第3讲 一元二次方程-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

初升高衔接教材 数学 5.解析:∵a+b=2,a-b=-1, ∴原式=(a+b)(a-b)=2×(-1)=-2. 答案:-2 6.解析:由题意得:-p=1-2,q=1×(-2), ∴p=1,q=-2,∴p2-4q=1-4×(-2)=1+8=9. 答案:9 7.解:(1)ax5-10ax4+16ax3=ax3(x2-10x+16) =ax3(x-2)(x-8). (2)(x2-2x)2-9 =(x2-2x-3)(x2-2x+3) =(x-3)(x+1)(x2-2x+3). (3)164x 3-27= 14x 3 -33 = 14x-3 116x2+34x+9 . (4)x3n-y3n=(xn)3-(yn)3 =(xn-yn)(x2n+xnyn+y2n). (5)x6-y6=(x3)2-(y3)2 =(x3+y3)(x3-y3) =(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2). (6)x3+x2-2=(x3-1)+(x2-1) =(x-1)(x2+x+1)+(x+1)(x-1) =(x-1)(x2+2x+2). (7)x5+x+1=x5-x2+x2+x+1 =x2(x3-1)+(x2+x+1) =x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x2(x-1)+1] =(x2+x+1)(x3-x2+1). 第3讲 一元二次方程 重点题型 例题剖析 [例] 解:(1)依题意得: k≠0, Δ=(2k+4)2-4k(k-6)=40k+16>0, 解得k>-25 且k≠0. (2)当k=1时,原方程变为x2-6x-5=0, 则有x2-6x+9=5+9, ∵(x-3)2=14,∴x-3=± 14, ∴方程的根为x1=3+ 14,x2=3- 14. [跟踪训练] (1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×(m2+m) =1>0, ∴无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)解:∵x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数根为a, b,∴a+b=2m+1,ab=m2+m. ∵(2a+b)(a+2b)=20, ∴2a3+4ab+2b2+ab=20,2(a+b)2+ab=20, ∵2(2m+1)2+m2+m=20, 即m2+m-2=0. 解得m=1或m=-2,∴m 的值为1或-2. 过关精练 巩固提升 1.A 方程x2-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7, ∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根, ∴x1+x2=- b a =6 ,x1·x2= c a =-7. 2.C ∵Δ=(2a)2-4(a2-1)=4a2-4a2+4=4>0, ∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不 相等的实数根,故C正确. 3.D 根据题意得k≠0,且Δ=(-2)2-4k×(-1)>0,解 得k>-1,且k≠0. 4.B 在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a. ∵a-b=3,∴a=3+b,代入a+b+1<0和b2-4a, 得b<-2,b2-4(3+b)=b2-4b-12=(b+2)(b-6). ∵b+2<0,b-6<0,∴(b+2)(b-6)>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 5.D 由题意得:y'=13×3x 2+2(m-2)x+m2, 即y'=x2+2(m-2)x+m2. ∵方程x2+2(m-2)x+m2=0有两个相等的实数根, ∴此方程根的判别式Δ=[2(m-2)]2-4m2=0, 解得m=1. 6.解析:由题意可得:α+β=2,αβ=-1, ∴2α+2β=4,∴2α=4-2β. ∵α,β是方程x2-2x-1=0的两个根,∴α2-2α-1=0, ∴α2-(4-2β)-1=0,∴α2+2β=5. 答案:5 7.解析:∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实数根, ∴此方程根的判别式Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0, 解得k>34. 由题意得:x1x2=k2+1=5,解得k=-2或k=2. 又∵k>34 ,∴k的值为2. 答案:2 8.解:(1)∵关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实 数根, ∴Δ≥0,即4(k-1)2-4×1×k2≥0,解得k≤12 , ∴k的取值范围为k≤12. (2)当k=-1时,原方程为x2+4x+1=0, ∴x1+x2=-4,x1x2=1, ∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-4)2-2=14. 9.(1)证明:Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4 k-12 =4k2- 12k+9=(2k-3)2. ∵无论k取什么实数值,(2k-3)2≥0,∴Δ≥0, ∴无论k取什么实数值,方程总有两实数根. (2)解:∵x=2k+1± (2k-3) 2 ,∴x1=2k-1,x2=2. ∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k-1,c=2, 当a,b为腰时,a=b=4,即2k-1=4,解得k=52 ,此时三 角形的周长=4+4+2=10; 当b,c为 腰 时,b=c=2,此 时b+c=a,故 此 种 情 况 不 存在. 综上所述,△ABC的周长为10. 第4讲 集合的概念 重点题型 例题剖析 [例1] B A中,我校所有体质好的同学不具有确定性,不 能组成集合;B中,我校所有800米达标的女生具有确定 性,能组成集合;C中,全国所有优秀的运动员不具有确 定性,不能组成集合;D中,全国所有环境优美的城市不 具有确定性,不能组成集合. [跟踪训练] 1.B 对于①:不满足确定性,对于④:不满足 互异性,对于②③:符合集合的三要素原则. [例2] D 由题意得关于x 的方程ax2-2x-1=0只有 一个实数解. 当a=0时,A={x|-2x-1=0}= -12 ,符合题意; 当a≠0时,Δ=4+4a=0,解得a=-1. 综上所述,a=0或-1. [跟踪训练] 2.BC ∵5∈A,则有: 若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不符合 题意,故舍去; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 初升高衔接教材 数学 第3讲 一元二次方程 初中课程标准 高中课程标准 1.掌握一元二次方程的解法,学会利用一元二次 方程根的判别式去判断根的个数. 2.简单地介绍了韦达定理. 1.熟练掌握一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系. 2.