第4讲 集合的概念-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 5.解析:∵a+b=2,a-b=-1, ∴原式=(a+b)(a-b)=2×(-1)=-2. 答案:-2 6.解析:由题意得:-p=1-2,q=1×(-2), ∴p=1,q=-2,∴p2-4q=1-4×(-2)=1+8=9. 答案:9 7.解:(1)ax5-10ax4+16ax3=ax3(x2-10x+16) =ax3(x-2)(x-8). (2)(x2-2x)2-9 =(x2-2x-3)(x2-2x+3) =(x-3)(x+1)(x2-2x+3). (3)164x 3-27= 14x 3 -33 = 14x-3 116x2+34x+9 . (4)x3n-y3n=(xn)3-(yn)3 =(xn-yn)(x2n+xnyn+y2n). (5)x6-y6=(x3)2-(y3)2 =(x3+y3)(x3-y3) =(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2). (6)x3+x2-2=(x3-1)+(x2-1) =(x-1)(x2+x+1)+(x+1)(x-1) =(x-1)(x2+2x+2). (7)x5+x+1=x5-x2+x2+x+1 =x2(x3-1)+(x2+x+1) =x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x2(x-1)+1] =(x2+x+1)(x3-x2+1). 第3讲 一元二次方程 重点题型 例题剖析 [例] 解:(1)依题意得: k≠0, Δ=(2k+4)2-4k(k-6)=40k+16>0, 解得k>-25 且k≠0. (2)当k=1时,原方程变为x2-6x-5=0, 则有x2-6x+9=5+9, ∵(x-3)2=14,∴x-3=± 14, ∴方程的根为x1=3+ 14,x2=3- 14. [跟踪训练] (1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×(m2+m) =1>0, ∴无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)解:∵x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数根为a, b,∴a+b=2m+1,ab=m2+m. ∵(2a+b)(a+2b)=20, ∴2a3+4ab+2b2+ab=20,2(a+b)2+ab=20, ∵2(2m+1)2+m2+m=20, 即m2+m-2=0. 解得m=1或m=-2,∴m 的值为1或-2. 过关精练 巩固提升 1.A 方程x2-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7, ∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根, ∴x1+x2=- b a =6 ,x1·x2= c a =-7. 2.C ∵Δ=(2a)2-4(a2-1)=4a2-4a2+4=4>0, ∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不 相等的实数根,故C正确. 3.D 根据题意得k≠0,且Δ=(-2)2-4k×(-1)>0,解 得k>-1,且k≠0. 4.B 在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a. ∵a-b=3,∴a=3+b,代入a+b+1<0和b2-4a, 得b<-2,b2-4(3+b)=b2-4b-12=(b+2)(b-6). ∵b+2<0,b-6<0,∴(b+2)(b-6)>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 5.D 由题意得:y'=13×3x 2+2(m-2)x+m2, 即y'=x2+2(m-2)x+m2. ∵方程x2+2(m-2)x+m2=0有两个相等的实数根, ∴此方程根的判别式Δ=[2(m-2)]2-4m2=0, 解得m=1. 6.解析:由题意可得:α+β=2,αβ=-1, ∴2α+2β=4,∴2α=4-2β. ∵α,β是方程x2-2x-1=0的两个根,∴α2-2α-1=0, ∴α2-(4-2β)-1=0,∴α2+2β=5. 答案:5 7.解析:∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实数根, ∴此方程根的判别式Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0, 解得k>34. 由题意得:x1x2=k2+1=5,解得k=-2或k=2. 又∵k>34 ,∴k的值为2. 答案:2 8.解:(1)∵关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实 数根, ∴Δ≥0,即4(k-1)2-4×1×k2≥0,解得k≤12 , ∴k的取值范围为k≤12. (2)当k=-1时,原方程为x2+4x+1=0, ∴x1+x2=-4,x1x2=1, ∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-4)2-2=14. 9.