第15讲 函数的单调性-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 第14讲 函数的表示法 重点题型 例题剖析 [例1] 解析:令t=1-x1+x= 2 1+x-1 ,则t≠-1, ∴x= 2t+1-1 ,故f(t)= 2t+1-1= 1-t t+1 , ∴f(x)=1-xx+1 (x≠-1). 答案:1-x 1+x (x≠-1) [跟踪训练] 1.A ∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+ 2(x+2),∴f(x)=x2+2x. [例2] 解析:由题表可知f(5)=3,g(3)=4, ∴g(f(5))=g(3)=4. 又g(2)=5,f(5)=3,∵f(g(2))=f(5)=3. 答案:4 3 [跟踪训练] 2.C ∵当2<x≤4时,f(x)=3, ∴f(3)=3. [例3] D 运动员初始速度为0,从0开始加速,排除选 项C. 由于标准泳池的长为50米, 运动员在游到50米之前先加速,匀速,再迅速减速为0, 然后加速游回去, 故选项A,B不正确,选项D正确. [跟踪训练] 3.D 结合题意可知,该生离校的距离先快速 减少,又较慢减少,最后到0. [例4] 解:(1)f 12 =12+2=52, f 52 =2×52=5,故f f 12 =5. (2)当a≤1时,f(a)=a+2=2,解得a=0,成立; 当1<a<2时,f(a)=a2=2, 解得a= 2或a=- 2(舍); 当a≥2时,f(a)=2a=2,解得a=1,不成立. 综上,a的值为0或 2. [跟踪训练] 4.B f(f(3))=f 33 =f(1)=2+1=3. 过关精练 巩固提升 1.A 令x+1=t,则x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1. 2.A ∵f(x)=ax2-1,∴f(-1)=a-1, f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1, ∴a(a-1)2=0. 又∵a为正数,∴a=1. 3.A y= x1+x 的定义域为{x|x≠-1},排除C,D, 当x=0时,y=0,排除B. 4.解析:因为f(x)= x,x≥0, x2,x<0, 所以f(f(-4))=f(16)=16. 答案:16 5.解析:由题意,可知2f 1x +f(x)=2x, ∴ 2f(x)+f 1x =2x, 2f 1x +f(x)=2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得f(x)=43x- 2 3x. 答案:4 3x- 2 3x 6.解:(1)由f(-3)=f(1),知此二次函数图象的对称轴为 x=-1. 又因为f(-1)=0,所以(-1,0)是f(x)的顶点, 所以设f(x)=a(x+1)2. 因为f(1)=4,即a(1+1)2=4, 所以得a=1,所以f(x)=(x+1)2. (2)因为f(x)=(x+1)2,所以f(x-1)=x2, f(x-1)≥4化为x2≥4,即x≤-2或x≥2, 不等式的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). 7.解:(1)因为函数f(x)= -2x,x≤-1, 2,-1<x≤1, 2x,x>1, 画出其图象如图 ①所示. 图① (2)函数的图象是两段抛物线(部分)与一点,画出其图象 如图②所示. 图② 第15讲 函数的单调性 重点题型 例题剖析 [例1] 解:任取x1,x2,使得-1<x1<x2<1, 则x2-x1>0. f(x2)-f(x1)= a(x1x2+1)(x1-x2) (x21-1)(x22-1) , ∵-1<x1<x2<1,∴x1x2+1>0,x21-1<0,x22-1<0, ∴ (x1x2+1)(x1-x2) (x21-1)(x22-1) <0,∴当a>0时,f(x2)-f(x1) <0,故此时函数f(x)在(-1,1)上是减函数; 当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,故此时f(x)在(-1,1)上 是增函数. 综上所述,当a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数. [跟踪训练] 1.B ∵(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔ x1-x2<0, f(x1)-f(x2)>0 或 x1-x2>0 , f(x1)-f(x2)<0. 即当x1<x2时,f(x1)>f(x2)或当x1>x2 时,f(x1)< f(x2).