第2讲 因式分解-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第1讲 乘法公式 当代数式x4-12x3+54x2-108x+81的值 为1时,则x的值为 ( ) A.2 B.-4 C.2或4 D.2或-4 5.已知(a+b)2=7,a2+b2=5,则ab的值为 . 6.我们规定一种运算: a b c d =ad-bc,例如 3 5 4 6 =3×6-4×5=-2, x -3 2 4 = 4x+6.按照这种运算规定,当x= 时,x+2 x+4 x-3 x-2 =0. 7.先化简,再求值:[(x-2y)2-(x-y)(x+ y)-2y2]÷y,其中x=-1,y=-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 因式分解 初中课程标准 高中课程标准 初中重点学习了提取公因式 法、公式法,针对ax2+bx+ c(a≠0)的因式分解,只学习 了二次项系数为1的因式 分解. 1.有大量二次项系数不为1的十字相乘法,会拆分多项式,用十 字相乘法因式分解. 2.对于项数比较多的多项式,要综合使用提取公因式法、分组分 解法、十字相乘法、公式法来进行因式分解,还会接触到拆项 法、添项法等.针对ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法 或十字相乘法因式分解. 乘法公式(一) 我们在初中已经学习过了下列一些乘法 公式 现将其反向使用,即为因式分解中常用的 公式. (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2- b2↔a2-b2=(a+b)(a-b); (2)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+ b2↔a2±2ab+b2=(a±b)2. 乘法公式可以使多项式的运算简便,进入 高中后,我们会用到更多的乘法公式,反之,则 为因式分解中的公式. (1)立方和公式 (a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3↔a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (2)立方差公式 (a-b)(a2+ab+b2)= a3-b3↔a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充三个常用的公式. (1)三数和平方公式 (a+b+c)2=a2+ b2+c2+2ab+2bc+2ca↔a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ca=(a+b+c)2; (2)两数和立方公式 (a+b)3=a3+b3+ 3a2b+3ab2↔a3+b3+3a2b+3ab2=(a+b)3; (3)两数差立方公式 (a-b)3=a3-3a2b+ 3ab2-b3↔a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3. 乘法公式(二) 系数为1的十字相乘法分解因式:x2+ px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 初升高衔接教材 数学 求根公式法分解因式:设关于x的一元二 次方程ax2+bx+c=0(a≠0,Δ=b2-4ac)的 两个实数根为x1,2= -b± b2-4ac 2a ,则二次三 项式ax2+bx+c可以因式分解为ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2)=a x--b+ b 2-4ac 2a x--b- b 2-4ac 2a . 系数不为1的十字相乘法分解因 式:对于二次三项式ax2+bx+c(a≠ 0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之 积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数 之积,即c=c1c2,那么a1,a2,c1,c2排列如下: 将a1,c2与a2,c1 按斜线交叉相乘,再相 加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项 式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1 =b,则二次三项式就可以分解为两个因式a1x +c1与a2x+c2之积,即ax2+bx+c=(a1x+ c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数,从而 帮助我们把二次三项式分解因式的方法,叫作 十字相乘法. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 公式法因式分解 因式分解: (1)6a2b-18ab+3b;(2)a3+2a2+a; (3)9(a-b)2-16(a+b)2;(4)a4-1. 跟踪训练 1.多项式x2-4xy-2y+x+4y2 分解因式后有一个因式是x-2y,另一个因 式是 ( ) A.x+2y+1 B.x+2y-1 C.x-2y+1 D.x-2y-1 二 十字相乘法因式分解 分解因式: (1)x2-3x+2;(2)x2+4x-12; (3)xy-1+x-y;(4)(x2+x)2-8(x2+x) +12. 跟踪训练 2.