第10讲 等式的性质与不等式的性质-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 (3)有一个函数表示部分含义,所以是存在量词命题,如 一次函数的图象是直线,所以此命题是真命题. (4)表示所有的菱形,所以是全称量词命题,由菱形的性 质可知是真命题. 综上,(1)(4)是全称量词命题;(2)(3)是存在量词命题; (1)(2)(3)(4)是真命题. [跟踪训练] 1.解:(1)由于Δ=22-4×3=-8<0,因此一 元二次方程x2+2x+3=0无实数根,所以存在量词命题 “有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直 线,所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于 同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词 命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. [例2] 解:(1)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们 不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个 等边三角形都相似.因此这是一个假命题. (2)该命题的否定:∀x∈R,x2-x+1≠0. 因为对任意x∈R,x2-x+1= x-12 2 +34>0 ,所以 这是一个真命题. [跟踪训练] 2.解:(1)该命题的否定:存在一个能被3整 除的整数不是奇数. (2)该命题的否定:存在一个四边形的四个顶点不在同一 个圆上. (3)该命题的否定:∃x∈Z,x2的个位数字等于3. [例3] A p,q都是假命题.由p:∃x∈R,mx2+2≤0为 假命题, 得∀x∈R,mx2+2>0,∴m≥0. 由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假, 得∃x∈R,x2-2mx+1≤0, ∴Δ=(-2m)2-4≥0,得m≤-1或m≥1.∴m≥1. [跟踪训练] 3.A 因 为 命 题“∀x∈{x|-3≤x≤3}, -x2+4x+a≤0”为假命题, 所以-x2+4x+a>0在x∈{x|-3≤x≤3}上有解,所以 (-x2+4x+a)max>0, 而一元二次函数y=-x2+4x+a在x=- 42×(-1)=2 时取最大值,即-22+4×2+a>0,解得a>-4. 过关精练 巩固提升 1.C 当x=0时,x5<1,C正确. 2.A 因为命题p:∀x∈R,mx2+1>0为假命题,所以命题 ∃x∈R,mx2+1≤0为真命题,所以m<0. 3.ABD 因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量 词,所以选项A,B,D均为存在量词命题,选项C为全称 量词命题. 4.CD 命题“∃x∈R,3x+2>0”为存在量词命题,取x= 0,则3×0+2>0,该命题为真命题,C满足要求;命题“至 少有一个整数m,使得m2<1”为存在量词命题,取m=0, 则02<1,该命题为真命题,D满足要求. 5.解析:因为命题p:∃x∈R,x2-3x+3≤0, 所以􀱑p为∀x∈R,x2-3x+3>0. 答案:∀x∈R,x2-3x+3>0 6.解析:因为命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题, 所以∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0, 所以Δ=4a2-4(2-a)=4a2+4a-8<0, ∴a2+a-2<0,∴-2<a<1. 答案:{a|-2<a<1} 7.解:(1)命题可以改写为:所有矩形的对角线不相等,故为 全称量词命题. (2)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称 量词命题. (3)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. (4)命题可以改写为:存在一对整数x,y,使3x-2y=10 成立,故为存在量词命题. 8.解:(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B⊆A. 又集合B 为非空集合, 故有 1+2a≥2, 1+2a<5, 解得12≤a<2, 所以a的取值范围是 a 12≤a<2 . (2)因 为 A={x|1≤x<5},所 以∁RA={x|x<1,或 x≥5}.因为命题“∃x∈B,x∈∁RA”是真命题, 所以B∩∁RA≠⌀,即1+2a≥5,解得a≥2, 所以a的取值范围是{a|a≥2}. 第10讲 等式的性质与不等式的性质 重点题型 例题剖析 [例1] D 因请木工每人需付工资800元,木工x人,则需 付木工工资800x元. 