第18讲 幂函数-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第18讲 幂函数 第18讲 幂函数 高中课 程标准 通过具体实例,结合y=x,y=x2,y=x3,y=1x ,y=x 1 2的图象,理解幂函数的变化规 律,了解幂函数. 1.幂函数的定义 一般地,函数y=xα 叫做幂函数,其中x是 自变量,α是常数. 2.幂函数的特征 (1)y=xα 中xα 前的系数为“1”; (2)y=xα 中xα 的 底 数 是 单 个 的 自 变 量“x”; (3)y=xα 中α是常数. 3.五个幂函数的图象 当α=1,2,3,12 ,-1时,我们得到五个幂函 数:f(x)=x;f(x)=x2;f(x)=x3;f(x)= x 1 2;f(x)=x-1. 4.五个幂函数的性质 f(x) =x f(x)= x2 f(x) =x3 f(x) =x 1 2 f(x)= x-1 定 义 域 R R R [0, +∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 值 域 R [0,+∞) R [0, +∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇 偶 性 奇函 数 偶函数 奇函 数 非奇 非偶 奇函数 单 调 性 在R 上单 调递 增 在(-∞,0) 上单调 递减,在 (0,+∞)上 单调递增 在R 上单 调递 增 在[0, +∞) 单调 递增 在(-∞,0) 上单调递 减,在(0, +∞)上单 调递减 定 点 (1,1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 幂函数的概念 给出下列函数: ①y=1x3 ;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y= 3 x5;⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x,其中是幂函 数的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 跟踪训练 1.下列函数中不是幂函数的是 ( ) A.y= x B.y=x3 C.y=3x D.y=x-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 初升高衔接教材 数学 二 幂函数的图象与性质 幂函数y=xa,y =xb,y=xc,y=xd 在 第一象限的图象如图所 示,则a,b,c,d 的大小 关系是 ( ) A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a 跟踪训练 2.若幂函数的图象过点 2,14 ,则 它的单调递增区间是 ( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 三 幂函数的性质的应用 (多选)已知幂函数f(x)的图象经过 点(9,3),则 ( ) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.当x≥4时,f(x)≥2 D.当 x2 >x1 >0 时, f(x1)+f(x2) 2 < f x1+x22 跟踪训练 3.已知α∈ -4,-1,-12,13,12, 1,2,3 .若函数f(x)=xα 在(0,+∞)上单 调递减,且为偶函数,则α= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知f(x)=(m+1)xm 2 +2是幂函数,则m= ( ) A.2 B.1 C.3 D.0 2.设a= 13 1 3,b= 25 1 3,c=12 ,则 ( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 3.函数f(x)= 1 2-x +x0的定义域是 ( ) A.(-∞,2] B.(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(0,2] 4.(多选)下列函数中值域为[0,+∞)的是 ( ) A.y= x B.y=x2-2x+1 C.y=-1x D.y=x 3 5.已知函数f(x)=2+xα(α为不等于0的常 数)的图象恒过定点 P,则 P 点的坐标为 . 6.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm+1为偶 函数,则该函数的递增区间为 . 7.已知函数f(x)=x 3 2+k- 1 2k 2 (k∈Z). (1)若f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是增 函数,求f(x)的解析式; (2)若f(x)在(0,+∞)上是减函数,求k的 取值范围. 8.已知幂函数f(x)=(2t2+t)x-2t(t∈R),且 f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. (1)求f(x)的解析式及定义域; (2)设函数g(x)=[f(x)]2- 1[f(x)]2 ,求 证:g(x)在(0,+∞)上单调递减. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 参考答案 (4)函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称. ①当x=0时,-x=0, 所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x); ②当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-2(-x) -3=-(x2-2x+3)=-f(x); ③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3= -(-x2-2x-3)=-f(x). 