第16讲 函数的最大(小)值-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 第16讲 函数的最大(小)值 高中课 程标准 借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它们的作用和实际意义. 函数的最大(小)值 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数 M 满足:∀x∈D,都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M 是函数y=f(x)的最大值 M 是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 一 利用图象法求函数最值(值域) 画出函数f(x)= -2x ,x∈(-∞,0), x2+2x-1,x∈[0,+∞) 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的图象,并写出函 数的单调区间及函数的最小值. 跟踪训练 1.已知函数f(x)= x2,-1≤x≤1, 1 x ,x>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 求 f(x)的最大值、最小值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 第16讲 函数的最大(小)值 二 利用函数的单调性求最值 函数f(x)=x+ 4x+1 在区间 -12,2 上的最大值为 ( ) A.103 B. 15 2 C.3 D.4 跟踪训练 2.若函数y=ax+1在[1,2]上的 最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 ( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 三 函数最值的实际应用 某商场经营一批进价是每件30元的 商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x (不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位: 件)之间有如下关系: x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y 的一个一次函数关系式y= f(x)(注明函数定义域); (2)若日销售利润为P 元,根据(1)中的关系 式写出P 关于x 的函数关系式,并指出当销 售单价为多少元时,才能获得最大的日销售 利润? 跟踪训练 3.某公司在甲、乙两地同时销售一 种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1= -x2+21x 和L2=2x(其中销售量单位: 辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获 得的最大利润为 ( ) A.90万元 B.60万元 C.120万元 D.120.25万元 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[2,5],则函数 的最大值为 ( ) A.15 B.10 C.0 D.-1 2.当0≤x≤2时,a<-x2+2x 恒成立,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1] B.(-∞,0] C.(-∞,0) D.(0,+∞) 3.设函数f(x)= 2xx-2 在区间[3,4]上的最大 值和最小值分别为M,m,则M+m= ( ) A.4 B.6 C.10 D.24 4.(多选)下列函数,值域为(0,+∞)的是 ( ) A.y=x+1(x>-1)B.y=x2 C.y=1x (x>0) D.y= 1x+1 5.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1]. 若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 . 6.函数y= 3-x- 2x+4的值域为 . 7.已知函数f(x)=|x|(x+1).完成下面两个 问题: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 初升高衔接教材 数学 (1)画出函数f(x)的图象,并写出其单调递 增区间; (2)求函数f(x)在区间 -1,12 上的最 大值. 8.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在 [0,3]上的最大值为3,最小值为-1. (1)求f(x)的解析式; (2)若∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx,求 实数m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第17讲 函数的奇偶性 高中课 程标准 结合具体函数,借助函数图象,了解奇偶性的概念和几何意义. 1.函数奇偶性定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数 关于y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函 数f(x)是奇函数 关于原点 对称 2.函数奇偶性的判断 (1)定义法 ①先求函数f(x)的定义域D,判断定义域 是否关于原点对称. ②求f(-x),根据f(-x)与f(x)的关系, 判断f(x)的奇偶性: Ⅰ.若 f(-x)+f(x)=0⇔f(-x)= -f(x)⇔f(x)是奇函数; Ⅱ.