不论哪种情况,都说明f(x)在(a,b)上为减函数. [例2] 解:(1)因为f(-2)=-2a+12=- 3 2 ,所以a=1, 所以f(x)=x-1x. (2)函数在(0,+∞)上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈(0, +∞),且x1<x2,所以f(x2)-f(x1)= x2-1x2 - x1- 1 x1 =(x2-x1)+ 1x1-1x2 = (x1x2+1)(x2-x1) x1x2 .因为 x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所 以f(x2)- f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上单 调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 08 参考答案 [跟踪训练] 2.证明:任取x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1+9x1 - x2+9x2 =(x1-x2) + 9x1-9x2 =(x1-x2)+9 (x2-x1) x1x2 =(x1-x2) 1- 9 x1x2 =(x1-x2)x1x2-9x1x2 . ∵x2>x1≥3,∴x1x2>9,则x1x2-9>0. ∵x1<x2,∴x1-x2<0, ∴(x1-x2) x1x2-9 x1x2 <0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)=x+9x 在区间[3,+∞)上单调递增. [例3] B y=|x2-3x+2|= x2-3x+2,x≤1, -x2+3x-2,1<x<2, x2-3x+2,x≥2, 如图所示: 函数的单调递增区间是 1,32 和[2,+∞). [跟踪训练] 3.B 由题图知:在[-1,1]上f(x)单调递 减,在(-2,-1),(1,2)上f(x)单调递增,所以f(x)的单 调递减区间为[-1,1]. [例4] 解析:因为函数y=f(x)是定义在R上的严格单调 递减函数,所以 1 x-1>x , 当x>1时,x(x-1)<1,即x2-x-1<0, 解得1<x<1+ 52 ; 当x<1时,x(x-1)>1,即x2-x-1>0, 解得x<1- 52 . 综上,不等式f 1x-1 <f(x)的解集为 -∞,1- 52 ∪ 1,1+ 52 . 答案: -∞,1- 52 ∪ 1,1+ 52 [跟踪训练] 4.C 由函数f(x)是实数集 R上的减函数, 又f(2-x)>f(x-2), 所以2-x<x-2,解得x>2. [例5] B 当a=0时,f(x)= 1x+2 在区间(-2,+∞)上 单调递减,舍去; 当 a≠0 时,f (x)=ax+1x+2 = a(x+2)+1-2a x+2 = a+1-2ax+2. ∵y= 1x+2 在区间(-2,+∞)上单调递减,函数f(x)= ax+1 x+2 在区间(-2,+∞)上单调递增, ∴1-2a<0,即a>12. [跟踪训练] 5.C 函数f(x)=x2+2kx-5的对称轴为 x=-k. 因为函数f(x)=x2+2kx-5在[-2,4]上具有单调性, 所以-k≥4或-k≤-2,即k≤-4或k≥2. 过关精练 巩固提升 1.C 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能 用“∪”连接. 2.A ∵y=f(x)是定义在 R 上的增函数,且f(1-a)< f(a-3),∴1-a<a-3,解得a>2,则a的取值范围为 (2,+∞). 3.C 只需f(x)=4x2-kx-8的对称轴x=k8 相对应的值 k 8 在区间[5,8]外面,即k8≤5 或k 8≥8 , ∴k≤40或k≥64. 4.A 函数的单调性是指定义在区间I上任意两个值x1, x2,强调的是任意,①不对;②y=x2,当x≥0时是增函 数,当x<0时是减函数,从而y=x2 在其整个定义域上 不具有单调性;③y=-1x 在整个定义域内不是单调递增 函数,如-3<5,而f(-3)>f(5);④y=1x 的单调递减 区间不是(-∞,0)∪(0,+∞),而 是(-∞,0)和(0, +∞),注意写法. 5.解析:函数f(x)= x2+4x-12是由函数g(u)= u和 u(x)=x2+4x-12组成的复合函数. ∵x2+4x-12≥0,解得x≤-6或x≥2, ∴函数y=f(x)的定义域是{x|x≤-6,或x≥2}. ∵函数u(x)=x2+4x-12在(-∞,-6]上单调递减, 在[2,+∞)上单调递增, 而g(u)= u在[0,+∞)上单调递增, 由复合函数单调性的“同增异减”,可得函数f(x)的单调 减区间(-∞,-6]. 答案:(-∞,-6] 6.解析:由条件可得f(x)+f(-2)=f(-2x).又f(3)=1, ∴不等式f(x)+f(-2)>1,即为f(-2x)>f(3). ∵f(x)是定义在R上的增函数, ∴-2x>3,解得x<-32. 故不等式f(x)+f(-2)>1 的解集为 x x<-32 . 