第1讲 乘法公式-【名师大课堂】2025年初升高数学衔接教程

第1讲 乘法公式 第1讲 乘法公式 初中课程标准 高中课程标准 1.理解多项式与多项式的乘法. 2.掌握平方差、完全平方公式及其应用. 运用立方和(差)公式、三数和的平方的公式,两 数和(差)的立方公式进行化简求值等. 乘法公式可以使多项式的运算简便,进入 高中后,我们会用到更多的乘法公式: (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完 全 平 方 公 式 (a±b)2=a2± 2ab+b2; (3)立方和公式 (a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3; (4)立方差公式 (a-b)(a2+ab+b2)= a3-b3; (5)三数和平方公式 (a+b+c)2=a2+ b2+c2+2(ab+bc+ac); (6)两数和立方公式 (a+b)3=a3+ 3a2b+3ab2+b3; (7)两数差立方公式 (a-b)3=a3- 3a2b+3ab2-b3. 我们用多项式展开证明式子(3),其余请 自行证明: 证明:(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及 到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差 公式)、十字相乘法和分组分解法等等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一 平方差公式的应用 先化简,再求值:(2-a)(2+a)-2a· (a+3)+3a2,其中a=-13. 跟踪训练 1.计 算:(x+2y)(x-2y)- y(3-4y). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 初升高衔接教材 数学 二 完全平方公式的应用 先化简,再求值:(a-3b)(a+3b)+ (a-3b)2,其中a=-3,b=13. 跟踪训练 2.已知2a2-a-3=0,则(2a+3)· (2a-3)+(2a-1)2的值是 ( ) A.6 B.-5 C.-3 D.4 三 立方和、立方差公式的应用 学习了平方差、完全平方公式后,小明 同学对学习和运用数学公式非常感兴趣,他 通过上网查阅,发现还有很多数学公式,如 立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3, 他发现,运用立方和公式可以解决很多数学 问题,请你也来试试利用立方和公式解决以 下问题: (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何 数、字母或式子: ①化简:(a-b)(a2+ab+b2)= ; ②计算:(20243+1)÷(20242-2024+1) = ; (2)【公式运用】已知:1x+x=3 ,求1 x3 +x3 的值. 跟踪训练 3.由m(a+b+c)=ma+mb+mc, 可得(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+ a2b-ab2+b3=a3+b3,即(a+b)(a2-ab+ b2)=a3+b3,我们把这个等式叫做多项式乘 法的立方公式.下列运用这个立方公式进行 的变形不正确的是 ( ) A.(a+1)(a2+a+1)=a3+1 B.(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3 C.(a+3)(a2-3a+9)=a3+27 D.(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.下列计算正确的是 ( ) A.x2·x3=x5 B.(x3)3=x6 C.x(x+1)=x2+1 D.(2a-1)2=4a2-1 2.如图(1),边长为m 的正方形剪去边长为n 的正方形得到①、②两部分,再把①、②两部 分拼接成图(2)所示的长方形,根据阴影部 分面积不变,你能验证以下哪个结论 ( ) A.(m-n)2=m2-2mn+n2 B.(m+n)2=m2+2mn+n2 C.(m-n)2=m2+n2 D.m2-n2=(m+n)(m-n) 3.若M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13(x,y 是实数),则M 的值是 ( ) A.正数 B.负数 C.零 D.以上皆有可能 4.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的 《详解九章算法》,书中记载的图表给出了 (a+b)n 展开式的系数规律. 1 (a+b)0=1 1 1 (a+b)1=a+b 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4 第1讲 乘法公式 当代数式x4-12x3+54x2-108x+81的值 为1时,则x的值为 ( ) A.2 B.-4 C.2或4 D.2或-4 5.已知(a+b)2=7,a2+b2=5,则ab的值为 . 6.我们规定一种运算: a b c d =ad-bc,例如 3 5 4 6 =3×6-4×5=-2, x -3 2 4 = 4x+6.按照这种运算规定,当x= 时,x+2 x+4 x-3 x-2 =0. 7.先化简,再求值:[(x-2y)2-(x-y)(x+ y)-2y2]÷y,其中x=-1,y=-2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 因式分解 初中课程标准 高中课程标准 初中重点学习了提取公因式 法、公式法,针对ax2+bx+ c(a≠0)的因式分解,只学习 了二次项系数为1的因式 分解. 1.有大量二次项系数不为1的十字相乘法,会拆分多项式,用十 字相乘法因式分解. 2.对于项数比较多的多项式,要综合使用提取公因式法、分组分 解法、十字相乘法、公式法来进行因式分解,还会接触到拆项 法、添项法等.针对ax2+bx+c(a≠0)的因式分解要用公式法 或十字相乘法因式分解. 乘法公式(一) 我们在初中已经学习过了下列一些乘法 公式 现将其反向使用,即为因式分解中常用的 公式. (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=a2- b2↔a2-b2=(a+b)(a-b); (2)完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+ b2↔a2±2ab+b2=(a±b)2. 乘法公式可以使多项式的运算简便,进入 高中后,我们会用到更多的乘法公式,反之,则 为因式分解中的公式. (1)立方和公式 (a+b)(a2-ab+b2)= a3+b3↔a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (2)立方差公式 (a-b)(a2+ab+b2)= a3-b3↔a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充三个常用的公式. (1)三数和平方公式 (a+b+c)2=a2+ b2+c2+2ab+2bc+2ca↔a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ca=(a+b+c)2; (2)两数和立方公式 (a+b)3=a3+b3+ 3a2b+3ab2↔a3+b3+3a2b+3ab2=(a+b)3; (3)两数差立方公式 (a-b)3=a3-3a2b+ 3ab2-b3↔a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3. 