(1)证明:Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4 k-12 =4k2- 12k+9=(2k-3)2. ∵无论k取什么实数值,(2k-3)2≥0,∴Δ≥0, ∴无论k取什么实数值,方程总有两实数根. (2)解:∵x=2k+1± (2k-3) 2 ,∴x1=2k-1,x2=2. ∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k-1,c=2, 当a,b为腰时,a=b=4,即2k-1=4,解得k=52 ,此时三 角形的周长=4+4+2=10; 当b,c为 腰 时,b=c=2,此 时b+c=a,故 此 种 情 况 不 存在. 综上所述,△ABC的周长为10. 第4讲 集合的概念 重点题型 例题剖析 [例1] B A中,我校所有体质好的同学不具有确定性,不 能组成集合;B中,我校所有800米达标的女生具有确定 性,能组成集合;C中,全国所有优秀的运动员不具有确 定性,不能组成集合;D中,全国所有环境优美的城市不 具有确定性,不能组成集合. [跟踪训练] 1.B 对于①:不满足确定性,对于④:不满足 互异性,对于②③:符合集合的三要素原则. [例2] D 由题意得关于x 的方程ax2-2x-1=0只有 一个实数解. 当a=0时,A={x|-2x-1=0}= -12 ,符合题意; 当a≠0时,Δ=4+4a=0,解得a=-1. 综上所述,a=0或-1. [跟踪训练] 2.BC ∵5∈A,则有: 若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不符合 题意,故舍去; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 参考答案 若x2-4x=5,则x=-1或x=5, 当x=-1时,A={-3,1,5},符合题意; 当x=5时,A={-3,7,5},符合题意. 综上所述,x=-1或x=5. [例3] 解:(1)设方程x2-3=0的实数根为x,并且满足 条件x2-3=0, 因此,用描述法表示为A={x|x2-3=0,x∈R}; 方程x2-3=0有两个实数根:3,- 3, 因此,用列举法表示为A={3,- 3}. (2)设大于15且小于25的整数为x,它满足条件x∈Z, 且15<x<25, 因此,用描述法表示为B={x|15<x<25,x∈Z}; 大于15且小于25的整数有16,17,18,19,20,21,22,23, 24,因此,用列举法表示为B={16,17,18,19,20,21,22, 23,24}. [跟踪训练] 3.解:(1)因为集合中的元素都是偶数, 所以{2,4,6,8,10}={x|x=2k,k∈Z,且1≤k≤5}. (2){x∈N|3<x<7}={4,5,6}. 过关精练 巩固提升 1.B 地球上的小河流不满足集合元素的确定性,即没有标 准说多小的河流算小河流,故B错误. 2.D 集合 3,52,73,94,… 中的第n项的分母为n,分子 为2n+1, ∴集合 3,52,73,94,… 用 描 述 法 可 表 示 为 x x= 2n+1 n ,n∈N* . 3.C 由A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x-y|∈A}, 当x=3时,y=1,2,满足集合B; 当x=2时,y=1,3,满足集合B; 当x=1时,y=2,3,满足集合B; 共有6个元素. 4.BC 依题意5∈A, 当a2+1=5时,a=2或a=-2, 若a=-2,则A={2,5,12},B={0,4},符合题意; 若a=2,则a2-2=0,对于集合B,不满足集合元素的互 异性,所以a=2不符合题意. 当a2-4a=5时,a=-1或a=5, 若a=-1,则a2+1=2,对于集合A,不满足集合元素的 互异性,所以a=-1不符合题意. 若a=5,则A={2,26,5},B={0,18},符合题意. 综上所述,a的值为-2或5. 5.解析:④集合{(x,y)|y=x}表示直线y=x 上的所有点, 即集合{(x,y)|y=x}表示一条过原点的直线,即④正确. 答案:④ 6.解析:由{1,a+b,a}= 0,ba ,b 易知a≠0,a≠1. 由两个集合相等的定义可知, 若 b=1, a+b=0, .得a=-1,经验证,符合题意; 若 b a =1 , a+b=0, 由于a≠0,则方程组无解. 综上可知,a=-1,b=1,故a2024+b2024=(-1)2024+ 12024=2. 答案:2 7.解:(1)不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13, 17,用列举法表示:A={2,3,5,7,11,13,17}. (2)所有正奇数有无数个,用描述法表示:B={x|x= 2k+1,k∈N}. (3)绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2, 3,用列举法表示:C={-3,-2,-1,0,1,2,3}. (4)直角坐标平面上,抛物线y=x2 上的点,用描述法表 示:D={(x,y)|y=x2}. 8.解:(1)若方程的解集为{1},则 ①若a=0,则1+b=0,解得a=0,b=-1; ②若a≠0,则a+1+b=0且1-4ab=0. 解得a=b=-12. 综上所述,a=0,b=-1或a=b=-12. (2)依题意得:1+3=-1a ,1×3=ba , 解得a=-14 ,b=-34. 