答案:x x<-32 7.解:(1)因为a2+2-2a=(a-1)2+1>0,所以a2+2>2a.由 f(x)是单调增函数,所以f(a2+2)>f(2a). (2)因为f(x)是单调增函数,且f(a2)>f(a+6),所以 a2>a+6,解得a>3或a<-2,即实数a的取值范围是 (-∞,-2)∪(3,+∞). 8.解:f(x)= x 2 x2+1 在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:任取0<x1<x2, 所以f(x1)-f(x2)= x21 x21+1 - x22 x22+1 = x21(x22+1)-x22(x21+1) (x21+1)(x22+1) = x21-x22 (x21+1)(x22+1) = (x1-x2)(x1+x2) (x21+1)(x22+1) . 因为0<x1<x2,所以x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0, 所以原函数单调递增. 第16讲 函数的最大(小)值 重点题型 例题剖析 [例1] 解:函数的图象如图所示. 由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和[0,+∞),无 单调递减区间. 由函数图象可知, 函数的最小值为f(0)=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 初升高衔接教材 数学 7.作出下列函数的图象: (1)f(x)=|x-1|+|x+1|; (2)f(x)= -x2+4x-3,x>0, 0,x=0, x2+4x+3,x<0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第15讲 函数的单调性 高中课程标准 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义. 1.增函数与减函数的定义 条 件 一般地,设函数f(x)的定义域为 D,区间 I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结 论 那 么 就 称 函 数 f(x)在 区 间 I 上 是增函数 那么就称函数f(x) 在区间I上是减函数 图 示 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或 减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x) 的单调区间. 解读:(1)函数的单调性是对定义域内某个 区间而言的,它是函数的一个局部性质. (2)函数f(x)在定义域的某个区间I上单 调,不 一 定 在 定 义 域 上 单 调.如 f(x)= x2等. (3)并 非 所 有 的 函 数 都 具 有 单 调 性,如 f(x)= 1,x是偶数, 0,x是奇数 它的定义域是 N,不具 有单调性. 3.常见基本初等函数的单调区间 函数 条件 单调递 增区间 单调递 减区间 正比例函数 (y=kx,k≠ 0)与一次函 数(y=kx+ b,k≠0) k>0 R 无 k<0 无 R 反比例函数 y=kx,k≠0 k>0 无 (-∞,0)和 (0,+∞) k<0 (-∞,0)和 (0,+∞) 无 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 第15讲 函数的单调性 续表 二 次 函 数 (y=ax2 + bx+c,a≠0) a>0 -b2a,+∞ -∞,-b2a a<0 -∞,-b2a -b2a,+∞ 4.证明函数单调性的步骤 (1)取值.设x1,x2是f(x)定义域内一个区 间上的任意两个量,且x1<x2; (2)变形.作差变形(变形方法:因式分解、配 方、有理化等)或作商变形; (3)定号.判断差的正负或商与1的大小 关系; (4)得出结论. 5.函数单调性的判断方法 (1)定义法:一般用于证明,设函数f(x),证 明的单调区间为I; ①取值:任取x1,x2∈I,且x1<x2; ②作差:计算f(x1)-f(x2); ③变形:对f(x1)-f(x2)进行有利于符号 判断的变形(如通分、因式分解、配方、有理 化等),如有必要需讨论参数; ④定号:通过变形,判断f(x1)-f(x2)>0 或(f(x1)-f(x2)<0),如有必要需讨论 参数; ⑤下结论:指出函数y=f(x)在给定区间I 上的单调性. (2)图象法 一般通过已知条件作出函数的图象(或者草 图),利用图象判断函数的单调性. (3)性质法 ①函数y=f(x)在给定区间I上的单调性 与y=-f(x)在给定区间I 上的单调性 相反; ②函数y=f(x)在给定区间I上的单调性 与y=f(x)+c的单调性相同; ③y=f(x)和y=g(x)的公共定义区间I, 有如下结论. y=f(x)y=g(x) y=f(x) +g(x) y=f(x)- g(x) 增↗ 增↗ 增↗ 不确定 增↗ 减↘ 不确定 增↗ 减↘ 减↘ 减↘ 不确定 减↘ 增↗ 不确定 减↘ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 利用定义法判断或证明函数的单调性 已知函数f(x)= axx2-1 (a为常数,且 a≠0),试判断函数f(x)在(-1,1)上的单 调性. 