21 -x-22 + 1 x-22 =(x22-x21)+ x22-x21 x21x22 . 因为x1>x2>0,所以x21>x22,x22-x21<0,x21x22>0, 所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 第19讲 函数的应用(一) 重点题型 例题剖析 [例1] B 设函数解析式为y=kx+b(k≠0), 函数图象过点(1,800),(2,1300), 则 k+b=800, 2k+b=1300, 解得 k=500,b=300, 所以y=500x+300,当x=0时,y=300, 所以营销人员没有销售量时的收入是300元. [跟踪训练] 1.D 因利润z=12x-(6x+30000), 所以z=6x-30000.由z≥0,解得x≥5000,故至少日生 产文具盒5000套. [例2] 解:(1)设该设备使用x年后获得总利润为y 万元, 则y=54x-128-(2x2+14x)=-2x2+40x-128= -2(x-10)2+72,该二次函数的图象为开口向下、对称 轴为x=10的抛物线, 所以当x=10时,总利润取得最大,且最大值为72万元. (2)由(1)可知,年平均利润为yx = -2x2+40x-128 x = -2 x+64x-20 ≤-2 2 x·64x-20 =8, 当且仅当x=64x ,即x=8时,等号成立, 所以使用设备8年后的年平均利润最大,且最大值为8万 元. [跟踪训练] 2.C 设蓄水池中的水量为y,则y=400+ 60t-120 6t,0≤t≤24, 设 6t=m,m∈[0,12],t=m 2 6 , 则y=400+60·m 2 6-120m=10m 2-120m+400. 令y<80,解得4<m<8,所以83<t< 32 3 , 所以出现供水紧张的时长约为32 3- 8 3=8 (小时). [例3] 解:(1)由已知,f(x)=W(x)-(20x+10), 又W(x)= 30x+350 ,0<x≤2, -2x2+40x+340,2<x≤6, ∴f(x)= 10x+340,0<x≤2, -2x2+20x+330,2<x≤6. (2)由(1)有:f(x)= 10x+340,0<x≤2, -2x2+20x+330,2<x≤6, 当0<x≤2时,f(x)=10x+340,则当0<x≤2时, f(x)≤f(2)=360; 当2<x≤6时,f(x)=-2x2+20x+330=-2(x-5)2+ 380,即x=5时,f(x)max=380. ∵360<380,∴f(x)的最大值为380, 故当2022年产量为5千辆时,该企业利润最大,最大利润 是380万元. [跟踪训练] 3.解析:因为f(x)= |2x-6| ,x≥0, 3x+6,x<0, 即f(x)= 3x+6,x<0, 6-2x,0≤x≤3, 2x-6,x>3, 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,x1<x2<x3, 作出函数f(x)的图象如图所示: 由图象可知,点(x2,f(x2)),(x3,f(x3))关于直线x=3 对称,则x2+x3=6. 由图可知,x1∈(-2,0),因此,x1+x2+x3=x1+6∈(4,6). 答案:(4,6) [例4] 解:∵对任意的x∈[0,4],f(x)+a+1≥0恒成立, ∴x2-(a+2)x+5+a≥0恒成立, 即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立.当x=1时,不等式为0≤4 恒成立;当x∈(1,4]时,a≤x 2-2x+5 x-1 =x-1+ 4 x-1. ∵1<x≤4,∴0<x-1≤3,∴x-1+ 4x-1≥4 ,当且仅当 x-1= 4x-1 时,即x-1=2,x=3时取“=”,∴a≤4. 当x∈[0,1)时,a≥x 2-2x+5 x-1 =x-1+ 4 x-1=- 1-x+ 4 1-x . ∵0≤x<1,∴0<1-x≤1.令t=1-x,则t∈(0,1]. ∵函数y=- t+4t 在(0,1]上单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 参考答案 ∴当t=1-x=1,即x=0时,函数y=- t+4t 取到最 大值-5,∴a≥-5. 综上所述,a的取值范围是[-5,4]. [跟踪训练] 4.解析:f(x)=x 2+3x+2 x+3 =x+3+ 2 x+3- 3(-2<x<0),令t=x+3∈(1,3). 因为y=t+2t 在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递 增,所以t+2t≥2 2 ,当t=1时,y=t+2t =3 ,当t=3 时,y=t+2t= 11 3 ,所以f(x)∈ 2 2-3,23 . 答案: 2 2-3,23 过关精练 巩固提升 1.D 依题意得2x+y=20,所以y=20-2x. 由三边形三边关系可得 y<2x, y>0, 即0<20-2x<2x,解得 5<x<10. 因此,函数解析式为y=20-2x(5<x<10). 