第14讲 函数的表示法-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 第14讲 函数的表示法 高中课 程标准 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示 函数,理解函数图象的作用. 2.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的表示方法 函 数 的 表 示 法 解 析 法 就是用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系 列 表 法 就是列出表格来表示两个 变量之间的对应关系 图 象 法 就是用图象表示两个变量 之间的对应关系 2.分段函数 (1)一般地,分段函数就是在函数定义域内, 对于自变量x的不同取值范围,有着不同的 对应关系的函数. (2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分 别是各段函数的定义域、值域的并集;各段 函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时,应分别作出每一段 的图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 函数的三种表示方法 角度1 解析式法表示函数 若函数f 1-x1+x =x,则f(x)= . 跟踪训练 1.已知函数f(x+2)=x2+6x+8, 则函数f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=x2+2x B.f(x)=x2+6x+8 C.f(x)=x2+4x D.f(x)=x2+8x+6 角度2 列表法表示函数 已知函数f(x),g(x)分别由下表 给出. x 4 5 6 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 4 5 4 则g(f(5))= ; f(g(2))= . 跟踪训练 2.已知函数f(x)由下表给出,则 f(3)等于 ( ) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B.2 C.3 D.不存在 角度3 图象法表示函数 第十四届全运会游泳比赛在西安奥体 中心游泳跳水馆举行,标准泳池的长为50 米,宽为21米,在女子100米自由泳比赛 中,能表示选手速度v随时间t变化的大致 图象是 ( ) A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 第14讲 函数的表示法 跟踪训练 3.某学生离家去学校,一开始跑步 前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵 轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时 间,则较符合该学生走法的是 ( ) A B C D 二 分段函数 已知函数f(x)的解析式f(x)= x+2,x≤1, x2,1<x<2, 2x,x≥2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (1)求f f 12 ; (2)若f(a)=2,求a的值. 跟踪训练 4. 已 知 函 数 f (x)= 2x2+1,x≤1, 3 x ,x>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则f(f(3))= ( ) A.319 B.3 C.1 D.19 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析 式是 ( ) A.f(x)=3x-1 B.f(x)=3x+1 C.f(x)=3x+2 D.f(x)=3x+4 2.若函数f(x)=ax2-1,a 为一个正数,且 f(f(-1))=-1,那么a的值是 ( ) A.1 B.0 C.-1 D.2 3.函数y= x1+x 的大致图象是 ( ) A B C D 4.若 f(x)= x,x≥0, x2,x<0, 则 f(f(-4))= . 5.若2f(x)+f 1x =2x,则f(x)= . 6.已知函数f(x)是二次函数,f(-1)=0, f(-3)=f(1)=4. (1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x-1)≥4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 初升高衔接教材 数学 7.作出下列函数的图象: (1)f(x)=|x-1|+|x+1|; (2)f(x)= -x2+4x-3,x>0, 0,x=0, x2+4x+3,x<0. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第15讲 函数的单调性 高中课程标准 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和实际意义. 1.增函数与减函数的定义 条 件 一般地,设函数f(x)的定义域为 D,区间 I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结 论 那 么 就 称 函 数 f(x)在 区 间 I 上 是增函数 那么就称函数f(x) 在区间I上是减函数 图 示 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或 减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x) 的单调区间. 解读:(1)函数的单调性是对定义域内某个 区间而言的,它是函数的一个局部性质. (2)函数f(x)在定义域的某个区间I上单 调,不 一 定 在 定 义 域 上 单 调.如 f(x)= x2等. (3)并 非 所 有 的 函 数 都 具 有 单 调 性,如 f(x)= 1,x是偶数, 0,x是奇数 它的定义域是 N,不具 有单调性. 3.