第5讲 集合间的基本关系 重点题型 例题剖析 [例1] A A={x|y= 4-x,x∈N}={0,1,2,3,4},B= {4,3,2,1},故A=B 错误;集合B 中元素都是集合A 的 元素,故B⊆A 正确;A,B 是两个集合,不能用“∈”表示 它们之间的关系,故B∈A 错误;集合A 中元素存在不属 于集合B 的元素,故A⊆B 错误. [跟踪训练] 1.D 1∈{0,1},故D正确. 2.D 集合A={x|2<x<6,x∈N}={3,4,5}, 则集合A 的 子 集 有:⌀,{3},{4},{5},{3,4},{3,5}, {4,5},{3,4,5},共8个,所以集合A 的子集的个数为8. 3.B B:M={x|x+1>0},N={y|y+1>0},两集合都 是数集,且范围一致,故是同一个集合. [例2] 解:(1)∵M⊆N,∴ a+1≤2 , 2a-1≥5, ∴a∈⌀. (2)①若N=⌀,即a+1>2a-1,解得a<2时,满足M⊇N. ②若N≠⌀,即a≥2时,要使 M⊇N 成立, 则 a+1≥2, 2a-1≤5, 解得1≤a≤3,此时2≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是{a|a≤3}. [跟踪训练] 4.A A={x|x2-1}={-1,1},B= x x= 1 a = 1a .若B⊆A,则1a=1或-1,故a=1或-1. 5.D 由A⊆B 知:A=B,即 a=-1 , -b=1, 得 a=-1,b=-1, ∴a-b=0. 过关精练 巩固提升 1.C C.A⊆{0,1,2},满足要求. 2.B 因集合{(x,y)|x+y=2}的元素为有序数对,而{x|x +y=2}的元素为实数,两个集合的对象不同,B不正确. 3.ABC 当m=0时,B={3,0},有B⊆A,故选项A正确; 当m=1时,B={3,1},有B⊆A,故选项B正确;当m= -1时,B={3,1},有B⊆A,故选项C正确;m= 3时, m2=3,集合B 不满足集合元素的互异性,故选项 D不 正确. 4.解析:集合A={x|ax+1=0}为空集,则a=0. 答案:0 5.解析:因为{1}⊆A⫋{1,2,3}, 所以集合A 中至少有一个元素1,且为集合{1,2,3}的真 子集,所以集合A 是{1}或{1,2}或{1,3}. 答案:{1}或{1,2}或{1,3} 6.解:(1)若a=2,则A={1,2},∴y=1; 若a-1=2,则a=3,A={2,3},∴y=3. 综上,y的值为1或3. (2)∵C={x|1<x-1<4}={x|2<x<5}, 集合A={a,a-1},A⊆C,∴ 2<a<5 , 2<a-1<5, 解得3<a<5.∴a的取值范围是{a|3<a<5}. 7.解:(1)由x2-1=0,解得x=±1,所以A={1,-1}. 因为A⊆B,所以1,-1是集合B 中元素, 所以将x=±1代入x2-ax+b=0,得 1-a+b=0 , 1+a+b=0, 解得a=0,b=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 初升高衔接教材 数学 8.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0 有两个实数根. (1)求k的取值范围; (2)当k=-1时,原方程有两个实数根x1, x2,求x21+x22的值. 9.已知关于x的一元二次方程:x2-(2k+1)x +4 k-12 =0. (1)求证:这个方程总有两个实数根; (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长 b,c 恰 好 是 这 个 方 程 的 两 个 实 数 根,求 △ABC的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第4讲 集合的概念 高中课 程标准 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元 素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合 (简称为集).集合通常用大写拉丁字母A, B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合是相等的. (4)元素的特性:确定性、无序性、互异性. 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A 中的元素 a∈A a属于集合A 续表 不属于 a不是集合 A 中的元素 a∉A a不属于集合A 3.常用的数集及其记法 常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 4.集合的分类 集合 有限集(含有有限个元素的集合) 无限集(含有无限个元素的集合) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 集合的概念 下列叙述能够组成集合的是 ( ) A.我校所有体质好的同学 B.我校所有800米达标的女生 C.全国所有优秀的运动员 D.全国所有环境优美的城市 跟踪训练 1.下列对象能构成集合的是 ( ) ①所有很高的山峰;②方程x2+3x-4=0 的实 数 根;③ 所 有 小 于 10 的 自 然 数; ④cos60°,sin45°,cos45°. