第5讲 集合间的基本关系-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

参考答案 若x2-4x=5,则x=-1或x=5, 当x=-1时,A={-3,1,5},符合题意; 当x=5时,A={-3,7,5},符合题意. 综上所述,x=-1或x=5. [例3] 解:(1)设方程x2-3=0的实数根为x,并且满足 条件x2-3=0, 因此,用描述法表示为A={x|x2-3=0,x∈R}; 方程x2-3=0有两个实数根:3,- 3, 因此,用列举法表示为A={3,- 3}. (2)设大于15且小于25的整数为x,它满足条件x∈Z, 且15<x<25, 因此,用描述法表示为B={x|15<x<25,x∈Z}; 大于15且小于25的整数有16,17,18,19,20,21,22,23, 24,因此,用列举法表示为B={16,17,18,19,20,21,22, 23,24}. [跟踪训练] 3.解:(1)因为集合中的元素都是偶数, 所以{2,4,6,8,10}={x|x=2k,k∈Z,且1≤k≤5}. (2){x∈N|3<x<7}={4,5,6}. 过关精练 巩固提升 1.B 地球上的小河流不满足集合元素的确定性,即没有标 准说多小的河流算小河流,故B错误. 2.D 集合 3,52,73,94,… 中的第n项的分母为n,分子 为2n+1, ∴集合 3,52,73,94,… 用 描 述 法 可 表 示 为 x x= 2n+1 n ,n∈N* . 3.C 由A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈A}, 当x=3时,y=1,2,满足集合B; 当x=2时,y=1,3,满足集合B; 当x=1时,y=2,3,满足集合B; 共有6个元素. 4.BC 依题意5∈A, 当a2+1=5时,a=2或a=-2, 若a=-2,则A={2,5,12},B={0,4},符合题意; 若a=2,则a2-2=0,对于集合B,不满足集合元素的互 异性,所以a=2不符合题意. 当a2-4a=5时,a=-1或a=5, 若a=-1,则a2+1=2,对于集合A,不满足集合元素的 互异性,所以a=-1不符合题意. 若a=5,则A={2,26,5},B={0,18},符合题意. 综上所述,a的值为-2或5. 5.解析:④集合{(x,y)|y=x}表示直线y=x 上的所有点, 即集合{(x,y)|y=x}表示一条过原点的直线,即④正确. 答案:④ 6.解析:由{1,a+b,a}= 0,ba ,b 易知a≠0,a≠1. 由两个集合相等的定义可知, 若 b=1, a+b=0, .得a=-1,经验证,符合题意; 若 b a =1 , a+b=0, 由于a≠0,则方程组无解. 综上可知,a=-1,b=1,故a2024+b2024=(-1)2024+ 12024=2. 答案:2 7.解:(1)不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13, 17,用列举法表示:A={2,3,5,7,11,13,17}. (2)所有正奇数有无数个,用描述法表示:B={x|x= 2k+1,k∈N}. (3)绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2, 3,用列举法表示:C={-3,-2,-1,0,1,2,3}. (4)直角坐标平面上,抛物线y=x2 上的点,用描述法表 示:D={(x,y)|y=x2}. 8.解:(1)若方程的解集为{1},则 ①若a=0,则1+b=0,解得a=0,b=-1; ②若a≠0,则a+1+b=0且1-4ab=0. 解得a=b=-12. 综上所述,a=0,b=-1或a=b=-12. (2)依题意得:1+3=-1a ,1×3=ba , 解得a=-14 ,b=-34. 第5讲 集合间的基本关系 重点题型 例题剖析 [例1] A A={x|y= 4-x,x∈N}={0,1,2,3,4},B= {4,3,2,1},故A=B 错误;集合B 中元素都是集合A 的 元素,故B⊆A 正确;A,B 是两个集合,不能用“∈”表示 它们之间的关系,故B∈A 错误;集合A 中元素存在不属 于集合B 的元素,故A⊆B 错误. [跟踪训练] 1.D 1∈{0,1},故D正确. 2.D 集合A={x|2<x<6,x∈N}={3,4,5}, 则集合A 的 子 集 有:⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5}, {4,5},{3,4,5},共8个,所以集合A 的子集的个数为8. 3.B B:M={x|x+1>0},N={y|y+1>0},两集合都 是数集,且范围一致,故是同一个集合. [例2] 解:(1)∵M⊆N,∴ a+1≤2 , 2a-1≥5, ∴a∈⌀. (2)①若N=⌀,即a+1>2a-1,解得a<2时,满足M⊇N. ②若N≠⌀,即a≥2时,要使 M⊇N 成立, 则 a+1≥2, 2a-1≤5, 解得1≤a≤3,此时2≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是{a|a≤3}. [跟踪训练] 4.A A={x|x2-1}={-1,1},B= x x= 1 a = 1a .