第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)原不等式可化为3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0,解得-2≤x≤43 , 所以原不等式的解集为 x -2≤x≤43 . (2)原不等式等价于 x2-x-2>0, x2-x-2≤4 ⇔ x 2-x-2>0, x2-x-6≤0 ⇔ (x-2)(x+1)>0, (x-3)(x+2)≤0 ⇔ x>2或x<-1,-2≤x≤3. 借助于数轴,如图所示, 原不等式的解集为{x|-2≤x<-1,或2<x≤3}. [跟踪训练] 1.解:(1)由-x2+4x+5<0可得 x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5, 故原不等式的解集为{x|x<-1,或x>5}. (2)由2x2-5x+2≤0可得(2x-1)(x-2)≤0, 解得1 2≤x≤2 , 故原不等式的解集为 x 12≤x≤2 . [例2] 解:(1)不等式可化为(x-a)(x-1)≤0. ①当a=1时,原不等式即为(x-1)2≤0,解得x=1; ②当a<1时,原不等式化为(x-a)(x-1)≤0, 解得a≤x≤1; ③当a>1时,原不等式化为(x-a)(x-1)≤0, 解得1≤x≤a. 综上,当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1};当a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}; 当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a}. (2)ax2-3x+2>ax-1⇒ax2-(a+3)x+3>0⇒ (ax-3)(x-1)>0, 当a=0时,不等式为x-1<0,不等式的解集为{x|x<1}; 当a<0时,不等式化为 x-3a (x-1)<0,不等式的解 集为 x 3a<x<1 ; 当a>0时,方程ax2-3x+2=ax-1的两个根分别为: 3 a ,1. 当a=3时,两根相等,故不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>3时,3a<1 , 不等式的解集为 x x<3a ,或x>1 ; 当0<a<3时,3a>1 , 不等式的解集为 x x<1,或x>3a . 综上,当a<0时,不等式的解集为 x 3a<x<1 ; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<1}, 当0<a<3时,不等式的解集为 x x<1,或x>3a ; 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>3时,不等式的解集为 x x<3a ,或x>1 . [跟踪训练] 2.解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0, 化简为(x+1)(ax-2)≥0. ∵a<0,∴(x+1) x-2a ≤0. 当-2<a<0时,2a≤x≤-1 ; 当a=-2时,x=-1; 当a<-2时,-1≤x≤2a. 综上所述, 当-2<a<0时,解集为 x 2a≤x≤-1 ; 当a=-2时,解集为{x|x=-1}; 当a<-2时,解集为 x -1≤x≤2a . [例3] 解:(1)x-3x+2<0⇔ (x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)∵x+12x-3≤1 ,∴x+12x-3-1≤0 , ∴-x+42x-3≤0 ,即x-4 x-32 ≥0. 此不等式等价于(x-4) x-32 ≥0且x-32≠0, 解得x<32 或x≥4, ∴原不等式的解集为 x x<32 ,或x≥4 . [跟踪训练] 3.C 原不等式可化为 (x-3)(x+2) x-1 >0 , 即(x+2)(x-1)(x-3)>0, 解得-2<x<1或x>3. [例4] C 当a=2时,原式化为-4<0,显然恒成立; 当a≠2时,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切 x∈R恒成立, 则有a-2<0且Δ<0,即 a-2<0 , 4(a-2)2+16(a-2)<0, 解得-2<a<2. 综上可得,-2<a≤2. [跟踪训练] 4.B 因为对任意1≤x≤2,有x2≤a恒成立, 所以(x2)max≤a. 因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≥4. [例5] 解:(1)设该种玻璃的售价提高到x 欧元/平方米, [80-2(x-25)]x≥2000,解得25≤x≤40, 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. (2)mn≥2000+500+2m+53 (m2-600), 整理,得mn≥1500+2m+53m 2, 除以m,得n≥1500m + 5 3m+2 , 由基本不等式,得n≥1500m + 5 3m+2≥2 1500 m ·5 3m +2=102,当且仅当1500m = 5 3m ,即 m=30时,等号成 立,所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时, 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与 2022年投入之和,求出此时的售价为30欧元/平方米. [跟踪训练] 5.