会灵活使用韦达定理解决各种问题. 1.一元二次方程根的判别式的应用. 2.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根分别为x1,x2,那么x1+x2 =-ba ,x1·x2= c a. 证明:因为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根为 x1= -b+ b2-4ac 2a , x2= -b- b2-4ac 2a , 所以x1+x2= -b+b2-4ac 2a + -b-b2-4ac 2a =-2b2a =- b a , x1x2= -b+ b2-4ac 2a ·-b- b 2-4ac 2a = (-b)2-(b2-4ac)2 (2a)2 =4ac 4a2 =ca. 【规律方法】 一元二次方程根与系数的关 系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以 通常把此定律称为“韦达定理”.上述定理成 立的前提是Δ≥0. 3.韦达定理的逆定理:若两个实数x2,x1满足 x1+x2=- b a ,x1x2= c a ,则x1,x2 必为方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根. 证明:因为由ax2+bx+c=0得 x2+bax+ c a=0 , 所以x2+(x1+x2)x+x1x2=0, 即(x-x1)(x-x2)=0,故x=x1或x=x2, 因此,x1,x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根. (推论:以两个数x1,x2 为根的一元二次方 程(二次项系数为1)是x2+(x1+x2)x+ x1·x2=0). 4.一元二次方程根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1,x2, 则x1+x2=- b a ,x1·x2= c a , ①x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2, ②1x1 +1x2 = x2+x1 x1x2 , ③|x1-x2|= Δ |a|. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 第3讲 一元二次方程 一元二次方程的根的判别式及应用 已知关于x 的一元二次方程kx2- (2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实 数根. (1)求k的取值范围; (2)当k=1时,用配方法解方程. 跟踪训练 已知关于x的一元二次方程x2- (2m+1)x+m2+m=0. (1)求证:无论m 取何值时,方程都有两个不 相等的实数根; (2)设 该 方 程 的 两 个 实 数 根 为 a,b,若 (2a+b)·(a+2b)=20,求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.若x1,x2 是方程x2-6x-7=0的两个根, 则 ( ) A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 C.x1·x2= 7 6 D.x1 ·x2=7 2.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0 的根的情况是 ( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 3.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数根,则实数k的取值范 围是 ( ) A.k>1 B.k<1 C.k≥-1,且k≠0 D.k>-1,且k≠0 4.若实数a(a≠0)满足a-b=3,a+b+1<0, 则方程ax2+bx+1=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有两个实数根 5.对于函数y=xn+xm,我们定义y'=nxn-1 +mxm-1(m,n为常数).例如:y=x4+x2, 则y'=4x3+2x.已知:y=13x 3+(m-2)x2 +m2x,若方程y'=0有两个相等的实数根, 则m 的值为 ( ) A.0 B.12 C. 3 2 D.1 6.已知α,β是方程x2-2x-1=0的两个根, 则α2+2β= . 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x +k2+1=0有两个不等实数根x1,x2.若 x1x2=5,则k的值为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 初升高衔接教材 数学 8.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0 有两个实数根. (1)求k的取值范围; (2)当k=-1时,原方程有两个实数根x1, x2,求x21+x22的值. 9.已知关于x的一元二次方程:x2-(2k+1)x +4 k-12 =0. (1)求证:这个方程总有两个实数根; (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长 b,c 恰 好 是 这 个 方 程 的 两 个 实 数 根,求 △ABC的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第4讲 集合的概念 高中课 程标准 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. 1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把研究对象统称为元 素.元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的总体叫做集合 (简称为集).集合通常用大写拉丁字母A, B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合是相等的. (4)元素的特性:确定性、无序性、互异性. 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合 A 中的元素 a∈A a属于集合A 续表 不属于 a不是集合 A 中的元素 a∉A a不属于集合A 3.常用的数集及其记法 常用的 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 4.集合的分类 集合 有限集(含有有限个元素的集合) 无限集(含有无限个元素的集合) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 集合的概念 下列叙述能够组成集合的是 ( ) A.我校所有体质好的同学 B.我校所有800米达标的女生 C.全国所有优秀的运动员 D.全国所有环境优美的城市 跟踪训练 1.下列对象能构成集合的是 ( ) ①所有很高的山峰;②方程x2+3x-4=0 的实 数 根;③ 所 有 小 于 10 的 自 然 数; ④cos60°,sin45°,cos45°. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01