若B⊆A,则1a=1或-1,故a=1或-1. 5.D 由A⊆B 知:A=B,即 a=-1 , -b=1, 得 a=-1,b=-1, ∴a-b=0. 过关精练 巩固提升 1.C C.A⊆{0,1,2},满足要求. 2.B 因集合{(x,y)|x+y=2}的元素为有序数对,而{x|x +y=2}的元素为实数,两个集合的对象不同,B不正确. 3.ABC 当m=0时,B={3,0},有B⊆A,故选项A正确; 当m=1时,B={3,1},有B⊆A,故选项B正确;当m= -1时,B={3,1},有B⊆A,故选项C正确;m= 3时, m2=3,集合B 不满足集合元素的互异性,故选项 D不 正确. 4.解析:集合A={x|ax+1=0}为空集,则a=0. 答案:0 5.解析:因为{1}⊆A⫋{1,2,3}, 所以集合A 中至少有一个元素1,且为集合{1,2,3}的真 子集,所以集合A 是{1}或{1,2}或{1,3}. 答案:{1}或{1,2}或{1,3} 6.解:(1)若a=2,则A={1,2},∴y=1; 若a-1=2,则a=3,A={2,3},∴y=3. 综上,y的值为1或3. (2)∵C={x|1<x-1<4}={x|2<x<5}, 集合A={a,a-1},A⊆C,∴ 2<a<5 , 2<a-1<5, 解得3<a<5.∴a的取值范围是{a|3<a<5}. 7.解:(1)由x2-1=0,解得x=±1,所以A={1,-1}. 因为A⊆B,所以1,-1是集合B 中元素, 所以将x=±1代入x2-ax+b=0,得 1-a+b=0 , 1+a+b=0, 解得a=0,b=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 初升高衔接教材 数学 (2)因为A⊆C,由(1)得1,-1是集合C中元素, 当2m+1=1,即 m=0时,此 时C={-1,1,0},符 合 题意; 当m2=1时,①若m=1,此时C={-1,3,1),符合题意; ②若m=-1,此时不满足集合元素的互异性,舍去. 综上,m=0或1. 第6讲 集合的基本运算(并集与交集) 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)∵A={1,3,5},B={3,4,5,6,7},C={1,3, 6,8},∴A∩B={3,5};A∩C={1,3}. 又B∪C={1,3,4,5,6,7,8},∴A∩(B∪C)={1,3,5}. (2)∵A={1,3,5},B={3,4,5,6,7},C={1,3,6,8}, ∴A∪B={1,3,4,5,6,7};A∪C={1,3,5,6,8}. 又A∩B={3,5},∴C∪(A∩B)={1,3,5,6,8}. [跟踪训练] 1.C A={1,2,3},B={x∈N|x≤2}={0,1,2}, 则A∩B={1,2}. 2.D 因为A∩B={2,8},A={2,6,8}, 所以6∉B,2∈B,8∈B. 又A∪B={0,2,4,6,8,10},A={2,6,8}, 所以{0,4,10}⊆B,所以B={0,2,4,8,10},即集合B 中 的元素个数为5. [例2] 解:(1)∵A={x|-2<x≤4}, B={x|x<m},且A∩B=⌀,∵m≤-2. 故实数m 的取值范围是{m|m≤-2}. (2)∵A∩B=A,∴A⊆B,∴m>4. 故实数m 的取值范围是{m|m>4}. [跟踪训练] 3.解:(1)因为A∪B =B, 所以A⊆B, 观察数轴可知 2≥a, 4≤3a, , 所以4 3≤a≤2 , 故a的取值范围为 a 43≤a≤2 . (2)A∩B=⌀有 两 类 情 况:B 在A 的左边或B 在 A 的右边,如图. 观察数轴可知,a≥4或3a ≤2.又a>0, 所以0<a≤23 或a≥4, 故a的取值范围为 a 0<a≤23,或a≥4 . 过关精练 巩固提升 1.A 由x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0,解得x=1或 x=3,∴B={1,3},∴A∪B={1,2,3}. 2.C ∵A={x|0<x≤2},B={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 3.A 因为A={x∈Z|-4<x<1}={-3,-2,-1,0}, 又B= -2,-1,0,12 ,所以A∩B={-2,-1,0}, 所以A∩B 的元素个数为3,其非空子集有7个. 4.BCD 由 A∩B=⌀,得a+2≥3,a≥1,则 A错误;由 a>1,得B={x|x>3},从而 A∩B=⌀,则B正确;由 A∪B=R,得a+2<3,a<1,则C正确;由a<1,得A∪B =R,则D正确. 5.解析:由 x-2y=3 , 3x+2y=5, 解得 x=2, y=-12 , 所以 M∩N= 2,-12 . 答案: 2,-12 6.解析:据题意得B⊆A,故有-2≤m+1<2m-1≤7, 转化为不等式组 m+1≥-2, m+1<2m-1, 2m-1≤7, 解得2<m≤4,故m 的取值范围是{m|2<m≤4}. 答案:{m|2<m≤4} 7.解:因为B={x|(x-4)(x-1)=0},所以B={1,4}. 