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 第4讲 集合的概念 二 元素与集合的关系 如果集合A={x|ax2-2x-1=0}只 有一个元素,则a的值是 ( ) A.0 B.0或1 C.-1 D.0或-1 跟踪训练 2.(多选)设集合A={-3,x+2, x2-4x},且5∈A,则x的值可以为 ( ) A.3 B.-1 C.5 D.-3 三 集合的两种表示法 分 别 用 列 举 法 和 描 述 法 表 示 下 列 集合: (1)方程x2-3=0的所有实数根组成的 集合; (2)由大于15且小于25的所有整数组成的 集合. 跟踪训练 3.把下列集合用另一种方法表示 出来: (1){2,4,6,8,10}; (2){x∈N|3<x<7}. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列元素的全体不能组成集合的是 ( ) A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流 C.方程x2-1=0的实数解 D.周长为10的三角形 2.集合 3,52,73,94,… 用描述法可表示为 ( ) A.xx=2n+12n ,n∈N* B.xx=2n+3n ,n∈N* C.xx=2n-1n ,n∈N* D.xx=2n+1n ,n∈N* 3.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A, y∈A,|x-y|∈A}中所含元素的个数为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(多选)已知集合A={2,a2+1,a2-4a}, B={0,a2-a-2},5∈A,则a为 ( ) A.2 B.-2 C.5 D.-1 5.下列说法正确的是 . ①{x∈N|x(x2-4)=0}与集合{0,-2,2} 相等; ②方程(x-a)(x+a)=0的所有实数根组 成的集合可记为{-a,a}; ③全 体 偶 数 组 成 的 集 合 为{x|x=2k, x∈Z}; ④集合{(x,y)|y=x}表示一条过原点的 直线. 6.设a,b∈R,若集合{1,a+b,a}= 0,ba,b , 则a2024+b2024= . 7.选择适当的方法表示下列集合: (1)不小于1且不大于17的质数组成的集 合A; (2)所有正奇数组成的集合B; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 初升高衔接教材 数学 (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集 合C; (4)直角坐标平面上,抛物线y=x2 上的点 组成的集合D. 8.已知方程ax2+x+b=0. (1)若方程的解集为{1},求实数a,b的值; (2)若 方 程 的 解 集 为{1,3},求 实 数a,b 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第5讲 集合间的基本关系 高中课 程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中,了解空集的含义. 3.能使用Venn图表达集合间的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 1.Venn图 (1)定义:在数学中,我们经常用平面上封闭 曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图, 这种表示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围:元素个数较少的集合. (3)使用方法:把元素写在封闭曲线的内部. 2.子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,对于两个集 合A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是 集合B 中的元素,就 称集合 A 为集合B 的子集 A⊆B (或B⊇A) 或 3.集合相等的概念 一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集 合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都 是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相 等,记作A=B,也就是说,若A⊆B,且B⊆ A,则A=B. 4.真子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 如果 集 合 A⊆B, 但存在元素x∈B, 且x∉A,就称集合 A 是B 的真子集 A⫋B (或B⫌A) 5.空集 (1)定义:不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为:⌀. (3)规定:空集是任何集合的子集. 6.子集的有关性质 (1)任何一个集合是它本身的子集.即A⊆A. (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C, 那么A⊆C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21