第7讲 集合的基本运算(全集与补集)&第8讲 充分条件与必要条件-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 第7讲 集合的基本运算(全集与补集) 高中课 程标准 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 2.能使用Venn图表达集合的补集运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 全集与补集 文字 语言 1.全集:一般地,如果一个集合含有我们所 研究问题中涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集 2.补集:对于一个集合A,由全集U 中不属 于集合A 的所有元素组成的集合称为 集合A 相对于全集U 的补集,简称为集 合A 的补集,记作∁UA 续表 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 全集与补集 已知全集U=R,A={x|x≤0},B= {x|x≥2},则集合∁U(A∪B)等于 ( ) A.{x|x≥0,或x≤2}B.{x|x≤2} C.{x|0<x<2} D.{x|0≤x≤2} 跟踪训练 1.若 全 集 U ={0,1,2,4},且 ∁UA={1,2},则集合A= ( ) A.{1,4}B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2} 二 交、并、补集的混合运算 已知全集U={x|x2-3x+2≥0}, A={x||x-2|>1},B= xx-1x-2≥0 ,求 ∁UA,∁UB,A∩B,A∩(∁UB),(∁UA)∩B. 跟踪训练 2.已知集合 M,N,P 为全集U 的 子集,且满足M⊆P⊆N,则下列结论不正确 的是 ( ) A.∁UN⊆∁UP B.∁NP⊆∁NM C.(∁UP)∩M=⌀ D.(∁UM)∩N=⌀ 三 由补集的运算求参数的范围 已知集合P={x|x<-1,或x>6}, Q={x|1-m≤x≤1+m},全集为R. (1)求集合∁RP; (2)若(∁RP)∪Q=∁RP,求实数m 的取值 范围. 跟踪训练 3.设全集U={2,3,m2+2m-3}, A={|m+1|,2},∁UA={5},求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 61 第7讲 集合的基本运算(全集与补集) 1.已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B= {1,2,4},则A∪(∁UB)= ( ) A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 2.设全集U=Z,集合A={-2,-1,0,1,2}, B={-1,0,1,2,3},则{-2}= ( ) A.A∩B B.A∪B C.A∩(∁UB) D.(∁UA)∩B 3.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a+ 6,5},∁UA={2,a2-1},则a的值为 ( ) A.-3 B.-3和-2 C.-2 D.2 4.(多选)图中的阴影表示的集合是 ( ) A.(∁UA)∩B B.(∁U(A∩B))∩B C.(∁U(A∪B))∩B D.(∁UA)∩(∁UB) 5.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2}, 且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围为 . 6.设U=R,集合A={x|x2-3x+2=0},B= {x|x2-(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B= ⌀,则实数m= . 7.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2< x<3},B={x|-3≤x≤2},求 A∩B, (∁UA)∪B,A∩(∁UB),∁U(A∪B). 8.已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6}, C={x|x>a},U=R. (1)求A∪B,(∁UA)∩B; (2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第8讲 充分条件与必要条件 高中 课程 标准 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 1.充分条件与必要条件 命题 真假 “若p,则q” 是真命题 “若p,则q” 是假命题 推出 关系 p⇒q p⇒/q 续表 条件 关系 p是q的充分条件, q是p 的必要条件 p不是q的充分条件, q不是p 的必要条件 2.充要条件 (1)如果既有p⇒q,又有q⇒p,则p 是q 的 充要条件,记为p⇔q. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 初升高衔接教材 数学 (2)如果p⇒/q且q⇒/p,则p是q的既不充分 也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒/p,则称p是q的充分不 必要条件. (4)如果p⇒/q且q⇒p,则称p是q的必要不 充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}, 与命题q对应的集合为B={x|q(x)}, 若A⊆B,则p是q的充分不必要条件,q是 p 的必要不充分条件. 若A=B,则p是q的充要条件. 