综上,可知函数f(x)为奇函数. [跟踪训练] 1.A 对函数f(x)= 1-|x|2-|x-2| ,由于|x|≤ 1,因此f(x)= 1-|x|2-(2-x)= 1-|x| x ,定义域为0<|x|≤1, f(-x)= 1-|x|-x =-f (x),因此f(x)为奇函数. [例2] 解:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-(-x)· (1-x)=x(1-x). 又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(-x)=-(-x)(1-x)=x(1-x)=f(x), ∴当x<0时,f(x)=x(1-x). [跟踪训练] 2.解:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 由f(x)+g(x)= 1x-1.① 用-x代替x,得f(-x)+g(-x)= 1-x-1 , ∴f(x)-g(x)= 1-x-1.② (①+②)÷2,得f(x)= 1x2-1 ; (①-②)÷2,得g(x)= xx2-1 . 过关精练 巩固提升 1.C 如f(x)=1x ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数 f(x)是奇函数,但它的图象不过原点.故C错误. 2.A 由题得:f(-1)+f(1)=0,故a=-1. 3.D 对于D,y=x|x|= x2,x≥0, -x2,x<0, 图象如下: 结合图象,可知y=x|x|既是奇函数又是增函数. 4.AC 因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x) =f(x). 对于A,因为f(|-x|)=f(|x|),所以y=f(x)为偶函 数,故满足题意; 对于C,易得y=f(x)+f(-x)为偶函数,故满足题意. 5.解析:由题意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),则由 f(x)+g(x)=x2+3x+1,可得f(-x)+g(-x)= (-x)2+3(-x)+1,即f(x)-g(x)=x2-3x+1, 由 f (x)+g(x)=x2+3x+1, f(x)-g(x)=x2-3x+1, 可得f(x)=x2+1. 答案:x2+1 6.解析:函数f(x)是定义在 R上的偶函数,且在(-∞,0] 上是减函数, 可得f(x)在[0,+∞)上是增函数, 由f(2x-1)<f(-1),可得f(|2x-1|)<f(1), 即有|2x-1|<1,可得-1<2x-1<1, 解得0<x<1. 答案:(0,1) 7.解:(1)令x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞). 因为f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)=f(-x)=2(-x)2-3(-x)=2x2+3x,即 f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=2x2+3x. (2)当x≥0时,f(x)<2可化为2x2-3x-2<0,解得 0≤x<2;当x<0时,f(x)<2可化为2x2+3x-2<0,解 得-2<x<0. 综上,不等式,f(x)<2的解集为(-2,2). 第18讲 幂函数 重点题型 例题剖析 [例1] B 由幂函数的定义:形如y=xα(α为常数)的函数 为幂函数, 则可知①y=1x3 =x-3和④y= 3 x5=x 5 3 是幂函数. [跟踪训练] 1.C 选项x的系数为3,所以它不是幂函数, 故C项不成立. [例2] D 根据幂函数的性质, 在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上, 幂指数增大,所以由图象得:b>c>d>a. [跟踪训练] 2.D 设 幂 函 数 为 y=xα,因 为 图 象 过 2,14 ,所以2α=14,解得α=-2.由幂函数的性质:当 α<0时,y=xα 在(0,+∞)上是减函数.又y=x-2为偶函 数,所以y=x-2在(-∞,0)上是增函数. [例3] ACD 设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,解得 α=12 ,所以f(x)=x 1 2, 所以f(x)的定义域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上单调 递增,故A正确; 因为f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)不是 偶函数,故B错误; 当x≥4时,f(x)≥f(4)=4 1 2=2,故C正确; 当x2>x1>0时, f (x1)+f(x2) 2 2 - f x1+x22 2 = x1+x2+2 x1x2 4 - x1+x2 2 = 2 x1x2-x1-x2 4 = - ( x1- x2)2 4 <0. 又f(x)≥0,所以 f(x1)+f(x2) 2 <f x1+x22 ,D正确. [跟踪训练] 3.解析:由题知:α<0, 所以α的值可能为-4,-1,-12. 当α=-4时,f(x)=x-4=1x4 (x≠0)为偶函数,符合 题意. 当α=-1时,f(x)=x-1=1x (x≠0)为奇函数,不符合 题意. 当α=-12 时,f(x)=x- 1 2 =1 x ,定义域为(0,+∞),则 f(x)为非奇非偶函数,不符合题意. 综上,α=-4. 答案:-4 过关精练 巩固提升 1.D 由题意可知m+1=1,即m=0,∴f(x)=x2. 2.B 构造幂函数y=x 1 3,x∈(0,+∞),由该函数在定义域 内单调递增,且c=12= 18 1 3 ,故b>a>c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38 初升高衔接教材 数学 3.C 要使函数f(x)= 1 2-x +x0有意义, 则有 2-x>0, x≠0 解得x<2且x≠0, 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,2). 