乘法公式(二) 系数为1的十字相乘法分解因式:x2+ px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5 参考答案 参考答案 第1讲 乘法公式 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a2=4-a2-2a2 -6a+3a2=4-6a,当a=-13 时,原式=4-6× -13 =4+2=6. [跟踪训练] 1.解:(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)=x2-4y2 -3y+4y2=x2-3y. [例2] 解:(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2=a2-9b2+a2- 6ab+9b2=2a2-6ab,当a=-3,b=13 时, 原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=24. [跟踪训练] 2.D 由2a2-a-3=0,得2a2-a=3, ∴(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2 =4a2-9+4a2-4a+1=8a2-4a-8 =4(2a2-a)-8=4×3-8=4. [例3] 解:(1)①(a-b)(a2+ab+b2) =[a+(-b)][a2-a(-b)+(-b)2] =a3+(-b)3=a3-b3. ②(20243+1)÷(20242-2024+1) =[(2024+1)(20242-2024+1)]÷(20242-2024+1) =2024+1=2025. 故答案为:a3-b3,2025. (2)∵1x+x=3 ,∴ 1x+x 2 =9,∴1 x2 +x2=7,∴1 x3 + x3= 1x+x 1x2-1x·x+x2 =3×(7-1)=18. [跟踪训练] 3.A A.(a+1)(a2+a+1)=a3+2a2+2a+1, 故本选项错误,符合题意. 过关精练 巩固提升 1.A A.x2·x3=x5,本选项符合题意. 2.D 图(1)中,①、②两部分的面积和为m2-n2,图(2)中, ①、②两部分拼成长为(m+n)、宽为(m-n)的矩形面积 为(m+n)(m-n),因此有m2-n2=(m+n)(m-n). 3.A 因为 M=3x2-8xy+9y2-4x+6y+13=2(x2-4xy +4y2)+(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=2(x-2y)2+ (x-2)2+(y+3)2, 若 x-2y=0, x-2=0, y+3=0, 该方程组无解, 即x-2y=0,x-2=0,y+3=0,不同时成立, 所以 M=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2>0. 4.C 由规律可得:(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4, 令a=x,b=-3, ∴(x-3)4=x4-12x3+54x2-108x+81. ∵x4-12x3+54x2-108x+81=1, ∴(x-3)4=1,∴x-3=±1,∴x=4或x=2. 5.解析:∵(a+b)2=7,∴a2+2ab+b2=7. ∵a2+b2=5,∵7-2ab=5,∴ab=1. 答案:1 6.解析:由题意得(x+2)(x-2)-(x+4)(x-3)=0, 即x2-4-(x2+x-12)=0,解得x=8. 答案:8 7.解:原式=(x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2)÷y=(-4xy +3y2)÷y=-4x+3y, 当x=-1,y=-2时,-4x+3y=4-6=-2. 第2讲 因式分解 重点题型 例题剖析 [例1] 解:(1)原式=3b(2a2-6a+1). (2)原式=a(a2+2a+1)=a(a+1)2. (3)原式=[3(a-b)-4(a+b)][3(a-b)+4(a+b)]= -(a+7b)(7a+b). (4)原式=(a2-1)(a2+1)=(a-1)(a+1)(a2+1). [跟踪训练] 1.C x2-4xy-2y+x+4y2 =(x2-4xy+4y2)+(x-2y) =(x-2y)2+(x-2y)=(x-2y)(x-2y+1). [例2] 解:(1)x2-3x+2=(x-1)(x-2). (2)x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)xy-1+x-y=xy+(x-y)-1=(x-1)(y+1). (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-2)(x2+x-6) =(x+2)(x-1)(x+3)(x-2). [跟踪训练] 2.A x2+x-2=(x-1)(x+2). [例3] 解:(1)原式=x3-43=(x-4)(x2+4x+16). (2)原式= 12a 3 +b3= 12a+b 14a2-12ab+b2 . (3)原式=(m3-n3)2 =[(m-n)(m2+mn+n2)]2 =(m-n)2(m2+mn+n2)2. (4)原式=x3-1-7x+7 =(x-1)(x2+x+1)-7(x-1) =(x-1)(x2+x-6) =(x-1)(x-2)(x+3). [跟踪训练] 3.解:原式=(20123-20103)-6×20122+ 24×1005=(2012-2010)×(20122+2012×2010+ 20102)-6×20122+24×1005=2×(-2×20122+ 2012×2010+20102)+24×1005=2×(-20122+ 2012×2010+20102-20122)+24×1005=2×[2012 ×(-2)+(2010-2012)(2010+2012)]+24×1005= -4×(2012+4022)+4×6030=-4×6034+4×6030 =-16. [例4] 解:(1)5x2+6x-8=(x+2)(5x-4). (2)14x2-67xy+18y2=(2x-9y)(7x-2y). 跟踪训练 4.解析:∵kx2-9xy-10y2=(mx+2y)(3x-5y), ∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2, ∴ 3m=k , -5m+6=-9, 解得 k=9,m=3. 答案:9 3 过关精练 巩固提升 1.D x2+2x+4不能分解,故本选项符合题意. 2.C (x-y)2-2(x-y)-8=(x-y-4)(x-y+2). 3.C 先把四个选项中的各个多项式分解因式,即a2-1= (a+1)(a-1),a2+a=a(a+1),a2+a-2=(a+2)(a-1), (a+2)2-2(a+2)+1=(a+2-1)2=(a+1)2,观察结果 可得四个选项中不含有因式(a+1)的是选项C. 4.C x2-y2+mx+5y-6=(x+y)(x-y)+mx+5y-6, -6可分解成(-2)×3或(-3)×2,分以下两种情况 考虑: 由①可得m=1,由②可得m=-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17