模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）-2026年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+培优点专项突破（新高考版）

模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R 6．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，则 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．存在，使得成立 D．记表示不超过的最大整数，且，则. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 13．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求C； (2)若边上的高为，求的最小值． 17．（2025·湖北·三模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 18．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 19．（2025·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且，有．若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”． (1)若是“阶梯函数”，且当时，，写出的取值范围； (2)已知满足：①；②，有． （i）证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”； （ii）若所有满足条件①②的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块01集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知全集，集合，，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可. 【详解】由题可得或，则或． 故选：A. 2．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式化简集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为或， 又， 所以. 故选：A. 3．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、补集的概念及运算、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 5．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】由，或， 所以. 故选：C. 6．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算 【分析】先利用特殊值判断命题的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案. 【详解】因为当时，，所以是假命题， 因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以. 故选：C. 7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、条件等式求最值、求投影向量 【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”．已知是等比数列且公比为，则“”是“是和有界数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、求等比数列前n项和 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前项和公式推理判断即得.. 【详解】因为是等比数列，由可得: ， 故“公比”是“是和有界数列”的充分条件； 反之，若取，则，即此时是和有界数列， 故“公比”不是“是和有界数列”的必要条件. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、比较对数式的大小 【分析】由题意结合函数单调性可得.对于A，由作差法可判断选项正误；对于B，由对数函数单调性可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】由题意可得，对于函数， 则在R上单调递增，结合，可得. 对于A，，故A正确； 对于B，由不能判断与1的大小，故B错误； 对于C，取，此时C不成立，故C错误； 对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用重要不等式可得到，进而可判断A；将原式展开结合基本不等式可判断B；利用基本不等式可判断C，注意等号成立的条件；利用常值代换结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于B，，所以， 即，解得（当且仅当时等号成立）或（当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（    ） A． B． C．存在，使得成立 D．记表示不超过的最大整数，且，则. 【答案】ABD 【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、集合新定义 【分析】直接利用给定定义，进而求出符合条件的数字为判断A，找到被3整除，被2整除，被6整除的数字个数，进而得到判断B，先假设等式成立，再找出左右两侧的矛盾判断C，对的情况进行讨论，结合放缩法判断D即可. 【详解】对于， 在不大于16的所有正整数中，即不能被3整除又不能被4整除的数有， ，故A正确； 因为在不大于的所有正整数中， 能被3整除的有个，被2整除的有个，被6整除的有个， 所以，故B正确 若，则，即， ，， 等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾， 故不存在，使得成立；故C错误； 当时， 当时，， 所以当时，， 所以当时，，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】先解绝对值不等式和含参的一元二次不等式得出p和q对应的等价条件，再结合是的充分不必要条件得到集合间的包含关系，则参数m的范围可求. 【详解】由可得，即， 由可得，即， 又因为是的充分不必要条件，所以， 所以(等号不同时成立)，解得， 故答案为：. 14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、基本不等式求和的最小值 【分析】设等差数列的公差为，根据，，成等比数列，可得，利用等差数列的前n项和公式化简，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】令的公差为，成等比数列， ，，，． ， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且． (1)若，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）延长CG交AB于点D，利用三角形重心性质，结合正弦定理及差角的正弦公式化简即得. （2）利用余弦定理可得，再利用余弦定理及基本不等式求出范围. 【详解】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且， 由，得，则，， 又，则是正三角形，，在中，记， 由正弦定理，即， 则，即， 所以，即. （2）由（1）知，在中，， 在中，， 于是，整理得， 在中，，当且仅当时取等号， 又，所以的取值范围为. 16．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求C； (2)若边上的高为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理，化简得，由此即可得解； （2）方法一：设，则，将表示为的三角函数，令，可得，结合基本不等式即可求解；方法二：由余弦定理结合基本不等式可得，然后根据三角形面积公式得，由此即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 又因为，所以， 所以，即， 因为，，所以， 故，于是； （2）方法一：由（1）得， 设，则， 在中，， 在中，， 于是， 令，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 方法二：由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式， 得， 当且仅当时等号成立， 又因为，且， 所以，所以，即， 故的最小值为2. 17．（2025·湖北·三模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. （2）不等式的解集为，所以方程的两根为， 所以，解得， 故的值为，的值为. 18．（2025·山东临沂·二模）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； (3)设为有限集合，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3)证明过程见解析 【知识点】交并补混合运算、集合新定义 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； （2）设，则，因为， 故符合条件的的个数为. （3）对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 19．（2025·四川·一模）已知定义在上的函数满足，且，有．若存在，使得函数是常函数，则称是“阶梯函数”． (1)若是“阶梯函数”，且当时，，写出的取值范围； (2)已知满足：①；②，有． （i）证明：是“阶梯函数”的必要条件是“”； （ii）若所有满足条件①②的函数均为“阶梯函数”，猜想的取值范围并证明． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析 【知识点】必要条件的判定及性质、数学归纳法、函数新定义 【分析】（1）根据函数的新定义计算求参数范围； （2）（i）应用函数的新定义结合必要条件的定义证明即可；（ii）构造函数分别结合新定义计算判断，最后再应用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）∵当时，，∴． ∵是阶梯函数， ∴是常数．由于，所以这个常数为， ∴． 当时， 当时，∵，都有，∴． ∴的取值范围是． ∴的取值范围是． （2）（i）证明：由题意得，或． 当即时， ∵，∴．根据条件有，∴． 由于，∴． 当，同理可得． 所以为阶梯函数的必要条件是． （ii）解：猜想的取值范围是，下面证明这个结论． 当时，构造函数，，不是阶梯函数． 当时，构造函数，，不是阶梯函数． 当时，构造函数，，不是阶梯函数． 当时，． 若，则，矛盾． ∴ ∴．① 下面用数学归纳法证明：．② 由①知时，②成立． 假设时，②成立，则． ∵，∴． ∴， ． ∴当时，②成立． 同理当时，②成立．∴②成立． 假设，则， 即．③ 又，所以，所以， 即，所以，与③矛盾．∴假设不成立． 所以为阶梯函数，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对函数新定义的理解结合数学归纳法证明. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$