第13讲 函数的概念-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

参考答案 则-2+4=-a,-8=b,即a=-2,b=-8, 所以a+b=-10. 3.ABC 因为不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤ x≤2}, 所以a<0,且 -ba =-1+2=1>0 , c a =-2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 b>0, b=-a, c>0, 所以a+b=0,c>0,b>0, 故A,C正确,D错误. 因为二次函数y=ax2+bx+c的两个零点为-1,2,且图 象开口向下, 所以当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确. 4.解析:如图所示: ∵二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴有且只有一个公共点, ∴Δ=22-4m=0,解得m=1, 故y=x2+2x+1,则图象与x轴交于点 (-1,0),故一元二次不等式x2+2x+m >0的解集为{x|x≠-1}. 答案:{x|x≠-1} 5.解析:由题意知,二次方程有一正根和一负根, 得 2m+1≠0, m-1 2m+1<0 , 解得-12<m<1. 答案:m -12<m<1 6.解:(1)原不等式可化为3x+13-x+1>0 ,即2x+4 x-3<0 , 等价于(2x+4)(x-3)<0,解得-2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)原不等式可化为x-1x+1- x+1 x-1<0 , 通分整理得 (x-1)2-(x+1)2 (x+1)(x-1) <0 , 化简得 -4x(x+1)(x-1)<0 ,即 x(x+1)(x-1)>0 , 等价于x(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<0或x>1, ∴原不等式的解集为{x|-1<x<0,或x>1}. 7.解:(1)由题意得:128000-80000-5000 1×(1+t)= 23000,即t=24. (2)由(1)得Sn=5000 n(n+24)(n≤10). 设第n天发生危险,由题意得5000 n(n+24)-4000n >128000-80000,即n2+24n-256>0,得n>8, 所以汛期的第9天会有危险. 第13讲 函数的概念 重点题型 例题剖析 [例1] A 对图(1),由图知:0≤x≤1,不符合函数的定义 域,故图(1)错误;对图(2),由图知:0≤x≤2,0≤y≤2,图 象符合函数的定义,故图(2)正确;对图(3),由图知:0≤y ≤3,不符合函数的值域,故图(3)错误;对图(4),不符合 函数定义,不是函数图象,故图(4)错误. [跟踪训练] 1.C 按照对应的x→x2,函数的值域为E= {1,4,16}⊆N,C选项正确. [例2] A f(x)=|x+1|= x+1 ,x≥-1, -x-1,x<-1 与g(x)= x+1,x≥-1, -x-1,x<-1 的定义域相同,对应关系也相同,是同一 个函数,故选项A正确. [跟踪训练] 2.B 函数y=x 3+x x2+1 的定义域为 R,而y=x 的定义域为R, 且y=x 3+x x2+1 =x (x2+1) x2+1 =x,故B正确. [例3] C 函数f(x+1)的定义域为[1,7],则2≤x+1≤8, 因此在f(2x)中,2≤2x≤8, 函数h(x)=f(2x)+ 9-x2有意义,必有 2≤2x≤8, 9-x2≥0, 解得1≤x≤3, 所以函数h(x)的定义域为[1,3]. [跟踪训练] 3.解析:要使函数有意义, 则 3-x≥0, x+2≠0 ⇒ x≤3,x≠-2, 所以函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,3]. 答案:(-∞,-2)∪(-2,3] [例4] 解析:令 2xx+1=3 ,解得x=-3,所以f(3)=8. 答案:8 [跟踪训练] 4.B f(10)=10+110=10.1 , f(-10)=-10+ 1-10=-10.1 , 则f(-10)+f(10)=-10.1+10.1=0. 过关精练 巩固提升 1.D 对于D,f(x)= -x|x| ,x≤0, x|x|,x>0 = x 2,x≤0, x2,x>0 =x2, 故与f(x)=x2是同一个函数. 2.D ∵f(x)=2x2-6x+3=2 x-32 2 -32 ,对称轴x= 3 2 ,当x∈[-1,2],f(x)min=f 32 =-32. 又∵f(-1)=11,f(2)=-1, ∴f(x)max=f(-1)=11,∴函数的值域为 -32,11 . 3.解析:因为f(x)=x2+2,所以f(1)=12+2=3. 答案:3 4.解析:由f(x)的定义域为[-3,3), 令-3≤2x-1<3,解得-1≤x<2, 所以f(2x-1)的定义域为[-1,2). 答案:[-1,2) 5.解:(1)要使函数有意义,即分式有意义,则x+1≠0,x≠ -1.故函数的定义域为{x|x≠-1}. (2)要使函数有意义,则 x2-1≥0, 1-x2≥0, 即 x 2≥1, x2≤1, 所以x2=1,从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}. (3)函数y=2x+3的定义域为{x|x∈R}. (4)因为当x2-1≠0,即x≠±1时,x+1 x2-1 有意义,所以原 函数的定义域是{x|x≠±1,x∈R}. 6.解:(1)∵x∈{1,2,3,4,5},∴(2x+1)∈{3,5,7,9,11}, 即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)y=x2-4x+6=(x-2)2 +2. ∵x∈[1,5), ∴其图象如图所示. 当x=2时,y=2; 当x=5时,y=11, ∴所求函数的值域为[2,11). (3)函数的定义域为{x|x≠2}, y=3-5xx-2=- 5(x-2)+7 x-2 =-5- 7 x-2 ,∴函数的值域 为{y|y≠-5}. (4)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的 定义域为{x|x≥-1}.设t= x+1,则x=t2-1(t≥0), 于是y=t2-1-t= t-12 2 -54. 又t≥0,故y≥-54 , ∴函数的值域为 yy≥-54 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.不等式-x2+x-4>0的解集是 ( ) A.