若A⊇B,则p是q的必要不充分条件,q是 p 的充分不必要条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 充分条件、必要条件与充要条件的判断 已知a,b都是实数,则“a>b>0”是 “|a|>|b|”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 跟踪训练 1.“x,y 为无理数”是“xy 为无理 数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二 充要条件的证明 求证:x=1是一元二次方程ax2+bx +c=0的一个根的充要条件是a+b+c=0 (a≠0). 跟踪训练 2.已知△ABC 的三条边为a,b,c, 求证:△ABC 是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.已知集合M,N,则“M⊆N”是“M∩N=M” 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设p:4x-3<1,q:x-(2a+1)<0.若p是q 的充分不必要条件,则 ( ) A.a>0 B.a>1 C.a≥0 D.a≥1 3.设集合A={x|x>-1},B={x||x|≥1},则 “x∈A且x∉B”成立的充要条件是 ( ) A.-1<x≤1 B.x≤1 C.x>-1 D.-1<x<1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 第8讲 充分条件与必要条件 4.(多选)下列命题中是真命题的为 ( ) A.“ a>1, b>1 ”是“a+b>2”的充要条件 B.“x2=1”是“x=-1”的必要不充分条件 C.“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件 D.“集合A=⌀”是“A∩B=A”的充分不必 要条件 5.已知p:x>2,q:x>1,则p是q的 (“充分条件”“必要条件”“充要条 件”“既不充分也不必要条件”中选择一个 填空). 6.若一个非空数集F满足:对任意a,b∈F,有 a+b,a-b,ab∈F,且当b≠0时,有ab∈F , 则称F为一个数域,以下命题中: (1)0是任何数域的元素; (2)若数域F有非零元素,则2024∈F; (3)集合P={x|x=3k,k∈Z)为数域; (4)有理数集为数域. 真命题的个数为 . 7.设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2 +(m+1)x+m=0}. (1)用列举法表示集合A; (2)若x∈B 是x∈A 的充分条件,求实数m 的值. 8.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x< m-1,或x≥m+1}. (1)当m=0时,求A∩B; (2)若x∈A 是x∈B 的充分不必要条件,求 实数m 的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第9讲 全称量词与存在量词 高中课 程标准 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 1.全称量词与存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的 命题是全称量词 命题 含有存在量词的命 题是存在量词命题 续表 命题 形式 “对 M 中 任 意 一 个x,p(x)成立”, 可用符号简记为 “∀x∈M,p(x)” “存在 M 中的元素 x,p(x)成立”,可用 符号简记为“∃x∈ M,p(x)” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 初升高衔接教材 数学 (2)因为A⊆C,由(1)得1,-1是集合C中元素, 当2m+1=1,即 m=0时,此 时C={-1,1,0},符 合 题意; 当m2=1时,①若m=1,此时C={-1,3,1),符合题意; ②若m=-1,此时不满足集合元素的互异性,舍去. 综上,m=0或1. 第6讲 集合的基本运算(并集与交集) 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)∵A={1,3,5},B={3,4,5,6,7},C={1,3, 6,8},∴A∩B={3,5};A∩C={1,3}. 又B∪C={1,3,4,5,6,7,8},∴A∩(B∪C)={1,3,5}. (2)∵A={1,3,5},B={3,4,5,6,7},C={1,3,6,8}, ∴A∪B={1,3,4,5,6,7};A∪C={1,3,5,6,8}. 又A∩B={3,5},∴C∪(A∩B)={1,3,5,6,8}. [跟踪训练] 1.C A={1,2,3},B={x∈N|x≤2}={0,1,2}, 则A∩B={1,2}. 2.D 因为A∩B={2,8},A={2,6,8}, 所以6∉B,2∈B,8∈B. 又A∪B={0,2,4,6,8,10},A={2,6,8}, 所以{0,4,10}⊆B,所以B={0,2,4,8,10},即集合B 中 的元素个数为5. [例2] 解:(1)∵A={x|-2<x≤4}, B={x|x<m},且A∩B=⌀,∵m≤-2. 故实数m 的取值范围是{m|m≤-2}. (2)∵A∩B=A,∴A⊆B,∴m>4. 故实数m 的取值范围是{m|m>4}. [跟踪训练] 3.解:(1)因为A∪B =B, 所以A⊆B, 观察数轴可知 2≥a, 4≤3a, , 所以4 3≤a≤2 , 故a的取值范围为 a 43≤a≤2 . (2)A∩B=⌀有 两 类 情 况:B 在A 的左边或B 在 A 的右边,如图. 