因请瓦工每人需付工资700元,瓦工y人,则需付瓦工工 资700y元, 于是得完成这项装修工程,共需付工资(800x+700y)元, 而工人工资预算为20000元, 因此有800x+700y≤20000,即8x+7y≤200, 所以x,y满足的关系式是8x+7y≤200. [跟踪训练] 1.解析:由题意知导火索的长度x(单位:厘 米),故导火索燃烧的时间为 x 0.5 秒, 人在此时间内跑的路程为 4× x0.5 米, 由题意可得4× x0.5≥100. 答案:4× x0.5≥100 [例2] 解:因为(a-2)(a-6)-(a-3)(a-5) =(a2-8a+12)-(a2-8a+15)=-3<0, 所以(a-2)(a-6)<(a-3)(a-5). [跟踪训练] 2.解析:因为三个式子很明显都是负数, 所以 y2 x y x =y∈(0,1),所以y 2 x> y x ; 同理 y x 1 x =y∈(0,1),所以yx> 1 x. 综上,1 x< y x< y2 x. 答案:1 x< y x< y2 x [例3] 证明:(1)∵a<b,∴a-b<0. 又c<0,∴(a-b)c>0. (2)∵-1<b<0,∴0<b2<1,∴1>b2>0>b>-1. 又a<0,∴a<ab2<ab. [跟踪训练] 3.解:(1)∵a<b<0,c<d<0, ∴-a>-b>0,-c>-d>0, ∴(-a)·(-c)>(-b)·(-d),即ac>bd. (2)∵a>b>0,∴a2>b2>0.又c>d>0,∴a2c>b2d. 过关精练 巩固提升 1.C x至少是a 可表示为“x≥a”,C中说法正确. 2.B 令m=x-y,n=4x-y,则 x=n-m3 , y=n-4m3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以z=9x-y= 8 3n- 5 3m. 因为-4≤m≤-1,所以53≤- 5 3m≤ 20 3. 因 为-1≤n≤5,所以-83≤ 8 3n≤ 40 3 ,所以-1≤z≤20. 3.C 由a>b>1,有y1-y2= b+1 a+1- b a = ab+a-ab-b (a+1)a = a-b (a+1)a>0 ,即y1>y2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 参考答案 由a>b>1,有y2-y3= b a - b-1 a-1= ab-b-ab+a a(a-1) = a-b a(a-1)>0 ,即y2>y3,所以y1>y2>y3. 4.ACD ∵b>a>0,∴ab>0.在不等式b>a两边同除以 ab得1a> 1 b ,A正确;当c=0时,ac=bc,B错误;同向不 等式相加,不等号方向不变,C正确;∵ac2>bc2,∴c2>0, 两边同除以c2,得a>b,D正确. 5.解析:∵-12<α< 1 2 ,-12<-β< 1 2 ,∴-1<α-β<1. 又α<β,∴α-β<0,∴-1<α-β<0. 答案:{α-β|-1<α-β<0} 6.解析:依题意可知P>0,Q>0,a≥0, P2=2a+7+2 a2+7a,Q2=2a+7+2 a2+7a+12 所以P2<Q2,所以P<Q. 答案:P<Q 7.(1)解:∵a>b>0,∴a 2-b2 a2+b2 >0,a-ba+b>0 , ∴ a2-b2 a2+b2 a-b a+b = (a+b)2 a2+b2 =1+ 2ab a2+b2 >1,∴a 2-b2 a2+b2 >a-ba+b. (2)证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0.又e<0, ∴ ea-c- e b-d= e(b-d)-e(a-c) (a-c)(b-d) = e(b-d-a+c) (a-c)(b-d)= e(b-a+c-d) (a-c)(b-d)>0 ,∴ ea-c> e b-d. 第11讲 基本不等式 重点题型 例题剖析 [例1] B A.当a<0时,a+4a<0 ,故错误;B.x2+3 x2 ≥ 2 x2·3 x2 =2 3,当且仅当x2=3 x2 ,即x=± 4 3时,取等 号,故 正 确;C.当a>0,b>0时, ab≤a+b2 ,故 错 误; D.由重要不等式得a2+b2≥2ab,故错误. [跟踪训练] 1.C 由基本不等式可知,要使得ab + b a ≥2 成立,则a b>0 ,所以a,b同号,所以①③④均可以. [例2] C 因为x>0,y>0,x+y=12≥2 xy,即xy≤ 36,当且仅当x=y=6时取到等号,故xy的最大值为36. [跟踪训练] 2.D 因为2a+5b=10≥2 2a·5b, 所以ab≤52 ,当且仅当a=52 ,b=1时,等号成立. 所以ab的最大值为52. [例3] D 由x+92x≥2 x ·9 2x=3 2 (当且仅当x= 3 2 2 时等号成立). 可得当x>0时,x+92x 的最小值为3 2. [跟踪训练] 3.解析:由x>-2,得x+2>0,1x+2>0 , 所以f(x)=x+ 1x+2=x+2+ 1 x+2-2≥2 (x+2)× 1x+2 -2=0, 当且仅当x+2= 1x+2 ,即x=-1时等号成立. 