解:设花卉带的宽度为xm(0<x<600), 则中间草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根据 题意可得(800-2x)(600-2x)≥12×800×600 ,整理得 x2-700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所以 0<x≤100或x≥600,x≥600不符合题意,舍去.故所求 花卉带宽度的范围为{x|0<x≤100}. 过关精练 巩固提升 1.B -x2+x-4=- x-12 2 -154≤- 15 4<0 , 所以不等式-x2+x-4>0的解集为空集. 2.A 因为不等式x2+ax+b<0的解集是{x|-2<x<4}, 所以x2+ax+b=0的两根为-2,4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 87 参考答案 则-2+4=-a,-8=b,即a=-2,b=-8, 所以a+b=-10. 3.ABC 因为不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤ x≤2}, 所以a<0,且 -ba =-1+2=1>0 , c a =-2<0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以 b>0, b=-a, c>0, 所以a+b=0,c>0,b>0, 故A,C正确,D错误. 因为二次函数y=ax2+bx+c的两个零点为-1,2,且图 象开口向下, 所以当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确. 4.解析:如图所示: ∵二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴有且只有一个公共点, ∴Δ=22-4m=0,解得m=1, 故y=x2+2x+1,则图象与x轴交于点 (-1,0),故一元二次不等式x2+2x+m >0的解集为{x|x≠-1}. 答案:{x|x≠-1} 5.解析:由题意知,二次方程有一正根和一负根, 得 2m+1≠0, m-1 2m+1<0 , 解得-12<m<1. 答案:m -12<m<1 6.解:(1)原不等式可化为3x+13-x+1>0 ,即2x+4 x-3<0 , 等价于(2x+4)(x-3)<0,解得-2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)原不等式可化为x-1x+1- x+1 x-1<0 , 通分整理得 (x-1)2-(x+1)2 (x+1)(x-1) <0 , 化简得 -4x(x+1)(x-1)<0 ,即 x(x+1)(x-1)>0 , 等价于x(x+1)(x-1)>0,解得-1<x<0或x>1, ∴原不等式的解集为{x|-1<x<0,或x>1}. 7.解:(1)由题意得:128000-80000-5000 1×(1+t)= 23000,即t=24. (2)由(1)得Sn=5000 n(n+24)(n≤10). 设第n天发生危险,由题意得5000 n(n+24)-4000n >128000-80000,即n2+24n-256>0,得n>8, 所以汛期的第9天会有危险. 第13讲 函数的概念 重点题型 例题剖析 [例1] A 对图(1),由图知:0≤x≤1,不符合函数的定义 域,故图(1)错误;对图(2),由图知:0≤x≤2,0≤y≤2,图 象符合函数的定义,故图(2)正确;对图(3),由图知:0≤y ≤3,不符合函数的值域,故图(3)错误;对图(4),不符合 函数定义,不是函数图象,故图(4)错误. [跟踪训练] 1.C 按照对应的x→x2,函数的值域为E= {1,4,16}⊆N,C选项正确. [例2] A f(x)=|x+1|= x+1 ,x≥-1, -x-1,x<-1 与g(x)= x+1,x≥-1, -x-1,x<-1 的定义域相同,对应关系也相同,是同一 个函数,故选项A正确. [跟踪训练] 2.B 函数y=x 3+x x2+1 的定义域为 R,而y=x 的定义域为R, 且y=x 3+x x2+1 =x (x2+1) x2+1 =x,故B正确. [例3] C 函数f(x+1)的定义域为[1,7],则2≤x+1≤8, 因此在f(2x)中,2≤2x≤8, 函数h(x)=f(2x)+ 9-x2有意义,必有 2≤2x≤8, 9-x2≥0, 解得1≤x≤3, 所以函数h(x)的定义域为[1,3]. [跟踪训练] 3.解析:要使函数有意义, 则 3-x≥0, x+2≠0 ⇒ x≤3,x≠-2, 所以函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,3]. 答案:(-∞,-2)∪(-2,3] [例4] 解析:令 2xx+1=3 ,解得x=-3,所以f(3)=8. 答案:8 [跟踪训练] 4.B f(10)=10+110=10.1 , f(-10)=-10+ 1-10=-10.1 , 则f(-10)+f(10)=-10.1+10.1=0. 过关精练 巩固提升 1.D 对于D,f(x)= -x|x| ,x≤0, x|x|,x>0 = x 2,x≤0, x2,x>0 =x2, 故与f(x)=x2是同一个函数. 2.D ∵f(x)=2x2-6x+3=2 x-32 2 -32 ,对称轴x= 3 2 ,当x∈[-1,2],f(x)min=f 32 =-32. 又∵f(-1)=11,f(2)=-1, ∴f(x)max=f(-1)=11,∴函数的值域为 -32,11 . 3.解析:因为f(x)=x2+2,所以f(1)=12+2=3. 答案:3 4.