第11讲 基本不等式-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 7.(1)设a>b>0,比较a 2-b2 a2+b2 与a-b a+b 的大小. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:ea-c > eb-d. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第11讲 基本不等式 高中课 程标准 1.理解基本不等式以 ab≤a+b2 (a>0,b>0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 1.基本不等式 (1)有关概念:当a,b均为正数时,把a+b2 叫 做正数a,b的算术平均数,把 ab叫做正数 a,b的几何平均数. (2)不等式:基本不等式:∀a>0,b>0,a+b ≥2 ab(当且仅当a=b时,取“=”). 2.最值定理 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时, 积xy取得最大值S 2 4. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和 x+y取得最小值2 p. 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定 积最大. 注意:运用基本不等式求最值的三个条件: (1)“一正”:x,y必须是正数; (2)“二定”:求积xy 的最大值时,应看和 x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应 看积xy是否为定值. (3)“三相等”:当且仅当x=y时,等号成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 对基本不等式的理解 下列不等式中正确的是 ( ) A.a+4a≥4 B.x 2+3 x2 ≥2 3 C.ab≥a+b2 D.a 2+b2≥4ab 跟踪训练 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0; ③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ab+ b a≥2 成立的条件有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 第11讲 基本不等式 二 利用基本不等式求最值 角度1 和为定值求积的最值 已知x>0,y>0,且x+y=12,则xy 的最大值为 ( ) A.16 B.25 C.36 D.49 跟踪训练 2.已知a>0,b>0且2a+5b=10, 则ab的最大值为 ( ) A.2 B.5 C.32 D. 5 2 角度2 积为定值求和的最值 当x>0时,x+92x 的最小值为 ( ) A.3 B.32 C.2 2 D.3 2 跟踪训练 3.若x>-2,则f(x)=x+ 1x+2 的最小值为 . 三 基本不等式在实际中的应用 如图为传统节日玩具之 一走马灯,常见于除夕、元宵、 中秋等节日,灯内点上蜡烛,蜡 烛燃烧产生的热力造成气流, 令轮轴转动.轮轴上有剪纸,烛 光将剪纸的影投射在屏上,图象便不断走 动,因剪纸图象为古代武将骑马的图画,在 转动时看起来好像几个人你追我赶一样,故 名走马灯.现打算做一个体积为96000cm3 的如图长方体状的走马灯(题中不考虑木料 的厚薄粗细). (1)若底面大矩形的周长为160cm,当底面 边长为多少时,底面面积最大? (2)若灯笼高为40cm,现只考虑灯笼的主要 框架,当底面边长为多少时,框架用料最少? 跟踪训练 4.中国宋代的数学家秦九韶曾提 出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三 角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可 由公式S= p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其 中p为三角形周长的一半,这个公式也被称 为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边 长满足a+b=3,c=1,则此三角形面积的最 大值为 ( ) A.2 B.5 3 C.15 D.22 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知正数x,y满足x+y=4,则xy的最大 值为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知a>0,用基本不等式求9a+1a 的最小值 时,有9a+1a≥2 9a ·1 a ,则取得最小值时 a的值为 ( ) A.19 B. 1 6 C.13 D.3 3.某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一 年的年产量增长率为p,第二年的年产量增 长率为q,这两年的年产量平均增长率为x, 则 ( ) A.x≥ pq B.x≤p+q2 C.x≤ pq D.x≥p+q2 4.已知点(a,b)在直线x+y=1上,当a>0, b>0时,1a+ 2 b 的最小值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 初升高衔接教材 数学 5.已知x,y>0,且满足x+y=2,则xy+x+y 的最大值为 . 6.(1)已知x>1,求4x+1+ 1x-1 的最小值. (2)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第12讲 二次函数与一元二次方程、不等式 初中课程标准 高中课程标准 1.知道一元二次 方程与二次函 数的关系. 2.会利用二次函 数的图象求一 元二次方程的 近似解. 1.从函数观点看一元二次方程 会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实数根的 个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式 (1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等 式的现实意义;能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一 元二次不等式的解集. (2)借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式的概念及解法 (1)一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是2的不等式,叫做一元二次不 等式 一般 形式 ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0,ax2+ bx+c≥0,ax2+bx+c≤0,其中a≠0, a,b,c均为常数 (2)解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx +c<0(其中a>0); ②计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程 ax2+bx+c=0是否有解; ③有根求根; ④根据图象写出不等式的解集. 