答案:0 [例4] 解:(1)设大矩形的长为x,宽为y 依题有:2(x+y)=160,即x+y=80, 则S=xy≤ (x+y)2 4 =1600 , 当且仅 当 x=y=40时,底 面 矩 形 面 积 最大. (2)依题有S=xy=96004 =2400 , 框架用料最少等价于底面用料为2x+3y最小即可, 2x+3y≥2 6xy=240,当且仅当2x=3y, 即y=40,x=60时取等号, 故当长为60cm、宽为40cm时,框架用料最少. [跟踪训练] 4.D 根据题意可知p=12 (a+b+c)=2,所 以S= p(p-a)(p-b)(p-c)= 2×(2-a)(2-b), 由a+b+c=4>a+a=2a, 所以2-a>0,同理可得2-b>0; 由基本不等式可得 (2-a)(2-b)≤2-a+2-b2 = 1 2 , 当且仅当a=b=32 时,等号成立, 即S= 2×(2-a)(2-b)≤ 22 ,即此三角形面积的最大 值为 2 2. 过关精练 巩固提升 1.B 因为正数x,y满足x+y=4, 所以有4=x+y≥2 xy⇒ xy≤2⇒xy≤4,当且仅当 x=y=2时取等号. 2.C 因为a>0,所以9a+1a≥2 9a ·1 a , 当且仅当9a=1a ,即a=13 时,等号成立,即取得最小值. 3.B 由题意可知:a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, 即(1+p)(1+q)=(1+x)2. 因为(1+p)(1+q)≤ 1+p+1+q2 2 ,当且仅当p=q时 取等号, 所以1+x≤2+p+q2 =1+ p+q 2 ,即x≤p+q2 . 4.解析:因为点(a,b)在x+y=1上,所以a+b=1, 所以1 a+ 2 b= (a+b) 1a+2b =3+2ab +ba≥3+2 2, 当且仅当2a b = b a 时等号成立. 答案:3+2 2 5.解析:因为x,y>0,且满足x+y=2, 则xy+x+y=xy+2≤ x+y2 2 +2=3, 当且仅当x=y=1时取等号, 所以xy+x+y的最大值为3. 答案:3 6.解:(1)因为x>1,所以x-1>0, 所以4x+1+ 1x-1=4 (x-1)+ 1x-1+5≥2 4 (x-1)· 1x-1 +5=9, 当且仅当4(x-1)= 1x-1 ,即x=32 时取等号, 所以4x+1+ 1x-1 的最小值为9. (2)因为0<x<1,所以x(4-3x)=13 ·(3x)·(4-3x) ≤13 3x+4-3x2 2 =43 , 当且仅当3x=4-3x,即x=23 时取等号, 故x(4-3x)的最大值为43. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77 初升高衔接教材 数学 第10讲 等式的性质与不等式的性质 初中课程标准 高中课程标准 1.掌握等式的基本性质. 2.结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式 的基本性质. 1.梳理等式的性质. 2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 1.基本事实 两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即 a>b,a=b,a<b. 依据 如果a>b⇔a-b>0, 如果a=b⇔a-b=0, 如果a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比 较它们的差与0的大小 2.等式的基本性质 (1)如果a=b,那么b=a. (2)如果a=b,b=c,那么a=c. (3)如果a=b,那么a±c=b±c. (4)如果a=b,那么ac=bc. (5)如果a=b,c≠0,那么ac= b c. 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 4 可乘性 a>b c>0 ⇒ac>bc a>b c<0 ⇒ac<bc c的 符号 5 同向可 加性 a>b c>d ⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0 c>d>0 ⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an> bn(n∈N,n≥2) 同正 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 用不等式表示不等关系 完成一项装修工程,请木工每人需付 工资800元,请瓦工每人需付工资700元,现 工人工资预算为20000元.设请木工x人,瓦 工y人,则x,y满足的关系式是 ( ) A.8x+7y<200 B.8x+7y≥200 C.8x+7y=200 D.8x+7y≤200 跟踪训练 1.在开山工程爆破时,已知导火索 燃烧的速度是每秒0.5厘米,人跑开的速度 为每秒4米,距离爆破点100米以外(含100 米)为安全区.为了使导火索燃尽时人能够 跑到安全区,导火索的长度x(单位:厘米)应 满足的不等式为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 第10讲 等式的性质与不等式的性质 二 比较两个实数(代数式)大小 比较(a-2)(a-6)和(a-3)(a-5)的 大小. 