解析:由f(x)的定义域为[-3,3), 令-3≤2x-1<3,解得-1≤x<2, 所以f(2x-1)的定义域为[-1,2). 答案:[-1,2) 5.解:(1)要使函数有意义,即分式有意义,则x+1≠0,x≠ -1.故函数的定义域为{x|x≠-1}. (2)要使函数有意义,则 x2-1≥0, 1-x2≥0, 即 x 2≥1, x2≤1, 所以x2=1,从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}. (3)函数y=2x+3的定义域为{x|x∈R}. (4)因为当x2-1≠0,即x≠±1时,x+1 x2-1 有意义,所以原 函数的定义域是{x|x≠±1,x∈R}. 6.解:(1)∵x∈{1,2,3,4,5},∴(2x+1)∈{3,5,7,9,11}, 即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)y=x2-4x+6=(x-2)2 +2. ∵x∈[1,5), ∴其图象如图所示. 当x=2时,y=2; 当x=5时,y=11, ∴所求函数的值域为[2,11). (3)函数的定义域为{x|x≠2}, y=3-5xx-2=- 5(x-2)+7 x-2 =-5- 7 x-2 ,∴函数的值域 为{y|y≠-5}. (4)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的 定义域为{x|x≥-1}.设t= x+1,则x=t2-1(t≥0), 于是y=t2-1-t= t-12 2 -54. 又t≥0,故y≥-54 , ∴函数的值域为 yy≥-54 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97 初升高衔接教材 数学 5.已知x,y>0,且满足x+y=2,则xy+x+y 的最大值为 . 6.(1)已知x>1,求4x+1+ 1x-1 的最小值. (2)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 初中课程标准 高中课程标准 1.知道一元二次 方程与二次函 数的关系. 2.会利用二次函 数的图象求一 元二次方程的 近似解. 1.从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实数根的 个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式 (1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等 式的现实意义;能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一 元二次不等式的解集. (2)借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式的概念及解法 (1)一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是2的不等式,叫做一元二次不 等式 一般 形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+ bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0, a,b,c均为常数 (2)解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx +c<0(其中a>0); ②计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程 ax2+bx+c=0是否有解; ③有根求根; ④根据图象写出不等式的解集. 2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元 二次不等式)的关系 判别式Δ =b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y = ax2 +bx+c (a>0)的 图象 一元二次 方程ax2 +bx+c =0(a> 0)的根 有两个不 相等的实 数根 x1, x2(x1< x2) 有两个相 等的实数 根x1=x2 =-b2a 没 有 实 数 根 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 续表 ax2+bx +c>0(a >0)的 解集 {x|x< x1,或 x >x2} x x≠ -b2a R ax2+bx +c<0(a >0)的 解集 {x|x1< x<x2} ⌀ ⌀ 3.分式不等式的解法 解分式不等式 (1)f (x) g(x)>0⇔f (x)·g(x)>0; (2)f (x) g(x)≤0⇔ f(x)·g(x)≤0, g(x)≠0; (3)f (x) g(x)≥a⇔ f(x)-ag(x) g(x) ≥0. 4.一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问 题,即:k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max; k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 5.一元二次不等式的实际应用 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 求解一元二次不等式 角度1 不含参数的一元二次不等式的解法 解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4. 