又因为A={x|(x-3)(x-a)=0,a∈R}, 当a=3时,A={3},所以A∪B={1,3,4},A∩B=⌀; 当a=1时,A={1,3}, 所以A∪B={1,3,4},A∩B={1}; 当a=4时,A={4,3}, 所以A∪B={1,3,4},A∩B={4}; 当a≠1且a≠3且a≠4时A={a,3}, 所以A∪B={1,3,4,a},A∩B=⌀. 8.解:(1)当m=-1时,B={x|2m<x<1-m}={x|-2< x<2},且A={x|1<x<3},∴A∪B={x|-2<x<3}. (2)∵A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}, 由A⊆B 知 2m≤1 , 1-m≥3, 解得m≤-2,即实数m 的取值范围为{m|m≤-2}. (3)由A∩B=⌀,得 ①若2m≥1-m,即m≥13 时,B=⌀,符合题意, ②若2m<1-m,即m<13 时,需 m< 1 3 , 1-m≤1 或 m< 1 3 , 2m≥3, 解得0≤m<13 或⌀,即0≤m<13. 综上,实数m 的取值范围是{m|m≥0}. 第7讲 集合的基本运算(全集与补集) 重点题型 例题剖析 [例1] C A∪B={x|x≤0,或x≥2}, 则∁U(A∪B)={x|0<x<2}. [跟踪训练] 1.B 因为全集U={0,1,2,4}, 且∁UA={1,2},所以A={0,4}. [例2] 解:由U={x|x2-3x+2≥0}, 得U={x|x≤1,或x≥2}, 由A={x||x-2|>1},得A={x|x<1,或x>3}, 由B= x x-1x-2≥0 ,得B={x|x≤1,或x>2}, ∴∁UA={x|x-1,或2≤x≤3},∁UB={x|x=2}, A∩B={x|x<1,或x>3},A∩(∁UB)=⌀, (∁UA)∩B={x|x=1,或2<x≤3}. [跟踪训练] 2.D ∵集合 M,N,P 为全集U 的子集,且满 足 M⊆P⊆N, ∴作出Venn图,如图所示. 由Venn图,得(∁UM)∩N≠⌀,故D错误. [例3] 解:(1)∵P={x|x<-1,或x>6}, ∴∁RP={x|-1≤x≤6}. (2)由(∁RP)∪Q=∁RP,得Q∈∁RP, 当Q=⌀时,由Q={x|1-m≤x≤1+m}, 可得1-m>1+m,即m<0; 当Q≠⌀时,由Q={x|1-m≤x≤1+m},且Q⊆∁RP, 可得 1-m≤1+m, 1-m≥-1, 1+m≤6, 解得0≤m≤2, 综上所述,实数m 的取值范围为{m|m≤2}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 初升高衔接教材 数学 (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集 合C; (4)直角坐标平面上,抛物线y=x2 上的点 组成的集合D. 8.已知方程ax2+x+b=0. (1)若方程的解集为{1},求实数a,b的值; (2)若 方 程 的 解 集 为{1,3},求 实 数a,b 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第5讲 集合间的基本关系 高中课 程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中,了解空集的含义. 3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 1.Venn图 (1)定义:在数学中,我们经常用平面上封闭 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图, 这种表示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围:元素个数较少的集合. (3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部. 2.子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集 合A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是 集合B 中的元素,就 称集合 A 为集合B 的子集 A⊆B (或B⊇A) 或 3.集合相等的概念 一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集 合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都 是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相 等,记作A=B,也就是说,若A⊆B,且B⊆ A,则A=B. 4.真子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 如果 集 合 A⊆B, 但存在元素x∈B, 且x∉A,就称集合 A 是B 的真子集 A⫋B (或B⫌A) 5.空集 (1)定义:不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为:⌀. (3)规定:空集是任何集合的子集. 6.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集.