第9讲 全称量词与存在量词-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第8讲 充分条件与必要条件 4.(多选)下列命题中是真命题的为 ( ) A.“ a>1, b>1 ”是“a+b>2”的充要条件 B.“x2=1”是“x=-1”的必要不充分条件 C.“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件 D.“集合A=⌀”是“A∩B=A”的充分不必 要条件 5.已知p:x>2,q:x>1,则p是q的 (“充分条件”“必要条件”“充要条 件”“既不充分也不必要条件”中选择一个 填空). 6.若一个非空数集F满足:对任意a,b∈F,有 a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,有ab∈F , 则称F为一个数域,以下命题中: (1)0是任何数域的元素; (2)若数域F有非零元素,则2024∈F; (3)集合P={x|x=3k,k∈Z)为数域; (4)有理数集为数域. 真命题的个数为 . 7.设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2 +(m+1)x+m=0}. (1)用列举法表示集合A; (2)若x∈B 是x∈A 的充分条件,求实数m 的值. 8.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x< m-1,或x≥m+1}. (1)当m=0时,求A∩B; (2)若x∈A 是x∈B 的充分不必要条件,求 实数m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第9讲 全称量词与存在量词 高中课 程标准 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1.全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的 命题是全称量词 命题 含有存在量词的命 题是存在量词命题 续表 命题 形式 “对 M 中 任 意 一 个x,p(x)成立”, 可用符号简记为 “∀x∈M,p(x)” “存在 M 中的元素 x,p(x)成立”,可用 符号简记为“∃x∈ M,p(x)” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 初升高衔接教材 数学 2.含量词的命题的否定 p 􀱑p 结论 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M, 􀱑p(x) 全称量词命题的否 定是存在量词命题 存在量词命题 ∃x∈M,p(x) ∀x∈M, 􀱑p(x) 存在量词命题的否 定是全称量词命题 3.常见的命题的否定形式 原语 句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A, 使p(x)真 否定 形式 不 是 不都 是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A, 使p(x)假 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 全称量词命题与存在量词命题真假 性的判断 判断下列语句是全称量词命题,还是 存在量词命题,并判断真假. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有的梯形对角线相等; (3)有一个函数,图象是直线; (4)若一个四边形是菱形,则这个四边形的 对角线互相垂直. 跟踪训练 1.判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条 直线; (3)有些平行四边形是菱形. 二 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定,并判断真假: (1)任意两个等边三角形都相似; (2)∃x∈R,x2-x+1=0. 跟踪训练 2.写出下列全称量词命题的否定: (1)所有能被3整除的整数都是奇数; (2)每 一 个 四 边 形 的 四 个 顶 点 在 同 一 个 圆上; (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 第9讲 全称量词与存在量词 三 由命题的真假求参数的取值范围 已知命题p:∃x∈R,mx2+2≤0,命 题q:∀x∈R,x2-2mx+1>0.若p,q都为 假命题,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m≥1 B.m≤-1 C.m≤-2 D.-1≤m≤1 跟踪训练 3.已知命题“∀x∈{x|-3≤x≤3}, -x2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取 值范围是 ( ) A.a>-4 B.a>21 C.a<21 D.a>-3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列命题为真命题的是 ( ) A.∀x∈R,x2+3<0 B.∀x∈N,x2≥1 C.∃x∈Z,x5<1 D.∃x∈Q,x2=5 2.