常见基本初等函数的单调区间 函数 条件 单调递 增区间 单调递 减区间 正比例函数 (y=kx,k≠ 0)与一次函 数(y=kx+ b,k≠0) k>0 R 无 k<0 无 R 反比例函数 y=kx,k≠0 k>0 无 (-∞,0)和 (0,+∞) k<0 (-∞,0)和 (0,+∞) 无 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43 初升高衔接教材 数学 第14讲 函数的表示法 重点题型 例题剖析 [例1] 解析:令t=1-x1+x= 2 1+x-1 ,则t≠-1, ∴x= 2t+1-1 ,故f(t)= 2t+1-1= 1-t t+1 , ∴f(x)=1-xx+1 (x≠-1). 答案:1-x 1+x (x≠-1) [跟踪训练] 1.A ∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+ 2(x+2),∴f(x)=x2+2x. [例2] 解析:由题表可知f(5)=3,g(3)=4, ∴g(f(5))=g(3)=4. 又g(2)=5,f(5)=3,∵f(g(2))=f(5)=3. 答案:4 3 [跟踪训练] 2.C ∵当2<x≤4时,f(x)=3, ∴f(3)=3. [例3] D 运动员初始速度为0,从0开始加速,排除选 项C. 由于标准泳池的长为50米, 运动员在游到50米之前先加速,匀速,再迅速减速为0, 然后加速游回去, 故选项A,B不正确,选项D正确. [跟踪训练] 3.D 结合题意可知,该生离校的距离先快速 减少,又较慢减少,最后到0. [例4] 解:(1)f 12 =12+2=52, f 52 =2×52=5,故f f 12 =5. (2)当a≤1时,f(a)=a+2=2,解得a=0,成立; 当1<a<2时,f(a)=a2=2, 解得a= 2或a=- 2(舍); 当a≥2时,f(a)=2a=2,解得a=1,不成立. 综上,a的值为0或 2. [跟踪训练] 4.B f(f(3))=f 33 =f(1)=2+1=3. 过关精练 巩固提升 1.A 令x+1=t,则x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1. 2.A ∵f(x)=ax2-1,∴f(-1)=a-1, f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1, ∴a(a-1)2=0. 又∵a为正数,∴a=1. 3.A y= x1+x 的定义域为{x|x≠-1},排除C,D, 当x=0时,y=0,排除B. 4.解析:因为f(x)= x,x≥0, x2,x<0, 所以f(f(-4))=f(16)=16. 答案:16 5.解析:由题意,可知2f 1x +f(x)=2x, ∴ 2f(x)+f 1x =2x, 2f 1x +f(x)=2x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得f(x)=43x- 2 3x. 答案:4 3x- 2 3x 6.解:(1)由f(-3)=f(1),知此二次函数图象的对称轴为 x=-1. 又因为f(-1)=0,所以(-1,0)是f(x)的顶点, 所以设f(x)=a(x+1)2. 因为f(1)=4,即a(1+1)2=4, 所以得a=1,所以f(x)=(x+1)2. (2)因为f(x)=(x+1)2,所以f(x-1)=x2, f(x-1)≥4化为x2≥4,即x≤-2或x≥2, 不等式的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). 7.解:(1)因为函数f(x)= -2x,x≤-1, 2,-1<x≤1, 2x,x>1, 画出其图象如图 ①所示. 图① (2)函数的图象是两段抛物线(部分)与一点,画出其图象 如图②所示. 图② 第15讲 函数的单调性 重点题型 例题剖析 [例1] 解:任取x1,x2,使得-1<x1<x2<1, 则x2-x1>0. f(x2)-f(x1)= a(x1x2+1)(x1-x2) (x21-1)(x22-1) , ∵-1<x1<x2<1,∴x1x2+1>0,x21-1<0,x22-1<0, ∴ (x1x2+1)(x1-x2) (x21-1)(x22-1) <0,∴当a>0时,f(x2)-f(x1) <0,故此时函数f(x)在(-1,1)上是减函数; 当a<0时,f(x2)-f(x1)>0,故此时f(x)在(-1,1)上 是增函数. 综上所述,当a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数; 当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数. [跟踪训练] 1.B ∵(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0⇔ x1-x2<0, f(x1)-f(x2)>0 或 x1-x2>0 , f(x1)-f(x2)<0. 即当x1<x2时,f(x1)>f(x2)或当x1>x2 时,f(x1)< f(x2).不论哪种情况,都说明f(x)在(a,b)上为减函数. [例2] 解:(1)因为f(-2)=-2a+12=- 3 2 ,所以a=1, 所以f(x)=x-1x. (2)函数在(0,+∞)上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈(0, +∞),且x1<x2,所以f(x2)-f(x1)= x2-1x2 - x1- 1 x1 =(x2-x1)+ 1x1-1x2 = (x1x2+1)(x2-x1) x1x2 .因为 x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所 以f(x2)- f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上单 调递增. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 08