若f(-x)-f(x)=0⇔f(-x)=f(x) ⇔f(x)是偶函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 参考答案 [跟踪训练] 2.证明:任取x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1+9x1 - x2+9x2 =(x1-x2) + 9x1-9x2 =(x1-x2)+9 (x2-x1) x1x2 =(x1-x2) 1- 9 x1x2 =(x1-x2)x1x2-9x1x2 . ∵x2>x1≥3,∴x1x2>9,则x1x2-9>0. ∵x1<x2,∴x1-x2<0, ∴(x1-x2) x1x2-9 x1x2 <0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)=x+9x 在区间[3,+∞)上单调递增. [例3] B y=|x2-3x+2|= x2-3x+2,x≤1, -x2+3x-2,1<x<2, x2-3x+2,x≥2, 如图所示: 函数的单调递增区间是 1,32 和[2,+∞). [跟踪训练] 3.B 由题图知:在[-1,1]上f(x)单调递 减,在(-2,-1),(1,2)上f(x)单调递增,所以f(x)的单 调递减区间为[-1,1]. [例4] 解析:因为函数y=f(x)是定义在R上的严格单调 递减函数,所以 1 x-1>x , 当x>1时,x(x-1)<1,即x2-x-1<0, 解得1<x<1+ 52 ; 当x<1时,x(x-1)>1,即x2-x-1>0, 解得x<1- 52 . 综上,不等式f 1x-1 <f(x)的解集为 -∞,1- 52 ∪ 1,1+ 52 . 答案: -∞,1- 52 ∪ 1,1+ 52 [跟踪训练] 4.C 由函数f(x)是实数集 R上的减函数, 又f(2-x)>f(x-2), 所以2-x<x-2,解得x>2. [例5] B 当a=0时,f(x)= 1x+2 在区间(-2,+∞)上 单调递减,舍去; 当 a≠0 时,f (x)=ax+1x+2 = a(x+2)+1-2a x+2 = a+1-2ax+2. ∵y= 1x+2 在区间(-2,+∞)上单调递减,函数f(x)= ax+1 x+2 在区间(-2,+∞)上单调递增, ∴1-2a<0,即a>12. [跟踪训练] 5.C 函数f(x)=x2+2kx-5的对称轴为 x=-k. 因为函数f(x)=x2+2kx-5在[-2,4]上具有单调性, 所以-k≥4或-k≤-2,即k≤-4或k≥2. 过关精练 巩固提升 1.C 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能 用“∪”连接. 2.A ∵y=f(x)是定义在 R 上的增函数,且f(1-a)< f(a-3),∴1-a<a-3,解得a>2,则a的取值范围为 (2,+∞). 3.C 只需f(x)=4x2-kx-8的对称轴x=k8 相对应的值 k 8 在区间[5,8]外面,即k8≤5 或k 8≥8 , ∴k≤40或k≥64. 4.A 函数的单调性是指定义在区间I上任意两个值x1, x2,强调的是任意,①不对;②y=x2,当x≥0时是增函 数,当x<0时是减函数,从而y=x2 在其整个定义域上 不具有单调性;③y=-1x 在整个定义域内不是单调递增 函数,如-3<5,而f(-3)>f(5);④y=1x 的单调递减 区间不是(-∞,0)∪(0,+∞),而 是(-∞,0)和(0, +∞),注意写法. 5.解析:函数f(x)= x2+4x-12是由函数g(u)= u和 u(x)=x2+4x-12组成的复合函数. ∵x2+4x-12≥0,解得x≤-6或x≥2, ∴函数y=f(x)的定义域是{x|x≤-6,或x≥2}. ∵函数u(x)=x2+4x-12在(-∞,-6]上单调递减, 在[2,+∞)上单调递增, 而g(u)= u在[0,+∞)上单调递增, 由复合函数单调性的“同增异减”,可得函数f(x)的单调 减区间(-∞,-6]. 答案:(-∞,-6] 6.解析:由条件可得f(x)+f(-2)=f(-2x).又f(3)=1, ∴不等式f(x)+f(-2)>1,即为f(-2x)>f(3). ∵f(x)是定义在R上的增函数, ∴-2x>3,解得x<-32. 故不等式f(x)+f(-2)>1 的解集为 x x<-32 . 答案:x x<-32 7.解:(1)因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0,所以a2+2>2a.由 f(x)是单调增函数,所以f(a2+2)>f(2a). (2)因为f(x)是单调增函数,且f(a2)>f(a+6),所以 a2>a+6,解得a>3或a<-2,即实数a的取值范围是 (-∞,-2)∪(3,+∞). 8.解:f(x)= x 2 x2+1 在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:任取0<x1<x2, 所以f(x1)-f(x2)= x21 x21+1 - x22 x22+1 = x21(x22+1)-x22(x21+1) (x21+1)(x22+1) = x21-x22 (x21+1)(x22+1) = (x1-x2)(x1+x2) (x21+1)(x22+1) . 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以原函数单调递增. 第16讲 函数的最大(小)值 重点题型 例题剖析 [例1] 解:函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无 单调递减区间. 由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 初升高衔接教材 数学 [跟踪训练] 1.解:作出函数f(x) 的图象(如图). 