第17讲 函数的奇偶性-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 (1)画出函数f(x)的图象,并写出其单调递 增区间; (2)求函数f(x)在区间 -1,12 上的最 大值. 8.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在 [0,3]上的最大值为3,最小值为-1. (1)求f(x)的解析式; (2)若∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx,求 实数m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第17讲 函数的奇偶性 高中课 程标准 结合具体函数,借助函数图象,了解奇偶性的概念和几何意义. 1.函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 关于y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函 数f(x)是奇函数 关于原点 对称 2.函数奇偶性的判断 (1)定义法 ①先求函数f(x)的定义域D,判断定义域 是否关于原点对称. ②求f(-x),根据f(-x)与f(x)的关系, 判断f(x)的奇偶性: Ⅰ.若 f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)= -f(x)⇔f(x)是奇函数; Ⅱ.若f(-x)-f(x)=0⇔f(-x)=f(x) ⇔f(x)是偶函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 第17讲 函数的奇偶性 Ⅲ.若 f(-x)+f(x)=0, f(-x)-f(x)=0 ⇔ f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x) ⇔ f(x)既是奇函数又是偶函数; Ⅳ.若 f(-x)≠-f(x), f(-x)≠f(x) ⇔f(x)既不是奇 函数也不是偶函数. (2)图象法 ①先求函数f(x)的定义域D,判断定义域 是否关于原点对称. ②若f(x)的图象关于y轴对称⇔f(x)是偶 函数. ③若f(x)的图象关于原点对称⇔f(x)是奇 函数. (3)性质法 f(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面 的结论: f(x) g(x) f(x)+ g(x) f(x)- g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 奇函数 续表 奇函数 偶函数 不能 确定 不能 确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 3.奇函数、偶函数的图象特征 设函数f(x)的定义域为D (1)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y 轴 对称; (2)f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点 对称; (3)若f(x)是奇函数且0∈D,则f(0)=0. 4.函数的奇偶性与单调性的关系 (1)f(x)是偶函数⇔f(x)在关于原点对称 区间上具有相反的单调性; (2)f(x)是奇函数⇔f(x)在关于原点对称 区间上具有相同的单调性. 5.函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数f(x)的定义域为[-b,-a]∪[a,b] (其中ab≥0) (1)f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上单调, 则f(x)在[-b,-a]上有相反的单调性,此 时函数的最大(小)值相同; (2)f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上单调, 则f(x)在[-b,-a]上有相同的单调性,此 时函数的最值互为相反数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 4-x 2 |x+3|-3 ; (2)f(x)=(x-1)1+x1-x ; (3)f(x)= 1-x2+ x2-1; (4)f(x)= x2-2x+3,x>0, 0,x=0, -x2-2x-3,x<0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 初升高衔接教材 数学 跟踪训练 1.下列函数中,是奇函数的为 ( ) A.f(x)= 1-|x|2-|x-2| B.f (x)=x2 C.f(x)=x+1 D.f(x)=- 1|x| 二 函数的奇偶性的应用 已知函数f(x)是定义在 R上的偶函 数,且当x≥0时,f(x)=-x(1+x).求当 x<0时f(x)的解析式. 跟踪训练 2.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函 数,且f(x)+g(x)= 1x-1 ,求函数f(x), g(x)的解析式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列说法中错误的是 ( ) A.奇函数的图象关于坐标原点对称 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数 C.奇函数一定满足f(0)=0 D.偶函数的图象不一定与y轴相交 2.若f(x)=x(x+1)(x+a)(a∈R)为奇函 数,则a的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( ) A.y=x-1 B.y=-x3 C.y=-1x D.y=x|x| 4.(多选)已知y=f(x)是定义在 R上的偶函 数,但不是奇函数,则下列函数中为偶函数 的有 ( ) A.y=f(|x|) B.y=xf(x) C.y=f(x)+f(-x) D.y=f(x)+x 5.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x) 满足f(x)+g(x)=x2+3x+1,则f(x)= . 6.已知函数f(x)是定义在 R上的偶函数,且 在(-∞,0]上是减函数.若f(2x-1)< f(-1),则实数x的取值范围是 . 