把多项式x2+x-2分解因式, 下列结果正确的是 ( ) A.(x+2)(x-1) B.(x-2)(x+1) C.(x-1)2 D.(2x-1)(x+2) 三 公式法因式分解 分解因式: (1)x3-64;(2)18a 3+b3; (3)m6-2m3n3+n6;(4)x3-7x+6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 第2讲 因式分解 跟踪训练 3.利用公式计算: 20123-20103-6×20122+24×1005. 四 二次项系数不为1的二次三项式的十 字相乘法 分解因式: (1)5x2+6x-8;(2)14x2-67xy+18y2. 跟踪训练 4.多项式kx2-9xy-10y2可分解因 式得(mx+2y)(3x-5y),则k= ,m= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列多项式不能分解的是 ( ) A.(ab+cd)2+(bc-ad)2 B.x2-y2-6x+9 C.x2-2xy-3y2+4x+8y-5 D.x2+2x+4 2.把多项式(x-y)2-2(x-y)-8分解因式, 正确的结果是 ( ) A.(x-y+4)(x-y+2) B.(x-y-4)(x-y-2) C.(x-y-4)(x-y+2) D.(x-y+4)(x-y-2) 3.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式 (a+1)的是 ( ) A.a2-1 B.a2+a C.a2+a-2 D.(a+2)2-2(a+2)+1 4.若x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次 因式的积,则m 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.±1 D.2 5.若a+b=2,a-b=1,则a2-b2的值为 . 6.若对于一切实数x,等式x2-px+q=(x+1)· (x-2)均成立,则p2-4q的值是 . 7.将下列各式分解因式: (1)ax5-10ax4+16ax3;(2)(x2-2x)2-9; (3)164x 3-27;(4)x3n-y3n;(5)x6-y6; (6)x3+x2-2;(7)x5+x+1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 参考答案 参考答案 第1讲 乘法公式 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a2=4-a2-2a2 -6a+3a2=4-6a,当a=-13 时,原式=4-6× -13 =4+2=6. [跟踪训练] 1.解:(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)=x2-4y2 -3y+4y2=x2-3y. [例2] 解:(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2=a2-9b2+a2- 6ab+9b2=2a2-6ab,当a=-3,b=13 时, 原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=24. [跟踪训练] 2.D 由2a2-a-3=0,得2a2-a=3, ∴(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2 =4a2-9+4a2-4a+1=8a2-4a-8 =4(2a2-a)-8=4×3-8=4. [例3] 解:(1)①(a-b)(a2+ab+b2) =[a+(-b)][a2-a(-b)+(-b)2] =a3+(-b)3=a3-b3. ②(20243+1)÷(20242-2024+1) =[(2024+1)(20242-2024+1)]÷(20242-2024+1) =2024+1=2025. 故答案为:a3-b3,2025. (2)∵1x+x=3 ,∴ 1x+x 2 =9,∴1 x2 +x2=7,∴1 x3 + x3= 1x+x 1x2-1x·x+x2 =3×(7-1)=18. [跟踪训练] 3.A A.(a+1)(a2+a+1)=a3+2a2+2a+1, 故本选项错误,符合题意. 过关精练 巩固提升 1.A A.x2·x3=x5,本选项符合题意. 2.D 图(1)中,①、②两部分的面积和为m2-n2,图(2)中, ①、②两部分拼成长为(m+n)、宽为(m-n)的矩形面积 为(m+n)(m-n),因此有m2-n2=(m+n)(m-n). 3.A 因为 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2(x2-4xy +4y2)+(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=2(x-2y)2+ (x-2)2+(y+3)2, 若 x-2y=0, x-2=0, y+3=0, 该方程组无解, 即x-2y=0,x-2=0,y+3=0,不同时成立, 所以 M=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2>0. 4.C 由规律可得:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4, 令a=x,b=-3, ∴(x-3)4=x4-12x3+54x2-108x+81. ∵x4-12x3+54x2-108x+81=1, ∴(x-3)4=1,∴x-3=±1,∴x=4或x=2. 