观察数轴可知,a≥4或3a ≤2.又a>0, 所以0<a≤23 或a≥4, 故a的取值范围为 a 0<a≤23,或a≥4 . 过关精练 巩固提升 1.A 由x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0,解得x=1或 x=3,∴B={1,3},∴A∪B={1,2,3}. 2.C ∵A={x|0<x≤2},B={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 3.A 因为A={x∈Z|-4<x<1}={-3,-2,-1,0}, 又B= -2,-1,0,12 ,所以A∩B={-2,-1,0}, 所以A∩B 的元素个数为3,其非空子集有7个. 4.BCD 由 A∩B=⌀,得a+2≥3,a≥1,则 A错误;由 a>1,得B={x|x>3},从而 A∩B=⌀,则B正确;由 A∪B=R,得a+2<3,a<1,则C正确;由a<1,得A∪B =R,则D正确. 5.解析:由 x-2y=3 , 3x+2y=5, 解得 x=2, y=-12 , 所以 M∩N= 2,-12 . 答案: 2,-12 6.解析:据题意得B⊆A,故有-2≤m+1<2m-1≤7, 转化为不等式组 m+1≥-2, m+1<2m-1, 2m-1≤7, 解得2<m≤4,故m 的取值范围是{m|2<m≤4}. 答案:{m|2<m≤4} 7.解:因为B={x|(x-4)(x-1)=0},所以B={1,4}. 又因为A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R}, 当a=3时,A={3},所以A∪B={1,3,4},A∩B=⌀; 当a=1时,A={1,3}, 所以A∪B={1,3,4},A∩B={1}; 当a=4时,A={4,3}, 所以A∪B={1,3,4},A∩B={4}; 当a≠1且a≠3且a≠4时A={a,3}, 所以A∪B={1,3,4,a},A∩B=⌀. 8.解:(1)当m=-1时,B={x|2m<x<1-m}={x|-2< x<2},且A={x|1<x<3},∴A∪B={x|-2<x<3}. (2)∵A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}, 由A⊆B 知 2m≤1 , 1-m≥3, 解得m≤-2,即实数m 的取值范围为{m|m≤-2}. (3)由A∩B=⌀,得 ①若2m≥1-m,即m≥13 时,B=⌀,符合题意, ②若2m<1-m,即m<13 时,需 m< 1 3 , 1-m≤1 或 m< 1 3 , 2m≥3, 解得0≤m<13 或⌀,即0≤m<13. 综上,实数m 的取值范围是{m|m≥0}. 第7讲 集合的基本运算(全集与补集) 重点题型 例题剖析 [例1] C A∪B={x|x≤0,或x≥2}, 则∁U(A∪B)={x|0<x<2}. [跟踪训练] 1.B 因为全集U={0,1,2,4}, 且∁UA={1,2},所以A={0,4}. [例2] 解:由U={x|x2-3x+2≥0}, 得U={x|x≤1,或x≥2}, 由A={x||x-2|>1},得A={x|x<1,或x>3}, 由B= x x-1x-2≥0 ,得B={x|x≤1,或x>2}, ∴∁UA={x|x-1,或2≤x≤3},∁UB={x|x=2}, A∩B={x|x<1,或x>3},A∩(∁UB)=⌀, (∁UA)∩B={x|x=1,或2<x≤3}. [跟踪训练] 2.D ∵集合 M,N,P 为全集U 的子集,且满 足 M⊆P⊆N, ∴作出Venn图,如图所示. 由Venn图,得(∁UM)∩N≠⌀,故D错误. [例3] 解:(1)∵P={x|x<-1,或x>6}, ∴∁RP={x|-1≤x≤6}. (2)由(∁RP)∪Q=∁RP,得Q∈∁RP, 当Q=⌀时,由Q={x|1-m≤x≤1+m}, 可得1-m>1+m,即m<0; 当Q≠⌀时,由Q={x|1-m≤x≤1+m},且Q⊆∁RP, 可得 1-m≤1+m, 1-m≥-1, 1+m≤6, 解得0≤m≤2, 综上所述,实数m 的取值范围为{m|m≤2}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 参考答案 [跟踪训练] 3.解:因为∁UA={5},所以集合A 中有元素 3,全集U 中有元素5, 即 |m+1|=3, m2+2m-3=5, 解得m=2或m=-4,通过检验满足 题意,故m 的值为2或-4. 过关精练 巩固提升 1.A U={1,2,3,4,5},B={1,2,4}, 则∁UB={3,5},A={1,3},则A∪(∁UB)={1,3,5}. 2.C A∩(∁UB)={-2},故C正确. 3.C 因为U={1,2,3,4,5}, 集合A={1,a+6,5},∁UA={2,a2-1}, 由补集的定义可知a+6的可能取值为3或4. 当a+6=3,即a=-3时,a2-1=8,不满足题意; 当a+6=4,即a=-2时,a2-1=3,此时A={1,4,5}, ∁UA={2,3},满足题意.综上,a=-2. 4.AB 由题可知,阴影部分的元素是由属于集合B,但不属 于集合A 的元素构成, 所以对应的集合为(∁UA)∩B=(∁U(A∩B))∩B. 5.解析:因为B={x|1<x<2},所以∁RB={x|x≤1,或 x≥2}.又A={x|x<a},A∪∁RB=R, 所以只需a≥2,即实数a的取值范围为{a|a≥2}. 答案:{a|a≥2} 6.解析:由题得集合A={1,2}, 当m=1时,B={1};当m≠1时,B={1,m}. 所以当m=1时,(∁UA)∩B=⌀, 符合题意(∁UA)∩B=⌀; 当m≠1时,(∁UA)∩B=⌀,所以m=2. 综上,m=1或m=2. 答案:1或2 7.