7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0 时,f(x)=2x2-3x. (1)求f(x)在(-∞,0)上的解析式; (2)解不等式f(x)<2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 初升高衔接教材 数学 [跟踪训练] 1.解:作出函数f(x) 的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x) 取最大值为f(1)=f(-1)=1; 当x=0时,f(x)取最小值为f(0) =0, 故 f(x)的 最 大 值 为1,最 小 值 为0. [例2] B 设t=x+1,则问题转 化为求函数g(t)=t+4t -1 在 区间 12,3 上的最大值.根据对 勾函数的性质,得函数g(t)在区 间 12,2 上单调递减,在区间[2,3]上单调递增,所以 g(t)max=max g 12 ,g(3) =max152,103 =152. [跟踪训练] 2.C 当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)= 2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,∴a=-2.综 上,a=±2. [例3] 解:(1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b,由 表格得方程组 45a+b=27, 50a+b=12, 解得 a=-3,b=162, 所以y=f(x)=-3x+162. 又y≥0,所以30≤x≤54, 故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54]. (2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x) =-3x2+252x-4860 =-3(x-42)2+432,x∈[30,54]. 当x=42时,最大的日销售利润P=432,即当销售单价 为42元时,获得最大的日销售利润. [跟踪训练] 3.C 设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售 (15-x)辆,公司获利为 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=- x-192 2 +30+19 2 4 , ∴当x=9或10时,L最大为120万元. 过关精练 巩固提升 1.A 函数f(x)=x2-2x在[2,5]上单调递增, 则f(x)max=f(5)=52-2×5=15, 所以函数f(x)的最大值为15. 2.C 令f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)=-(x2-2x+1)+1 =-(x-1)2+1, ∴f(x)的最小值为f(0)=f(2)=0.而a<-x2+2x 恒 成立,∴a<0. 3.C 因为f(x)=2 (x-2)+4 x-2 =2+ 4 x-2 , 所以f(x)在[3,4]上是减函数, 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6, 所以 M+m=6+4=10. 4.AC A选项,函数y=x+1(x>-1)的值域为(0,+∞), 正确; C选项,函数y=1x (x>0)的值域为(0,+∞),正确. 5.解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a, x∈[0,1],且函数有最小值-2, 故当x=0时,函数有最小值,当x=1时,函数有最大值. ∵当x=0时,f(0)=a=-2,∴f(x)=-x2+4x-2, ∴当x=1时,f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1. 答案:1 6.解析:因为 3-x≥0 , 2x+4≥0, 所以-2≤x≤3, 所以此函数的定义域为[-2,3]. 又因为y= 3-x- 2x+4是减函数, 当x=-2时,y= 3-x- 2x+4取得最大值 5, 当x=3时,y= 3-x- 2x+4取得最小值- 10, 所以值域为[- 10,5]. 答案:[- 10,5] 7.解:(1)f(x)=|x|(x+1)= -x(x+1),x<0, x(x+1),x≥0, 图象如下: 单调递增区间为 -∞,-12 和[0,+∞). (2)由(1)中的图象可知,函数y=f(x)在 -1,-12 上 单调递增,在 -12,0 上单调递减,在 0,12 上单调递 增,f -12 =14,f 12 =34, 故f(x)在区间 -1,12 上的最大值为34. 8.解:(1)f(x)的开口向上,对称轴为x=2, 所以在区间[0,3]上,有f(x)min=f(2),f(x)max=f(0), 即 4a-8a+b=-1, b=3 ⇒ a=1,b=3, 所以f(x)=x2-4x+3. (2)依题意∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx, 即x2-4x+3<mx,m>x+3x-4. 由于x>1,x+3x-4≥2 x ·3 x-4=2 3-4 , 当且仅当x=3x⇒x= 3 时等号成立,所以m>2 3-4, 即实数m 的取值范围是(2 3-4,+∞). 第17讲 函数的奇偶性 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)由 4-x 2≥0, |x+3|-3≠0, 得-2≤x≤2,且x≠0, 所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称, 所以f(x)= 4-x 2 |x+3|-3= 4-x2 x+3-3= 4-x2 x . 又f(-x)= 4- (-x)2 -x =- 4-x2 x =-f (x), 所以f(x)是奇函数. (2)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)对于函数f(x)= 1-x2+ x2-1, 1-x2≥0, x2-1≥0, 所以x=±1,其定义域为{-1,1},关于原点对称. 