5.解析:∵(a+b)2=7,∴a2+2ab+b2=7. ∵a2+b2=5,∵7-2ab=5,∴ab=1. 答案:1 6.解析:由题意得(x+2)(x-2)-(x+4)(x-3)=0, 即x2-4-(x2+x-12)=0,解得x=8. 答案:8 7.解:原式=(x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2)÷y=(-4xy +3y2)÷y=-4x+3y, 当x=-1,y=-2时,-4x+3y=4-6=-2. 第2讲 因式分解 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)原式=3b(2a2-6a+1). (2)原式=a(a2+2a+1)=a(a+1)2. (3)原式=[3(a-b)-4(a+b)][3(a-b)+4(a+b)]= -(a+7b)(7a+b). (4)原式=(a2-1)(a2+1)=(a-1)(a+1)(a2+1). [跟踪训练] 1.C x2-4xy-2y+x+4y2 =(x2-4xy+4y2)+(x-2y) =(x-2y)2+(x-2y)=(x-2y)(x-2y+1). [例2] 解:(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2). (2)x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1=(x-1)(y+1). (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-2)(x2+x-6) =(x+2)(x-1)(x+3)(x-2). [跟踪训练] 2.A x2+x-2=(x-1)(x+2). [例3] 解:(1)原式=x3-43=(x-4)(x2+4x+16). (2)原式= 12a 3 +b3= 12a+b 14a2-12ab+b2 . (3)原式=(m3-n3)2 =[(m-n)(m2+mn+n2)]2 =(m-n)2(m2+mn+n2)2. (4)原式=x3-1-7x+7 =(x-1)(x2+x+1)-7(x-1) =(x-1)(x2+x-6) =(x-1)(x-2)(x+3). [跟踪训练] 3.解:原式=(20123-20103)-6×20122+ 24×1005=(2012-2010)×(20122+2012×2010+ 20102)-6×20122+24×1005=2×(-2×20122+ 2012×2010+20102)+24×1005=2×(-20122+ 2012×2010+20102-20122)+24×1005=2×[2012 ×(-2)+(2010-2012)(2010+2012)]+24×1005= -4×(2012+4022)+4×6030=-4×6034+4×6030 =-16. [例4] 解:(1)5x2+6x-8=(x+2)(5x-4). (2)14x2-67xy+18y2=(2x-9y)(7x-2y). 跟踪训练 4.解析:∵kx2-9xy-10y2=(mx+2y)(3x-5y), ∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2, ∴ 3m=k , -5m+6=-9, 解得 k=9,m=3. 答案:9 3 过关精练 巩固提升 1.D x2+2x+4不能分解,故本选项符合题意. 2.C (x-y)2-2(x-y)-8=(x-y-4)(x-y+2). 3.C 先把四个选项中的各个多项式分解因式,即a2-1= (a+1)(a-1),a2+a=a(a+1),a2+a-2=(a+2)(a-1), (a+2)2-2(a+2)+1=(a+2-1)2=(a+1)2,观察结果 可得四个选项中不含有因式(a+1)的是选项C. 4.C x2-y2+mx+5y-6=(x+y)(x-y)+mx+5y-6, -6可分解成(-2)×3或(-3)×2,分以下两种情况 考虑: 由①可得m=1,由②可得m=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17 初升高衔接教材 数学 5.解析:∵a+b=2,a-b=-1, ∴原式=(a+b)(a-b)=2×(-1)=-2. 答案:-2 6.解析:由题意得:-p=1-2,q=1×(-2), ∴p=1,q=-2,∴p2-4q=1-4×(-2)=1+8=9. 答案:9 7.解:(1)ax5-10ax4+16ax3=ax3(x2-10x+16) =ax3(x-2)(x-8). (2)(x2-2x)2-9 =(x2-2x-3)(x2-2x+3) =(x-3)(x+1)(x2-2x+3). (3)164x 3-27= 14x 3 -33 = 14x-3 116x2+34x+9 . (4)x3n-y3n=(xn)3-(yn)3 =(xn-yn)(x2n+xnyn+y2n). (5)x6-y6=(x3)2-(y3)2 =(x3+y3)(x3-y3) =(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2). (6)x3+x2-2=(x3-1)+(x2-1) =(x-1)(x2+x+1)+(x+1)(x-1) =(x-1)(x2+2x+2). (7)x5+x+1=x5-x2+x2+x+1 =x2(x3-1)+(x2+x+1) =x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x2(x-1)+1] =(x2+x+1)(x3-x2+1). 