跟踪训练 2.如果x<0,0<y<1,那么y 2 x ,y x , 1 x 从小到大的顺序是 . 三 利用不等式的性质证明不等式或求 代数式的范围 利用不等式的性质证明下列不等式: (1)若a<b,c<0,则(a-b)c>0; (2)若a<0,-1<b<0,则a<ab2<ab. 跟踪训练 3.证明不等式. (1)若a<b<0,c<d<0,则ac>bd; (2)若a>b>0,c>d>0,则a2c>b2d. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列说法正确的是 ( ) A.某人月收入x 不高于2000元可表示为 “x<2000” B.若小明的身高为x,小华的身高为y,则小 明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 2.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤ 4x-y≤5,则z=9x-y的取值范围是 ( ) A.{z|-7≤z≤26} B.{z|-1≤z≤20} C.{z|4≤z≤15} D.{z|1≤z≤15} 3.设a>b>1,y1= b+1 a+1 ,y2= b a ,y3= b-1 a-1 ,则 y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1 4.(多选)16世纪中叶,英国数学家雷科德在 《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用, 后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和 “>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的 引入对不等式的发展影响深远.若a,b,c∈ R,则下列命题正确的是 ( ) A.若b>a>0,则1a> 1 b B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,c>d,则a+c>b+d D.若ac2>bc2,则a>b 5.若α,β满足- 1 2<α<β< 1 2 ,则α-β的取值 范围是 . 6.若P= a+7+ a,Q= a+3+ a+4(a≥ 0).则P,Q 的大小关系 (用“<” “≤”或“=”连接两者的大小关系). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 初升高衔接教材 数学 7.(1)设a>b>0,比较a 2-b2 a2+b2 与a-b a+b 的大小. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:ea-c > eb-d. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第11讲 基本不等式 高中课 程标准 1.理解基本不等式以 ab≤a+b2 (a>0,b>0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 1.基本不等式 (1)有关概念:当a,b均为正数时,把a+b2 叫 做正数a,b的算术平均数,把 ab叫做正数 a,b的几何平均数. (2)不等式:基本不等式:∀a>0,b>0,a+b ≥2 ab(当且仅当a=b时,取“=”). 2.最值定理 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时, 积xy取得最大值S 2 4. (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和 x+y取得最小值2 p. 上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定 积最大. 注意:运用基本不等式求最值的三个条件: (1)“一正”:x,y必须是正数; (2)“二定”:求积xy 的最大值时,应看和 x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应 看积xy是否为定值. (3)“三相等”:当且仅当x=y时,等号成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 对基本不等式的理解 下列不等式中正确的是 ( ) A.a+4a≥4 B.x 2+3 x2 ≥2 3 C.ab≥a+b2 D.a 2+b2≥4ab 跟踪训练 1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0; ③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ab+ b a≥2 成立的条件有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42