跟踪训练 1.函数f(x)的定义域为(a,b),且 对其 内 任 意 实 数 x1,x2 均 有(x1-x2) (f(x1)-f(x2))<0,则f(x)在(a,b)上 ( ) A.增函数 B.减函数 C.不增不减函数 D.既增又减函数 设函数f(x)=ax-1x ,且f(-2)= -32. (1)求函数f(x)的解析式; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 53 初升高衔接教材 数学 (2)判断函数在区间(0,+∞)上的单调性并 用定义法加以证明. 跟踪训练 2.根据定义证明函数f(x)=x+9x 在区间[3,+∞)上单调递增. 二 求函数的单调区间 函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增 区间是 ( ) A. 32,+∞ B. 1,32 和[2,+∞) C.(-∞,1]和 32,2 D. -∞,32 和[2,+∞) 跟踪训练 3.定义在区间[-2,2]上的函数 f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减 区间为 ( ) A.[-2,-1] B.[-1,1] C.[-2,0] D.[-1,2] 三 利用函数的单调性解不等式 已知函数y=f(x)是定义在R上的严 格单调递减函数,则不等式f 1x-1 <f(x) 的解集为 . 跟踪训练 4.已知函数f(x)是实数集R上的 减函数,则不等式f(2-x)>f(x-2)的解 集为 ( ) A.(-∞,2) B.(-∞,-2) C.(2,+∞) D.(-2,+∞) 四 利用函数的单调性求参数 函数f(x)=ax+1x+2 在区间(-2,+∞) 上单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) A. 0,12 B. 12,+∞ C.(-2,+∞) D.(-∞,1)∪(1,+∞) 跟踪训练 5.已知函数f(x)=x2+2kx-5在 [-2,4]上具有单调性,则实数k的取值范 围为 ( ) A.k≤-4 B.k≥2 C.k≤-4或k≥2 D.k<-4或k>2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 第15讲 函数的单调性 1.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y= f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误 的是 ( ) A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数, 且f(1-a)<f(a-3),则a的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.(2,3) C.(1,2) D.(1,3) 3.若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单 调函数,则k的取值范围是 ( ) A.(-∞,40] B.[40,64] C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞) 4.下列说法中正确的有 ( ) ①若x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)< f(x2),则y=f(x)在I上是增函数; ②函数y=x2在R上是增函数; ③函数y=-1x 在定义域上是增函数; ④函数y=1x 的单调减区间是(-∞,0)∪ (0,+∞). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.函数f(x)= x2+4x-12的单调减区间为 . 6.设f(x)是定义在 R上的增函数,f(xy)= f(x)+f(y),f(3)=1,则不等式f(x)+ f(-2)>1的解集为 . 7.已知函数f(x)是定义域为 R 的单调增 函数. (1)比较f(a2+2)与f(2a)的大小; (2)若f(a2)>f(a+6),求实数a的取值 范围. 8.判断并证明f(x)= x 2 x2+1 在(0,+∞)上的 单调性. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73