第3讲 一元二次方程 重点题型 例题剖析 [例] 解:(1)依题意得: k≠0, Δ=(2k+4)2-4k(k-6)=40k+16>0, 解得k>-25 且k≠0. (2)当k=1时,原方程变为x2-6x-5=0, 则有x2-6x+9=5+9, ∵(x-3)2=14,∴x-3=± 14, ∴方程的根为x1=3+ 14,x2=3- 14. [跟踪训练] (1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×(m2+m) =1>0, ∴无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)解:∵x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数根为a, b,∴a+b=2m+1,ab=m2+m. ∵(2a+b)(a+2b)=20, ∴2a3+4ab+2b2+ab=20,2(a+b)2+ab=20, ∵2(2m+1)2+m2+m=20, 即m2+m-2=0. 解得m=1或m=-2,∴m 的值为1或-2. 过关精练 巩固提升 1.A 方程x2-6x-7=0中的a=1,b=-6,c=-7, ∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根, ∴x1+x2=- b a =6 ,x1·x2= c a =-7. 2.C ∵Δ=(2a)2-4(a2-1)=4a2-4a2+4=4>0, ∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0有两个不 相等的实数根,故C正确. 3.D 根据题意得k≠0,且Δ=(-2)2-4k×(-1)>0,解 得k>-1,且k≠0. 4.B 在方程ax2+bx+1=0中,Δ=b2-4a. ∵a-b=3,∴a=3+b,代入a+b+1<0和b2-4a, 得b<-2,b2-4(3+b)=b2-4b-12=(b+2)(b-6). ∵b+2<0,b-6<0,∴(b+2)(b-6)>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 5.D 由题意得:y'=13×3x 2+2(m-2)x+m2, 即y'=x2+2(m-2)x+m2. ∵方程x2+2(m-2)x+m2=0有两个相等的实数根, ∴此方程根的判别式Δ=[2(m-2)]2-4m2=0, 解得m=1. 6.解析:由题意可得:α+β=2,αβ=-1, ∴2α+2β=4,∴2α=4-2β. ∵α,β是方程x2-2x-1=0的两个根,∴α2-2α-1=0, ∴α2-(4-2β)-1=0,∴α2+2β=5. 答案:5 7.解析:∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实数根, ∴此方程根的判别式Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0, 解得k>34. 由题意得:x1x2=k2+1=5,解得k=-2或k=2. 又∵k>34 ,∴k的值为2. 答案:2 8.解:(1)∵关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实 数根, ∴Δ≥0,即4(k-1)2-4×1×k2≥0,解得k≤12 , ∴k的取值范围为k≤12. (2)当k=-1时,原方程为x2+4x+1=0, ∴x1+x2=-4,x1x2=1, ∴x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-4)2-2=14. 9.(1)证明:Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4 k-12 =4k2- 12k+9=(2k-3)2. ∵无论k取什么实数值,(2k-3)2≥0,∴Δ≥0, ∴无论k取什么实数值,方程总有两实数根. (2)解:∵x=2k+1± (2k-3) 2 ,∴x1=2k-1,x2=2. ∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k-1,c=2, 当a,b为腰时,a=b=4,即2k-1=4,解得k=52 ,此时三 角形的周长=4+4+2=10; 当b,c为 腰 时,b=c=2,此 时b+c=a,故 此 种 情 况 不 存在. 综上所述,△ABC的周长为10. 第4讲 集合的概念 重点题型 例题剖析 [例1] B A中,我校所有体质好的同学不具有确定性,不 能组成集合;B中,我校所有800米达标的女生具有确定 性,能组成集合;C中,全国所有优秀的运动员不具有确 定性,不能组成集合;D中,全国所有环境优美的城市不 具有确定性,不能组成集合. [跟踪训练] 1.B 对于①:不满足确定性,对于④:不满足 互异性,对于②③:符合集合的三要素原则. [例2] D 由题意得关于x 的方程ax2-2x-1=0只有 一个实数解. 当a=0时,A={x|-2x-1=0}= -12 ,符合题意; 当a≠0时,Δ=4+4a=0,解得a=-1. 综上所述,a=0或-1. [跟踪训练] 2.BC ∵5∈A,则有: 若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不符合 题意,故舍去; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27