解:如图所示. ∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}, U={x|x≤-4},∴∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}, A∩B={x|-2<x≤2},A∪B={x|-3≤x<3}. 故(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}, ∁U(A∪B)={x|x<-3,或3≤x≤4}. 8.解:(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}={x|1<x≤8}. ∵∁UA={x|x<2,或x>8},∴(∁UA)∩B={x|1<x<2}. (2)∵A∩C≠⌀,作图易知,只要a在8的左边即可, ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}. 第8讲 充分条件与必要条件 重点题型 例题剖析 [例1] A a>b>0时,一定有|a|>|b|,充分性成立,当 a=-2,b=-1时,满足|a|>|b|,但a>b>0不成立,则 必要性不成立, 则“a>b>0”是“|a|>|b|”的充分不必要条件. [跟踪训练] 1.D 充分性:取x=e,y=2e ,符合“x,y 为 无理数”,但是xy=2,不符合“xy为无理数”,故充分性不 满足; 必要性:当“xy为无理数”时,可以取x=e,y=2,但是不 符合“x,y为无理数”,故必要性不满足. 故“x,y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要 条件. [例2] 证明:充分性:由a+b+c=0,得a×12+b×1+c=0, 即x=1满足方程ax2+bx+c=0, ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根. 必要性:∵x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根, 将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0. 故x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根的充 要条件是a+b+c=0(a≠0). [跟踪训练] 2.证明:(充分性) ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac +2bc,∴(a2-2ab+b2)+(c2-2cb+b2)+(a2-2ac+c2) =0,即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b=c,得证. (必要性) ∵a=b=c,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, ∴a2+b2+c2=ab+ac+bc. 过关精练 巩固提升 1.C 由 M⊆N⇒M∩N=M.又 M∩N=M⇒M⊆N,所以 “M⊆N”是“M∩N=M”的充要条件. 2.A 由已知可得p:x<1,q:x<2a+1. 因为p是q的充分不必要条件, 所以2a+1>1,所以a>0. 3.D 由题意可知,x∈A⇔x>-1,x∉B⇔|x|<1, 即-1<x<1, 所以“x∈A 且x∉B”成 立 的 充 要 条 件 是 A∩∁UB= {x|-1<x<1}. 4.BD 对于B选项,x2=1不能得到x=-1,反之x=-1 能够得到x2=1,故正确;对于D选项,由 A∩B=A,得 A⊆B,所以A=⌀能够推出A∩B=A,反之,不一定成 立,故正确. 5.解析:设命题p:x>2对应的集合为A={x|x>2}, 命题q:x>1对应的集合为B={x|x>1}. 因为A⫋B,所以命题p是命题q的充分条件. 答案:充分条件 6.解析:(1)当a=b时,a-b=0属于数域,故(1)正确; (2)若数域F 有非零元素,则bb =1∈F , 从而1+1=2∈F,2+1∈F,…,2023+1=2024∈F,故 (2)正确; (3)由集合P 的表示可知x 是3的倍数,当a=6,b=3 时,a b = 6 3=2∉P ,故(3)错误; (4)若F 是有理数集,则当a,b∈F,则a+b,a-b,ab∈F, 且当b≠0时,ab∈F 都成立,故(4)正确, 故真命题的个数是3. 答案:3 7.解:(1)x2+3x+2=0⇒(x+1)(x+2)=0, 即x=-1或x=-2,A={-1,-2}. (2)若x∈B 是x∈A 的充分条件,则B⊆A. x2+(m+1)x+m=0⇒(x+1)(x+m)=0, 解得x=-1或x=-m, 当m=1时,B={-1},满足B⊆A, 当m=2时,B={-1,-2},同样满足B⊆A, 所以m=1或m=2. 8.解:(1)当m=0时,B={x|x<-1,或x≥1}, 故A∩B={x|-1<x<3}∩{x|x<-1,或x≥1}= {x|1≤x<3}. (2)x∈A 是x∈B 的充分不必要条件, 故A 是B 的真子集. 因为m-1<m+1,故要满足A 是B 的真子集, 则m-1≥3或m+1≤-1,解得m≥4或m≤-2, 故实数m 的取值范围是{m|m≤-2,或m≥4}. 第9讲 全称量词与存在量词 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)凸多边形的外角和等于360°表示所有凸多 边形的外角和等于360°,所以是全称量词命题,由多边形 的外角和定理可知此命题为真命题. (2)有的梯形对角线相等表示一部分的含义,所以是存在 量词命题,如等腰梯形的对角线相等,所以是真命题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57