即A⊆A. (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C, 那么A⊆C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 第5讲 集合间的基本关系 一 集合的包含关系判断及应用 已知集合A={x|y= 4-x,x∈N}, B={4,3,2,1},则集合A,B 的关系是 ( ) A.B⊆A B.A=B C.B∈A D.A⊆B 跟踪训练 1.下列四个选项中正确的是 ( ) A.{1}∈{0,1} B.1⊆{0,1} C.⌀∈{0,1} D.1∈{0,1} 2.已知集合A={x|2<x<6,x∈N},则集 合A 的子集的个数为 ( ) A.3 B.4 C.7 D.8 3.下列集合中表示同一个集合的是 ( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={x|x+1>0},N={y|y+1>0} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+ y=1} D.M={1,2},N={(1,2)} 二 由集合间的关系确定参数的值或范围 已知 M={x|2≤x≤5},N={x|a+ 1≤x≤2a-1}. (1)若M⊆N,求实数a的取值范围; (2)若M⊇N,求实数a的取值范围. 跟踪训练 4.已知A={x|x2=1},B= xx =1a .若B⊆A,则a的值为 ( ) A.1或-1 B.0或1或-1 C.-1 D.1 5.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,-b}.若 A⊆B,则a-b= ( ) A.-1 B.-2 C.2 D.0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.集合A={1,2}.若A⊆B,则集合B 可以是 ( ) A.{1} B.{2} C.{0,1,2} D.⌀ 2.下面说法中不正确的为 ( ) A.{x|x+y=1}={y|x+y=1} B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C.{x|x>2}={y|y>2} D.{1,2}={2,1} 3.(多选)已知集合A={1,3,0},B={3,m2). 若B⊆A,则实数m 的值为 ( ) A.0 B.1 C.-1 D.3 4.已知集合A={x|ax+1=0}为空集,则a= . 5.满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的所有集合 A 是 . 6.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x| 1<x-1<4}. (1)若A=B,求y的值; (2)若A⊆C,求a的取值范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 初升高衔接教材 数学 7.设集合A={x|x2-1=0},B={x|x2-ax +b=0},且B≠⌀. (1)若A⊆B,求实数a,b的值; (2)若A⊆C,且C={-1,2m+1,m2},求实 数m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第6讲 集合的基本运算(并集与交集) 高中课 程标准 1.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集. 2.能使用Venn图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 1.并集和交集的定义 定义 并集 交集 自然 语言 一般地,由所有属 于集合A 或集合B 的 元 素 组 成 的 集 合,称为集合A 与 B 的并集,记作 A ∪B 一般地,由属于集 合 A 且 属 于 集 合 B 的所有元素组成 的集合,称为集合 A 与B 的交集,记 作A∩B 符号 语言 A∪B={x|x∈A, 或x∈B} A∩B={x|x∈A, 且x∈B} 续表 图形 语言 2.并集和交集的性质 并集 交集 简单 性质 A∪A=A; A∪⌀=A A∩A=A; A∩⌀=⌀ 常用 结论 A∪B=B∪A; A⊆(A∪B); B⊆(A∪B); A∪B=B⇔A⊆B A∩B=B∩A; (A∩B)⊆A; (A∩B)⊆B; A∩B=B⇔B⊆A 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 并集与交集的运算 设 A={1,3,5},B={3,4,5,6,7}, C={1,3,6,8},求: (1)A∩B,A∩C,A∩(B∪C); (2)A∪B,A∪C,C∪(A∩B). 跟踪训练 1.已知集合A={1,2,3},B={x∈ N|x≤2},则A∩B= ( ) A.{2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{1,2,3} 2.集合A,B 满足A∪B={0,2,4,6,8,10}, A∩B={2,8},A={2,6,8},则集合B 中的 元素个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41