跟踪训练 1.求解下列不等式的解集: (1)-x2+4x+5<0; (2)2x2-5x+2≤0. 角度2 含参数的一元二次不等式的解法 (1)解关于x的不等式x2-(a+1)x +a≤0. (2)求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1 的解集. 跟踪训练 2.解关于x的不等式:ax2-2≥2x -ax(a<0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 初升高衔接教材 数学 二 解分式不等式 解下列不等式:(1)x-3x+2<0 ; (2)x+12x-3≤1. 跟踪训练 3.不等式x 2-x-6 x-1 >0 的解集为 ( ) A.{x|x<-2,或x>3} B.{x|x<-2,或1<x<3} C.{x|-2<x<1,或x>3} D.{x|-2<x<1,或1<x<3} 三 一元二次不等式恒成立问题 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.a≤2 B.-2≤a≤2 C.-2<a≤2 D.a<-2 跟踪训练 4.若对任意1≤x≤2,有x2≤a恒 成立,则实数a的取值范围是 ( ) A.{a|a≤2} B.{a|a≥4} C.{a|a≤5} D.{a|a≥5} 四 一元二次不等式的实际应用 通过技术创新,某公司的汽车特种玻 璃已进入欧洲市场.2021年,该种玻璃售价 为25欧元/平方米,销售量为80万平方米, 销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查,若售价每提高1欧元/平方 米,则销售量将减少2万平方米.要使销售 收入不低于2000万欧元,试问:该种玻璃的 售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量,增加市场份额,公司将 在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和 营销策略改革:提高价格到m 欧元/平方米 (其中m>25),其中投入53 (m2-600)万欧 元作为技术创新费用,投入500万欧元作为 固定宣传费用,投入2m 万欧元作为浮动宣 传费用,试问:该种玻璃的销售量n(单位/万 平方米)至少达到多少时,才可能使2022年 的销售收入不低于2021年销售收入与2022 年投入之和? 并求出此时的售价. 跟踪训练 5.某校园内有一块长为800m、宽 为600m的长方形地面,现要对该地面进行 绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相 同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于 总面积的一半,求花卉带宽度的范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 1.不等式-x2+x-4>0的解集是 ( ) A.全体实数 B.空集 C.正实数 D.负实数 2.已 知 不 等 式 x2+ax+b<0 的 解 集 是 {x|-2<x<4},则a+b= ( ) A.-10 B.-6 C.0 D.2 3.(多选)不等式ax2+bx+c≥0的解集是 {x|-1≤x≤2},则下列结论正确的是 ( ) A.a+b=0 B.a+b+c>0 C.c>0 D.b<0 4.已知二次函数y=x2+2x+m 的图象与x 轴有且只有一个公共点,则一元二次不等式 x2+2x+m>0的解集为 . 5.已知关于x的二次方程(2m+1)x2-2mx+ m-1=0有一正数根和一负数根,则实数m 的取值范围是 . 6.解不等式. (1)3x+13-x>-1 ;(2)x-1x+1< x+1 x-1. 7.某地有一座水库,设计最大容量为128000m3. 根据预测,汛期时水库的进水量Sn(单位: m3)与 天 数 n(n∈N*)的 关 系 是 Sn = 5000 n(n+t)(n≤10),水库原有水量为 80000m3,若水闸开闸泄水,则每天可泄水 4000m3;水库水量差最大容量23000m3 时系统就会自动报警提醒,水库水量超过最 大容量时,堤坝就会发生危险;如果汛期来 临水库不泄洪,1天后就会出现系统自动 报警. (1)求t的值; (2)当汛期来临第一天,水库就开始泄洪,估 计汛期将持续10天,问:此期间堤坝会发生 危险吗? 请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第13讲 函数的概念 高中课 程标准 在用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立 完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数 的要素,能求简单函数的定义域. 1.函数的有关概念 函数的 定义 设A,B是非空的实数集,如果对于集合 A中任意一个数x,按照某种确定的对 应关系f,在集合B中都有唯一确定的 数y和它对应,那么就称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数 续表 函数的 记法 y=f(x),x∈A 定义域 x叫做自变量,x 的取值范围A 叫做 函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数 的值域 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92