全体实数 B.空集 C.正实数 D.负实数 2.已 知 不 等 式 x2+ax+b<0 的 解 集 是 {x|-2<x<4},则a+b= ( ) A.-10 B.-6 C.0 D.2 3.(多选)不等式ax2+bx+c≥0的解集是 {x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是 ( ) A.a+b=0 B.a+b+c>0 C.c>0 D.b<0 4.已知二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴有且只有一个公共点,则一元二次不等式 x2+2x+m>0的解集为 . 5.已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+ m-1=0有一正数根和一负数根,则实数m 的取值范围是 . 6.解不等式. (1)3x+13-x>-1 ;(2)x-1x+1< x+1 x-1. 7.某地有一座水库,设计最大容量为128000m3. 根据预测,汛期时水库的进水量Sn(单位: m3)与 天 数 n(n∈N*)的 关 系 是 Sn = 5000 n(n+t)(n≤10),水库原有水量为 80000m3,若水闸开闸泄水,则每天可泄水 4000m3;水库水量差最大容量23000m3 时系统就会自动报警提醒,水库水量超过最 大容量时,堤坝就会发生危险;如果汛期来 临水库不泄洪,1天后就会出现系统自动 报警. (1)求t的值; (2)当汛期来临第一天,水库就开始泄洪,估 计汛期将持续10天,问:此期间堤坝会发生 危险吗? 请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第13讲 函数的概念 高中课 程标准 在用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立 完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数 的要素,能求简单函数的定义域. 1.函数的有关概念 函数的 定义 设A,B是非空的实数集,如果对于集合 A中任意一个数x,按照某种确定的对 应关系f,在集合B中都有唯一确定的 数y和它对应,那么就称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数 续表 函数的 记法 y=f(x),x∈A 定义域 x叫做自变量,x 的取值范围A 叫做 函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 初升高衔接教材 数学 2.同一个函数 一般地,函数有三个要素:定义域、对应关系 与值域.如果两个函数的定义域相同,并且 对应关系完全一致,我们就称这两个函数是 同一个函数. 特别提醒:两个函数的定义域和对应关系相 同就决定了这两个函数的值域也相同. 3.区间 (1)区间概念(a,b为实数,且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] 续表 {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭 区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] (2)其他区间的表示 定义 R {x|x ≥a} {x|x >a} {x|x ≤a} {x|x <a} 区间 (-∞, +∞) [a, +∞) (a, +∞) (-∞, a] (-∞, a) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 函数关系的判断 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤ y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合 M 到集合N 的函数图象的个数为 ( ) (1) (2) (3) (4) A.1 B.2 C.3 D.4 跟踪训练 1.托马斯说:“函数概念是近代数 学思想之花.”请根据函数的概念判断:下列 对应是集合 M ={-1,2,4}到集合 N= {1,2,4,16}的函数的是 ( ) A.x→2x B.x→x+2 C.x→x2 D.x→2x 二 同一个函数 下列四组函数,表示同一个函数的是 ( ) A.f(x)=|x+1|,g(x)= x+1,x≥-1, -x-1,x<-1 B.f(x)= x2,g(x)=x C.f(x)=x,g(x)=x 2 x D.f(x)= x2-4,g(x)= x+2· x-2 跟踪训练 2.下列各组函数表示同一个函数 的是 ( ) A.y= x|x| 与y=1 B.y=x 3+x x2+1 与y=x C.y=x 2-1 x-1 与y=x+1 D.y= x2-2x+1与y=x-1 三 求函数的定义域、函数值 角度1 求函数的定义域 已知函数f(x+1)的定义域为[1,7] 则函数h(x)=f(2x)+ 9-x2的定义域为 ( ) A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞) C.[1,3] D.[3,4] 跟踪训练 3.函数f(x)= 3-xx+2 的定义域是 . 角度2 求函数值 已知f 2xx+1 =x2-1,则f(3)= . 跟踪训练 4.已 知 函 数 f(x)=x+1x ,则 f(-10)+f(10)的值是 ( ) A.-20 B.0 C.1 D.20 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 第13讲 函数的概念 1.和函数f(x)=x2是同一个函数的是( ) A.f(x)=(x+1)2 B.f(x)=x· x2 C.f(x)=x 3 x D.f(x)= -x|x|,x≤0, x|x|,x>0 2.已知函数f(x)=2x2-6x+3,x∈[-1,2], 则函数的值域是 ( ) A. -32,11 B. 32,11 C.[-1,11] D. -32,11 3.已知函数f(x)=x2+2,那么f(1)= . 4.若f(x)的定义域为[-3,3),则f(2x-1)的 定义域为 . 5.求下列函数的定义域: (1)f(x)= 1x+1 ;(2)y= x2-1+ 1-x2; (3)y=2x+3;(4)y=x+1x2-1 . 6.求下列函数的值域: (1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-4x+6,x∈[1,5); (3)y=3-5xx-2 ; (4)y=x- x+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13