4.AB 函数y= x的值域为[0,+∞),A正确;函数y= x2-2x+1=(x-1)2的值域为[0,+∞),B正确. 5.解析:因为y=xα 的图象恒过(1,1), 所以f(x)=2+xα 的图象恒过定点P(1,3). 答案:(1,3) 6.解析:因为f(x)=(m2-5m+5)xm+1是幂函数, 所以m2-5m+5=1⇒m=1或m=4. 当m=4时,f(x)=x5,因为f(-x)=-x5=-f(x),所 以函数f(x)=x5是奇函数,不符合题意; 当m=1时,f(x)=x2,因为f(-x)=x2=f(x),所以函 数f(x)=x2是偶函数,符合题意, 故该函数的增区间为[0,+∞). 答案:[0,+∞) 7.解:(1)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴32+k- 1 2k 2>0,解得-1<k<3. 又∵k∈Z,∴k=0,1,2. 由f(x)为偶函数知k=1,∴f(x)=x2. (2)若f(x)在(0,+∞)上是减函数,则32+k- 1 2k 2<0, 解得k<-1或k>3(k∈Z), 即k的取值范围是{k|k<-1,或k>3,且k∈Z}. 8.(1)解:因为函数f(x)=(2t2+t)x-2t(t∈R)为幂函数, 所以2t2+t=1,解 得t=-1或t=12. 当t=-1时, f(x)=x2,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以t= 1 2 ,f(x)=x-1,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)证明:由(1)知 函 数g(x)=[f(x)]2- 1[f(x)]2 = x-2- 1 x-2 (x≠0).设x1>x2>0,则g(x1)-g(x2)= x-21 - 1 x-21 -x-22 + 1 x-22 =(x22-x21)+ x22-x21 x21x22 . 因为x1>x2>0,所以x21>x22,x22-x21<0,x21x22>0, 所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 所以g(x)在(0,+∞)上单调递减. 第19讲 函数的应用(一) 重点题型 例题剖析 [例1] B 设函数解析式为y=kx+b(k≠0), 函数图象过点(1,800),(2,1300), 则 k+b=800, 2k+b=1300, 解得 k=500,b=300, 所以y=500x+300,当x=0时,y=300, 所以营销人员没有销售量时的收入是300元. [跟踪训练] 1.D 因利润z=12x-(6x+30000), 所以z=6x-30000.由z≥0,解得x≥5000,故至少日生 产文具盒5000套. [例2] 解:(1)设该设备使用x年后获得总利润为y 万元, 则y=54x-128-(2x2+14x)=-2x2+40x-128= -2(x-10)2+72,该二次函数的图象为开口向下、对称 轴为x=10的抛物线, 所以当x=10时,总利润取得最大,且最大值为72万元. (2)由(1)可知,年平均利润为yx = -2x2+40x-128 x = -2 x+64x-20 ≤-2 2 x·64x-20 =8, 当且仅当x=64x ,即x=8时,等号成立, 所以使用设备8年后的年平均利润最大,且最大值为8万 元. [跟踪训练] 2.C 设蓄水池中的水量为y,则y=400+ 60t-120 6t,0≤t≤24, 设 6t=m,m∈[0,12],t=m 2 6 , 则y=400+60·m 2 6-120m=10m 2-120m+400. 令y<80,解得4<m<8,所以83<t< 32 3 , 所以出现供水紧张的时长约为32 3- 8 3=8 (小时). [例3] 解:(1)由已知,f(x)=W(x)-(20x+10), 又W(x)= 30x+350 ,0<x≤2, -2x2+40x+340,2<x≤6, ∴f(x)= 10x+340,0<x≤2, -2x2+20x+330,2<x≤6. (2)由(1)有:f(x)= 10x+340,0<x≤2, -2x2+20x+330,2<x≤6, 当0<x≤2时,f(x)=10x+340,则当0<x≤2时, f(x)≤f(2)=360; 当2<x≤6时,f(x)=-2x2+20x+330=-2(x-5)2+ 380,即x=5时,f(x)max=380. ∵360<380,∴f(x)的最大值为380, 故当2022年产量为5千辆时,该企业利润最大,最大利润 是380万元. [跟踪训练] 3.解析:因为f(x)= |2x-6| ,x≥0, 3x+6,x<0, 即f(x)= 3x+6,x<0, 6-2x,0≤x≤3, 2x-6,x>3, 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,x1<x2<x3, 作出函数f(x)的图象如图所示: 由图象可知,点(x2,f(x2)),(x3,f(x3))关于直线x=3 对称,则x2+x3=6. 由图可知,x1∈(-2,0),因此,x1+x2+x3=x1+6∈(4,6). 答案:(4,6) [例4] 解:∵对任意的x∈[0,4],f(x)+a+1≥0恒成立, ∴x2-(a+2)x+5+a≥0恒成立, 即a(x-1)≤x2-2x+5恒成立.当x=1时,不等式为0≤4 恒成立;当x∈(1,4]时,a≤x 2-2x+5 x-1 =x-1+ 4 x-1. ∵1<x≤4,∴0<x-1≤3,∴x-1+ 4x-1≥4 ,当且仅当 x-1= 4x-1 时,即x-1=2,x=3时取“=”,∴a≤4. 当x∈[0,1)时,a≥x 2-2x+5 x-1 =x-1+ 4 x-1=- 1-x+ 4 1-x . ∵0≤x<1,∴0<1-x≤1.令t=1-x,则t∈(0,1]. ∵函数y=- t+4t 在(0,1]上单调递增, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48