2.D 因为函数f(x)= kx+2,x≤1, x2-kx+3k,x>1 在 R上为单调 递增函数, 所以 k>0, k 2≤1 , k+2≤1-k+3k, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴1≤k≤2. 3.A 设该公司在甲地销x辆,x∈[0,150], 那么乙地销150-x辆,利润L(x)=0.506x-0.0015x2 +0.2(150-x)=-0.0015x2+0.306x+30, 函数L(x)的图象为开口向下的抛物线, 对称轴方程为x=102,∴x=102时,L(x)取到最大值,这 时最大利润为45.606万元. 4.BD 由图象可知函数s=f(t)的值域为(0,5],故B正确; 由图象可知函数s=f(t)在(0,1)上单调递增,又当t1, t2∈(0,1)(t1≠t2)时, f(t1)-f(t2) t1-t2 >0,则s=f(t)在 (0,1)上单调递增,故D正确. 5.解析:设总利润为L(x), 则L(x)= - 1 2x 2+200x-10000,0≤x<300, -100x+35000,x≥300. 则L(x)= - 1 2 (x-200)2+10000,0≤x<300, -100x+35000,x≥300. 当0≤x<300时,L(x)max=10000, 当x≥300时,L(x)max=5000, 所以总利润最大时店面经营天数是200. 答案:200 6.解:(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35), C(30,15)分别代入y1,y2,得k1= 1 5 ,k2= 1 2 , ∴y1= 1 5x+29 ,y2= 1 2x. (2)令y1=y2,即 1 5x+29= 1 2x ,则x=9623. 当x=9623 时,y1=y2,两种卡收费一致; 当x<9623 时,y1>y2,即使用“便民卡”便宜; 当x>9623 时,y1<y2,即使用“如意卡”便宜. 7.解:(1)由题意知,平均每吨二氧化碳的处理成本为yx = 1 2x+ 80000 x -200≥2 1 2x ·80000 x -200=200 ; 当且仅当1 2x= 80000 x ,即x=400时等号成立, 故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处 理成本最低. (2)不获利,设该单位每个月获利为S元,则S=100x-y =100x- 12x2-200x+80000 =-12x2+300x- 80000=-12 (x-300)2-35000. 因为x∈[400,600],则S∈[-80000,-40000], 故该单位每月不获利,需要国家每个月至少补贴40000 元才能不亏损. 第20讲 指数 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1) 3 (-6)3+ 4 (5-4)4+ 3 (5-4)3=-6+ (4- 5)+ 5-4=-6. (2)原 式= (x-1)2- (x+3)2=|x-1|-|x+3| (-3<x<3). 因为-3<x<3,所以-4<x-1<2,0<x+3<6, 当-4<x-1<0,即-3<x<1时,|x-1|-|x+3|= 1-x-(x+3)=-2x-2; 当0≤x-1<2,即1≤x<3时,|x-1|-|x+3|=x- 1-(x+3)=-4, 所以原式= -2x-2 ,-3<x<1, -4,1≤x<3. . [跟踪训练] 1.解析:由题意,可知a≥0, ∴ 3 -a· 6 a=(-a) 1 3 ·a 1 6 =-a 1 3 ·a 1 6 =-a 1 3+ 1 6 = -a 1 2=- a. 答案:- a [例2] 解:(1)b- 7 9= 19 b7 .(2)27 m3 =2m- 3 7. (3)(a+b) 3 4= 4 (a+b)3.(4) 15 x3+y =(x3+y)- 1 5. [跟踪训练] 2.B x- 3 4 = 1x 3 4 = 4 1x 3 (x>0),故选 项B正确. [例3] 解:(1)原式=-4a-2-1÷(12a-4)=-13a -3+4= -13a. (2)原式= -278 -23 + 1500 -12 - 10 5-2 +1 = -32 3 -23 +500 1 2-10(5+2)+1 =49+10 5-10 5-20+1=- 167 9 . [跟踪训练] 3.解:(1) 214 1 2 -(-9.6)0- 338 -23 + (1.5)-2= 94-1- 278 -23 + 32 -2 =32-1- 4 9+ 4 9= 1 2. (2) 3 (-4)3- 12 0 +0.25 1 2× -12 -4 =-4-1+ 0.25×(- 2)4=-3. 过关精练 巩固提升 1.B 因为7为奇数,8的7次方根只有一个 7 8. 2.B (a-b)2=|a-b|=a-b, 所以a-b≥0,所以a≥b. 3.D 5 (-π)5=-π,故D正确. 4.D a2a2 2+ 2 =(a2- 2)2+ 2=a4-2=a2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58