2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元 二次不等式)的关系 判别式Δ =b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y = ax2 +bx+c (a>0)的 图象 一元二次 方程ax2 +bx+c =0(a> 0)的根 有两个不 相等的实 数根 x1, x2(x1< x2) 有两个相 等的实数 根x1=x2 =-b2a 没 有 实 数 根 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 参考答案 由a>b>1,有y2-y3= b a - b-1 a-1= ab-b-ab+a a(a-1) = a-b a(a-1)>0 ,即y2>y3,所以y1>y2>y3. 4.ACD ∵b>a>0,∴ab>0.在不等式b>a两边同除以 ab得1a> 1 b ,A正确;当c=0时,ac=bc,B错误;同向不 等式相加,不等号方向不变,C正确;∵ac2>bc2,∴c2>0, 两边同除以c2,得a>b,D正确. 5.解析:∵-12<α< 1 2 ,-12<-β< 1 2 ,∴-1<α-β<1. 又α<β,∴α-β<0,∴-1<α-β<0. 答案:{α-β|-1<α-β<0} 6.解析:依题意可知P>0,Q>0,a≥0, P2=2a+7+2 a2+7a,Q2=2a+7+2 a2+7a+12 所以P2<Q2,所以P<Q. 答案:P<Q 7.(1)解:∵a>b>0,∴a 2-b2 a2+b2 >0,a-ba+b>0 , ∴ a2-b2 a2+b2 a-b a+b = (a+b)2 a2+b2 =1+ 2ab a2+b2 >1,∴a 2-b2 a2+b2 >a-ba+b. (2)证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0.又e<0, ∴ ea-c- e b-d= e(b-d)-e(a-c) (a-c)(b-d) = e(b-d-a+c) (a-c)(b-d)= e(b-a+c-d) (a-c)(b-d)>0 ,∴ ea-c> e b-d. 第11讲 基本不等式 重点题型 例题剖析 [例1] B A.当a<0时,a+4a<0 ,故错误;B.x2+3 x2 ≥ 2 x2·3 x2 =2 3,当且仅当x2=3 x2 ,即x=± 4 3时,取等 号,故 正 确;C.当a>0,b>0时, ab≤a+b2 ,故 错 误; D.由重要不等式得a2+b2≥2ab,故错误. [跟踪训练] 1.C 由基本不等式可知,要使得ab + b a ≥2 成立,则a b>0 ,所以a,b同号,所以①③④均可以. [例2] C 因为x>0,y>0,x+y=12≥2 xy,即xy≤ 36,当且仅当x=y=6时取到等号,故xy的最大值为36. [跟踪训练] 2.D 因为2a+5b=10≥2 2a·5b, 所以ab≤52 ,当且仅当a=52 ,b=1时,等号成立. 所以ab的最大值为52. [例3] D 由x+92x≥2 x ·9 2x=3 2 (当且仅当x= 3 2 2 时等号成立). 可得当x>0时,x+92x 的最小值为3 2. [跟踪训练] 3.解析:由x>-2,得x+2>0,1x+2>0 , 所以f(x)=x+ 1x+2=x+2+ 1 x+2-2≥2 (x+2)× 1x+2 -2=0, 当且仅当x+2= 1x+2 ,即x=-1时等号成立. 答案:0 [例4] 解:(1)设大矩形的长为x,宽为y 依题有:2(x+y)=160,即x+y=80, 则S=xy≤ (x+y)2 4 =1600 , 当且仅 当 x=y=40时,底 面 矩 形 面 积 最大. (2)依题有S=xy=96004 =2400 , 框架用料最少等价于底面用料为2x+3y最小即可, 2x+3y≥2 6xy=240,当且仅当2x=3y, 即y=40,x=60时取等号, 故当长为60cm、宽为40cm时,框架用料最少. [跟踪训练] 4.D 根据题意可知p=12 (a+b+c)=2,所 以S= p(p-a)(p-b)(p-c)= 2×(2-a)(2-b), 由a+b+c=4>a+a=2a, 所以2-a>0,同理可得2-b>0; 由基本不等式可得 (2-a)(2-b)≤2-a+2-b2 = 1 2 , 当且仅当a=b=32 时,等号成立, 即S= 2×(2-a)(2-b)≤ 22 ,即此三角形面积的最大 值为 2 2. 过关精练 巩固提升 1.B 因为正数x,y满足x+y=4, 所以有4=x+y≥2 xy⇒ xy≤2⇒xy≤4,当且仅当 x=y=2时取等号. 2.C 因为a>0,所以9a+1a≥2 9a ·1 a , 当且仅当9a=1a ,即a=13 时,等号成立,即取得最小值. 3.B 由题意可知:a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, 即(1+p)(1+q)=(1+x)2. 因为(1+p)(1+q)≤ 1+p+1+q2 2 ,当且仅当p=q时 取等号, 所以1+x≤2+p+q2 =1+ p+q 2 ,即x≤p+q2 . 4.解析:因为点(a,b)在x+y=1上,所以a+b=1, 所以1 a+ 2 b= (a+b) 1a+2b =3+2ab +ba≥3+2 2, 当且仅当2a b = b a 时等号成立. 答案:3+2 2 5.解析:因为x,y>0,且满足x+y=2, 则xy+x+y=xy+2≤ x+y2 2 +2=3, 当且仅当x=y=1时取等号, 所以xy+x+y的最大值为3. 答案:3 6.解:(1)因为x>1,所以x-1>0, 所以4x+1+ 1x-1=4 (x-1)+ 1x-1+5≥2 4 (x-1)· 1x-1 +5=9, 当且仅当4(x-1)= 1x-1 ,即x=32 时取等号, 所以4x+1+ 1x-1 的最小值为9. (2)因为0<x<1,所以x(4-3x)=13 ·(3x)·(4-3x) ≤13 3x+4-3x2 2 =43 , 当且仅当3x=4-3x,即x=23 时取等号, 故x(4-3x)的最大值为43. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77