若命题p:∀x∈R,mx2+1>0为假命题,则 实数m 的取值范围为 ( ) A.m<0 B.m≤0 C.m≥0 D.m>0 3.(多选)下列语句是存在量词命题的是 ( ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.存在x∈R,2x+1是奇数 4.(多选)下列命题中,既是存在量词命题又是 真命题的是 ( ) A.所有的正方形都是矩形 B.有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R,3x+2>0 D.至少有一个整数m,使得m2<1 5.已知命题p:∃x∈R,x2-3x+3≤0,则􀱑p 为 . 6.若命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假 命题,则实数a的取值范围是 . 7.判断下列语句是全称量词命题,还是存在量 词命题. (1)矩形的对角线不相等; (2)若一个四边形是菱形,则这个四边形的 对角线互相垂直; (3)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (4)方程3x-2y=10有整数解. 8.设全集U=R,集合A={x|1≤x<5},非空 集合B={x|2≤x≤1+2a},其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的 取值范围; (2)若命题“∃x∈B,x∈∁RA”是真命题,求 a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 参考答案 [跟踪训练] 3.解:因为∁UA={5},所以集合A 中有元素 3,全集U 中有元素5, 即 |m+1|=3, m2+2m-3=5, 解得m=2或m=-4,通过检验满足 题意,故m 的值为2或-4. 过关精练 巩固提升 1.A U={1,2,3,4,5},B={1,2,4}, 则∁UB={3,5},A={1,3},则A∪(∁UB)={1,3,5}. 2.C A∩(∁UB)={-2},故C正确. 3.C 因为U={1,2,3,4,5}, 集合A={1,a+6,5},∁UA={2,a2-1}, 由补集的定义可知a+6的可能取值为3或4. 当a+6=3,即a=-3时,a2-1=8,不满足题意; 当a+6=4,即a=-2时,a2-1=3,此时A={1,4,5}, ∁UA={2,3},满足题意.综上,a=-2. 4.AB 由题可知,阴影部分的元素是由属于集合B,但不属 于集合A 的元素构成, 所以对应的集合为(∁UA)∩B=(∁U(A∩B))∩B. 5.解析:因为B={x|1<x<2},所以∁RB={x|x≤1,或 x≥2}.又A={x|x<a},A∪∁RB=R, 所以只需a≥2,即实数a的取值范围为{a|a≥2}. 答案:{a|a≥2} 6.解析:由题得集合A={1,2}, 当m=1时,B={1};当m≠1时,B={1,m}. 所以当m=1时,(∁UA)∩B=⌀, 符合题意(∁UA)∩B=⌀; 当m≠1时,(∁UA)∩B=⌀,所以m=2. 综上,m=1或m=2. 答案:1或2 7.解:如图所示. ∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}, U={x|x≤-4},∴∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}, A∩B={x|-2<x≤2},A∪B={x|-3≤x<3}. 故(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}, ∁U(A∪B)={x|x<-3,或3≤x≤4}. 8.解:(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}={x|1<x≤8}. ∵∁UA={x|x<2,或x>8},∴(∁UA)∩B={x|1<x<2}. (2)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在8的左边即可, ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}. 第8讲 充分条件与必要条件 重点题型 例题剖析 [例1] A a>b>0时,一定有|a|>|b|,充分性成立,当 a=-2,b=-1时,满足|a|>|b|,但a>b>0不成立,则 必要性不成立, 则“a>b>0”是“|a|>|b|”的充分不必要条件. [跟踪训练] 1.D 充分性:取x=e,y=2e ,符合“x,y 为 无理数”,但是xy=2,不符合“xy为无理数”,故充分性不 满足; 必要性:当“xy为无理数”时,可以取x=e,y=2,但是不 符合“x,y为无理数”,故必要性不满足. 故“x,y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要 条件. [例2] 证明:充分性:由a+b+c=0,得a×12+b×1+c=0, 即x=1满足方程ax2+bx+c=0, ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 必要性:∵x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根, 将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0. 