由图象可知,当x=±1时,f(x) 取最大值为f(1)=f(-1)=1; 当x=0时,f(x)取最小值为f(0) =0, 故 f(x)的 最 大 值 为1,最 小 值 为0. [例2] B 设t=x+1,则问题转 化为求函数g(t)=t+4t -1 在 区间 12,3 上的最大值.根据对 勾函数的性质,得函数g(t)在区 间 12,2 上单调递减,在区间[2,3]上单调递增,所以 g(t)max=max g 12 ,g(3) =max152,103 =152. [跟踪训练] 2.C 当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)= 2,即a=2;当a<0时,a+1-(2a+1)=2,∴a=-2.综 上,a=±2. [例3] 解:(1)因为f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b,由 表格得方程组 45a+b=27, 50a+b=12, 解得 a=-3,b=162, 所以y=f(x)=-3x+162. 又y≥0,所以30≤x≤54, 故所求函数关系式为y=-3x+162,x∈[30,54]. (2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x) =-3x2+252x-4860 =-3(x-42)2+432,x∈[30,54]. 当x=42时,最大的日销售利润P=432,即当销售单价 为42元时,获得最大的日销售利润. [跟踪训练] 3.C 设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售 (15-x)辆,公司获利为 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=- x-192 2 +30+19 2 4 , ∴当x=9或10时,L最大为120万元. 过关精练 巩固提升 1.A 函数f(x)=x2-2x在[2,5]上单调递增, 则f(x)max=f(5)=52-2×5=15, 所以函数f(x)的最大值为15. 2.C 令f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)=-(x2-2x+1)+1 =-(x-1)2+1, ∴f(x)的最小值为f(0)=f(2)=0.而a<-x2+2x 恒 成立,∴a<0. 3.C 因为f(x)=2 (x-2)+4 x-2 =2+ 4 x-2 , 所以f(x)在[3,4]上是减函数, 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6, 所以 M+m=6+4=10. 4.AC A选项,函数y=x+1(x>-1)的值域为(0,+∞), 正确; C选项,函数y=1x (x>0)的值域为(0,+∞),正确. 5.解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a, x∈[0,1],且函数有最小值-2, 故当x=0时,函数有最小值,当x=1时,函数有最大值. ∵当x=0时,f(0)=a=-2,∴f(x)=-x2+4x-2, ∴当x=1时,f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1. 答案:1 6.解析:因为 3-x≥0 , 2x+4≥0, 所以-2≤x≤3, 所以此函数的定义域为[-2,3]. 又因为y= 3-x- 2x+4是减函数, 当x=-2时,y= 3-x- 2x+4取得最大值 5, 当x=3时,y= 3-x- 2x+4取得最小值- 10, 所以值域为[- 10,5]. 答案:[- 10,5] 7.解:(1)f(x)=|x|(x+1)= -x(x+1),x<0, x(x+1),x≥0, 图象如下: 单调递增区间为 -∞,-12 和[0,+∞). (2)由(1)中的图象可知,函数y=f(x)在 -1,-12 上 单调递增,在 -12,0 上单调递减,在 0,12 上单调递 增,f -12 =14,f 12 =34, 故f(x)在区间 -1,12 上的最大值为34. 8.解:(1)f(x)的开口向上,对称轴为x=2, 所以在区间[0,3]上,有f(x)min=f(2),f(x)max=f(0), 即 4a-8a+b=-1, b=3 ⇒ a=1,b=3, 所以f(x)=x2-4x+3. (2)依题意∃x∈(1,+∞),使得f(x)<mx, 即x2-4x+3<mx,m>x+3x-4. 由于x>1,x+3x-4≥2 x ·3 x-4=2 3-4 , 当且仅当x=3x⇒x= 3 时等号成立,所以m>2 3-4, 即实数m 的取值范围是(2 3-4,+∞). 第17讲 函数的奇偶性 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)由 4-x 2≥0, |x+3|-3≠0, 得-2≤x≤2,且x≠0, 所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称, 所以f(x)= 4-x 2 |x+3|-3= 4-x2 x+3-3= 4-x2 x . 又f(-x)= 4- (-x)2 -x =- 4-x2 x =-f (x), 所以f(x)是奇函数. (2)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)对于函数f(x)= 1-x2+ x2-1, 1-x2≥0, x2-1≥0, 所以x=±1,其定义域为{-1,1},关于原点对称. 因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x) =f(x),f(-x)=-f(x),所以f(x)= 1-x2+ x2-1 既是奇函数又是偶函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28