因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x) =f(x),f(-x)=-f(x),所以f(x)= 1-x2+ x2-1 既是奇函数又是偶函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28 参考答案 (4)函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称. ①当x=0时,-x=0, 所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x); ②当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-2(-x) -3=-(x2-2x+3)=-f(x); ③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3= -(-x2-2x-3)=-f(x). 综上,可知函数f(x)为奇函数. [跟踪训练] 1.A 对函数f(x)= 1-|x|2-|x-2| ,由于|x|≤ 1,因此f(x)= 1-|x|2-(2-x)= 1-|x| x ,定义域为0<|x|≤1, f(-x)= 1-|x|-x =-f (x),因此f(x)为奇函数. [例2] 解:当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-(-x)· (1-x)=x(1-x). 又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴f(-x)=-(-x)(1-x)=x(1-x)=f(x), ∴当x<0时,f(x)=x(1-x). [跟踪训练] 2.解:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 由f(x)+g(x)= 1x-1.① 用-x代替x,得f(-x)+g(-x)= 1-x-1 , ∴f(x)-g(x)= 1-x-1.② (①+②)÷2,得f(x)= 1x2-1 ; (①-②)÷2,得g(x)= xx2-1 . 过关精练 巩固提升 1.C 如f(x)=1x ,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),易得函数 f(x)是奇函数,但它的图象不过原点.故C错误. 2.A 由题得:f(-1)+f(1)=0,故a=-1. 3.D 对于D,y=x|x|= x2,x≥0, -x2,x<0, 图象如下: 结合图象,可知y=x|x|既是奇函数又是增函数. 4.AC 因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x) =f(x). 对于A,因为f(|-x|)=f(|x|),所以y=f(x)为偶函 数,故满足题意; 对于C,易得y=f(x)+f(-x)为偶函数,故满足题意. 5.解析:由题意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),则由 f(x)+g(x)=x2+3x+1,可得f(-x)+g(-x)= (-x)2+3(-x)+1,即f(x)-g(x)=x2-3x+1, 由 f (x)+g(x)=x2+3x+1, f(x)-g(x)=x2-3x+1, 可得f(x)=x2+1. 答案:x2+1 6.解析:函数f(x)是定义在 R上的偶函数,且在(-∞,0] 上是减函数, 可得f(x)在[0,+∞)上是增函数, 由f(2x-1)<f(-1),可得f(|2x-1|)<f(1), 即有|2x-1|<1,可得-1<2x-1<1, 解得0<x<1. 答案:(0,1) 7.解:(1)令x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞). 因为f(x)是定义在R上的偶函数, 所以f(x)=f(-x)=2(-x)2-3(-x)=2x2+3x,即 f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=2x2+3x. (2)当x≥0时,f(x)<2可化为2x2-3x-2<0,解得 0≤x<2;当x<0时,f(x)<2可化为2x2+3x-2<0,解 得-2<x<0. 综上,不等式,f(x)<2的解集为(-2,2). 第18讲 幂函数 重点题型 例题剖析 [例1] B 由幂函数的定义:形如y=xα(α为常数)的函数 为幂函数, 则可知①y=1x3 =x-3和④y= 3 x5=x 5 3 是幂函数. [跟踪训练] 1.C 选项x的系数为3,所以它不是幂函数, 故C项不成立. [例2] D 根据幂函数的性质, 在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上, 幂指数增大,所以由图象得:b>c>d>a. [跟踪训练] 2.D 设 幂 函 数 为 y=xα,因 为 图 象 过 2,14 ,所以2α=14,解得α=-2.由幂函数的性质:当 α<0时,y=xα 在(0,+∞)上是减函数.又y=x-2为偶函 数,所以y=x-2在(-∞,0)上是增函数. [例3] ACD 设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,解得 α=12 ,所以f(x)=x 1 2, 所以f(x)的定义域为[0,+∞),f(x)在[0,+∞)上单调 递增,故A正确; 因为f(x)的定义域不关于原点对称,所以函数f(x)不是 偶函数,故B错误; 当x≥4时,f(x)≥f(4)=4 1 2=2,故C正确; 当x2>x1>0时, f (x1)+f(x2) 2 2 - f x1+x22 2 = x1+x2+2 x1x2 4 - x1+x2 2 = 2 x1x2-x1-x2 4 = - ( x1- x2)2 4 <0. 又f(x)≥0,所以 f(x1)+f(x2) 2 <f x1+x22 ,D正确. [跟踪训练] 3.解析:由题知:α<0, 所以α的值可能为-4,-1,-12. 当α=-4时,f(x)=x-4=1x4 (x≠0)为偶函数,符合 题意. 当α=-1时,f(x)=x-1=1x (x≠0)为奇函数,不符合 题意. 当α=-12 时,f(x)=x- 1 2 =1 x ,定义域为(0,+∞),则 f(x)为非奇非偶函数,不符合题意. 综上,α=-4. 答案:-4 过关精练 巩固提升 1.D 由题意可知m+1=1,即m=0,∴f(x)=x2. 2.B 构造幂函数y=x 1 3,x∈(0,+∞),由该函数在定义域 内单调递增,且c=12= 18 1 3 ,故b>a>c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38