故x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充 要条件是a+b+c=0(a≠0). [跟踪训练] 2.证明:(充分性) ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac +2bc,∴(a2-2ab+b2)+(c2-2cb+b2)+(a2-2ac+c2) =0,即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b=c,得证. (必要性) ∵a=b=c,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, ∴a2+b2+c2=ab+ac+bc. 过关精练 巩固提升 1.C 由 M⊆N⇒M∩N=M.又 M∩N=M⇒M⊆N,所以 “M⊆N”是“M∩N=M”的充要条件. 2.A 由已知可得p:x<1,q:x<2a+1. 因为p是q的充分不必要条件, 所以2a+1>1,所以a>0. 3.D 由题意可知,x∈A⇔x>-1,x∉B⇔|x|<1, 即-1<x<1, 所以“x∈A 且x∉B”成 立 的 充 要 条 件 是 A∩∁UB= {x|-1<x<1}. 4.BD 对于B选项,x2=1不能得到x=-1,反之x=-1 能够得到x2=1,故正确;对于D选项,由 A∩B=A,得 A⊆B,所以A=⌀能够推出A∩B=A,反之,不一定成 立,故正确. 5.解析:设命题p:x>2对应的集合为A={x|x>2}, 命题q:x>1对应的集合为B={x|x>1}. 因为A⫋B,所以命题p是命题q的充分条件. 答案:充分条件 6.解析:(1)当a=b时,a-b=0属于数域,故(1)正确; (2)若数域F 有非零元素,则bb =1∈F , 从而1+1=2∈F,2+1∈F,…,2023+1=2024∈F,故 (2)正确; (3)由集合P 的表示可知x 是3的倍数,当a=6,b=3 时,a b = 6 3=2∉P ,故(3)错误; (4)若F 是有理数集,则当a,b∈F,则a+b,a-b,ab∈F, 且当b≠0时,ab∈F 都成立,故(4)正确, 故真命题的个数是3. 答案:3 7.解:(1)x2+3x+2=0⇒(x+1)(x+2)=0, 即x=-1或x=-2,A={-1,-2}. (2)若x∈B 是x∈A 的充分条件,则B⊆A. x2+(m+1)x+m=0⇒(x+1)(x+m)=0, 解得x=-1或x=-m, 当m=1时,B={-1},满足B⊆A, 当m=2时,B={-1,-2},同样满足B⊆A, 所以m=1或m=2. 8.解:(1)当m=0时,B={x|x<-1,或x≥1}, 故A∩B={x|-1<x<3}∩{x|x<-1,或x≥1}= {x|1≤x<3}. (2)x∈A 是x∈B 的充分不必要条件, 故A 是B 的真子集. 因为m-1<m+1,故要满足A 是B 的真子集, 则m-1≥3或m+1≤-1,解得m≥4或m≤-2, 故实数m 的取值范围是{m|m≤-2,或m≥4}. 第9讲 全称量词与存在量词 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)凸多边形的外角和等于360°表示所有凸多 边形的外角和等于360°,所以是全称量词命题,由多边形 的外角和定理可知此命题为真命题. (2)有的梯形对角线相等表示一部分的含义,所以是存在 量词命题,如等腰梯形的对角线相等,所以是真命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 初升高衔接教材 数学 (3)有一个函数表示部分含义,所以是存在量词命题,如 一次函数的图象是直线,所以此命题是真命题. (4)表示所有的菱形,所以是全称量词命题,由菱形的性 质可知是真命题. 综上,(1)(4)是全称量词命题;(2)(3)是存在量词命题; (1)(2)(3)(4)是真命题. [跟踪训练] 1.解:(1)由于Δ=22-4×3=-8<0,因此一 元二次方程x2+2x+3=0无实数根,所以存在量词命题 “有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行, 因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直 线,所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于 同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词 命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. [例2] 解:(1)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们 不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个 等边三角形都相似.因此这是一个假命题. (2)该命题的否定:∀x∈R,x2-x+1≠0. 因为对任意x∈R,x2-x+1= x-12 2 +34>0 ,所以 这是一个真命题. [跟踪训练] 2.解:(1)该命题的否定:存在一个能被3整 除的整数不是奇数. (2)该命题的否定:存在一个四边形的四个顶点不在同一 个圆上. (3)该命题的否定:∃x∈Z,x2的个位数字等于3. [例3] A p,q都是假命题.由p:∃x∈R,mx2+2≤0为 假命题, 得∀x∈R,mx2+2>0,∴m≥0. 由q:∀x∈R,x2-2mx+1>0为假, 得∃x∈R,x2-2mx+1≤0, ∴Δ=(-2m)2-4≥0,得m≤-1或m≥1.∴m≥1. [跟踪训练] 3.A 因 为 命 题“∀x∈{x|-3≤x≤3}, -x2+4x+a≤0”为假命题, 所以-x2+4x+a>0在x∈{x|-3≤x≤3}上有解,所以 (-x2+4x+a)max>0, 而一元二次函数y=-x2+4x+a在x=- 42×(-1)=2 时取最大值,即-22+4×2+a>0,解得a>-4. 过关精练 巩固提升 1.C 当x=0时,x5<1,C正确. 2.A 因为命题p:∀x∈R,mx2+1>0为假命题,所以命题 ∃x∈R,mx2+1≤0为真命题,所以m<0. 3.ABD 因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量 词,所以选项A,B,D均为存在量词命题,选项C为全称 量词命题. 4.CD 命题“∃x∈R,3x+2>0”为存在量词命题,取x= 0,则3×0+2>0,该命题为真命题,C满足要求;命题“至 少有一个整数m,使得m2<1”为存在量词命题,取m=0, 则02<1,该命题为真命题,D满足要求. 5.解析:因为命题p:∃x∈R,x2-3x+3≤0, 所以􀱑p为∀x∈R,x2-3x+3>0. 答案:∀x∈R,x2-3x+3>0 6.解析:因为命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题, 所以∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0, 所以Δ=4a2-4(2-a)=4a2+4a-8<0, ∴a2+a-2<0,∴-2<a<1. 答案:{a|-2<a<1} 7.解:(1)命题可以改写为:所有矩形的对角线不相等,故为 全称量词命题. (2)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称 量词命题. (3)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. (4)命题可以改写为:存在一对整数x,y,使3x-2y=10 成立,故为存在量词命题. 8.解:(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则B⊆A. 又集合B 为非空集合, 故有 1+2a≥2, 1+2a<5, 解得12≤a<2, 所以a的取值范围是 a 12≤a<2 . (2)因 为 A={x|1≤x<5},所 以∁RA={x|x<1,或 x≥5}.因为命题“∃x∈B,x∈∁RA”是真命题, 所以B∩∁RA≠⌀,即1+2a≥5,解得a≥2, 所以a的取值范围是{a|a≥2}. 第10讲 等式的性质与不等式的性质 重点题型 例题剖析 [例1] D 因请木工每人需付工资800元,木工x人,则需 付木工工资800x元. 因请瓦工每人需付工资700元,瓦工y人,则需付瓦工工 资700y元, 于是得完成这项装修工程,共需付工资(800x+700y)元, 而工人工资预算为20000元, 因此有800x+700y≤20000,即8x+7y≤200, 所以x,y满足的关系式是8x+7y≤200. [跟踪训练] 1.解析:由题意知导火索的长度x(单位:厘 米),故导火索燃烧的时间为 x 0.5 秒, 人在此时间内跑的路程为 4× x0.5 米, 由题意可得4× x0.5≥100. 答案:4× x0.5≥100 [例2] 解:因为(a-2)(a-6)-(a-3)(a-5) =(a2-8a+12)-(a2-8a+15)=-3<0, 所以(a-2)(a-6)<(a-3)(a-5). [跟踪训练] 2.解析:因为三个式子很明显都是负数, 所以 y2 x y x =y∈(0,1),所以y 2 x> y x ; 同理 y x 1 x =y∈(0,1),所以yx> 1 x. 综上,1 x< y x< y2 x. 答案:1 x< y x< y2 x [例3] 证明:(1)∵a<b,∴a-b<0. 又c<0,∴(a-b)c>0. (2)∵-1<b<0,∴0<b2<1,∴1>b2>0>b>-1. 又a<0,∴a<ab2<ab. [跟踪训练] 3.解:(1)∵a<b<0,c<d<0, ∴-a>-b>0,-c>-d>0, ∴(-a)·(-c)>(-b)·(-d),即ac>bd. (2)∵a>b>0,∴a2>b2>0.又c>d>0,∴a2c>b2d. 过关精练 巩固提升 1.C x至少是a 可表示为“x≥a”,C中说法正确. 2.B 令m=x-y,n=4x-y,则 x=n-m3 , y=n-4m3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以z=9x-y= 8 3n- 5 3m. 因为-4≤m≤-1,所以53≤- 5 3m≤ 20 3. 因 为-1≤n≤5,所以-83≤ 8 3n≤ 40 3 ,所以-1≤z≤20. 3.C 由a>b>1,有y1-y2= b+1 a+1- b a = ab+a-ab-b (a+1)a = a-b (a+1)a>0 ,即y1>y2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67