专题03 函数的概念及其性质（十八大题型十大易错题）（题型专练+易错精练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题03函数的概念及其性质（十八大题型十大易错题） 【题型1 函数的定义域】 1．集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 因此，. 故选：C. 2．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，对于，可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．函数的定义域为 ． 【答案】； 【分析】根据函数的解析式，列出使得函数的解析式有意义的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：常见的具体函数求定义域： (1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0. 【题型2 函数的解析式】 1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 2．已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据，令，得，依次可得，， ，累加可得函数解析式. 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，， ， 以上各式相加得． 故答案为：. 3．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式. （2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式. 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 4．已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 【题型3 分段函数求值】 1．已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 2．已知函数则（   ） A． B．100 C．2 D．1 【答案】B 【分析】可根据分段函数的定义，先求出的值，再将的值代入函数中，求出的值． 【详解】已知函数，因为，所以将代入中，可得． 因为，所以将代入中，可得．故． 故选：B． 3．已知，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】结合分段函数解析式赋值即可. 【详解】由题意得， 所以， 故选：D. 4．设函数则（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可. 【详解】， 故选：D 5．已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数式，结合条件，反向逆推，考虑所含的六种不同情况，逐一检验即得. 【详解】根据题设函数，由逆推，可有以下六种情况： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 综上，对于A，由情况⑥可知A不正确； 对于B，C，由情况①可知B不正确，C也不正确； 对于D，由上分析知，故D正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：由条件和选项特点，考虑根据分段函数式进行逆推，在求函数值过程中，要考虑条件的满足，以及可能出现的所有情况，再进行判断即可. 【题型4 分段函数与方程，不等式】 1．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 2．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 3．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况解不等式. 【详解】若，则，恒成立， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 4．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，令，将问题进行转化，利用分段函数的性质进行分段分析，结合函数图像分析即可解决问题. 【详解】令，则即为， 当时，，故 无解， 当时，即为， 在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图， 由图可得当且仅当时，， 综上所述，的解为，又， 所以， 当时，， 故，解得：，所以， 当时，， 故，解得：，所以， 综上所述，不等式的解集是. 故选：D. 【题型5 函数单调性的判断与证明】 1．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 2．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 【题型6 求函数的单调性】 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 3．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复合函数单调性遵循“同增异减”，外层是增函数，内层函数的增区间是整个函数的增区间，注意定义域. 【详解】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为 故选：D 4．已知函数，则的单调递增区间是 ． 【答案】 【解析】分段分析函数的单调性，即可求出函数的递增区间. 【详解】当时，在上单调递增，且 当时，在上单调递增，且时，， 所以函数在上单调递增， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题. 【题型7 由单调性求参数的取值范围】 1．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和对数函数性质即可得到不等式组，解出即可. 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 2．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；的部分利用二次函数的性质即可判定；分段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 5．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 6．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】根据题目条件得到函数在上单调递减，由分段函数的单调性得到不等式组，进而求得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减， 则要满足，解得，故． 故选：BC． 【题型8 利用函数单调性解决问题-比较大小】 1．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法1  设幂函数为，将代入得，所以在上为增函数，又，所以，即，故． 解法2（特殊值法）  同解法1知幂函数为，不妨设，，则有，，，，从而可得C正确． 2．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，进而可得，求得可判断AB；求得可判断CD. 【详解】由得，，三式相加得， ， 即，又，所以，则， 所以 故A，B错误； ，故C正确，D错误. 故选：C． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 4．已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可. 【详解】当时，， 所以是为偶函数． 又， 当时，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， ， 又， ， 所以， 故选：A 5．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而利用单调性比较大小. 【详解】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C 【题型9 利用函数单调性解决问题- 解不等式】 1．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可. 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 3．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 4．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，两种情况，结合函数性质求解即可. 【详解】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为， 当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数， 所以在区间上也为单调递减函数， 因为时，， 所以的解为， 综上，不等式的解集为. 故选：D 5．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为 ， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．已知函数，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将化为，由奇偶性把化为，再根据单调性得，解此不等式取交集得范围. 【详解】显然的定义域为， 因为 ，所以为偶函数． 又， 令，令，，则，且在上单调递增， 当时，，又在单调递增，所以在单调递增； 当时，，又在单调递减，所以在上单调递减， （也可利用定义求证单调性） 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，为偶函数， 所以等价于， 所以，故，则，即或， 得或. 综上，m的取值范围为. 故选：C． 【题型10 函数奇偶性的判断】 1．下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可. 【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误. 对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确. 故选:D. 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， 因为，，故， 所以，函数不是奇函数，A不满足； 对于B选项，对于函数，由可得，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，故函数为奇函数， 因为内层函数在上单调递减， 外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足； 对于C选项，函数的定义域为，， 故函数为偶函数，C不满足； 对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 因为， 内层函数为增函数，外层函数在上为增函数， 所以，在定义域上为增函数，D满足. 故选：D. 3．已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数图象判断即可. 【详解】 对于A选项：如图，不符， 对于B选项：如图，符合， 对于C选项：如图，不符， 对于D选项：如图，不符， 故选：B. 4．下列函数是偶函数的是（   ） A．B． C．D． 【答案】AB 【详解】在A中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在B中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在C中，的定义域关于原点对称，且，则是奇函数；在D中，的定义域关于原点对称，，则，则是奇函数． 5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性. 【详解】设，，， 对于A项，易知定义域为R， 且，所以为偶函数. 根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确； 对于B项，定义域为R， 且，所以不是偶函数.故B错误； 对于C项，定义域为， 且. 当时，在上单调递增.故C正确； 对于D项，定义域为， 且，所以为奇函数.故D错误. 故选：AC. 【题型11 函数奇偶性的应用-求解析式（参数或值）】 1．若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，故． 2．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则，求出，再根据函数为奇函数即可得解. 【详解】令，则，由已知可得， 因为为奇函数，所以， 所以当时，． 故选：B． 3．已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即 ，. 即. 故选：C 4．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义，直接求函数解析式. 【详解】由函数为偶函数， 得当时，，， 故选：D. 【题型12函数奇偶性的应用-奇偶性与单调性】 5．已知是定义在上的偶函数，函数满足，且、在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递淢 D．在单调递减 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可. 【详解】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减. 设，则，， 所以在单调递增，故A错误， 设，则，， 所以在单调递增，故B错误； 设，则，， 所以在单调递减，故C正确； 取，则，，， 此时在不单调递减，故D错误. 故选：C. 6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得，进而求出，结合二次函数在区间上单调性求出参数即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，故. 所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 又在上单调，则或， 解得或，即实数的取值范围为. 故选：D 7．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【题型13 函数的奇偶性与最值】 1．已知是偶函数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得，再由利用导数求得函数单调性可得其最大值. 【详解】因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 易知定义域为，即，因此的解集为； 即可得，所以； 此时， 经检验满足，符合题意； 此时的定义域为，且， 易知当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 可知在处取得极大值，也是最大值，即； 所以的最大值为. 故答案为： 2．已（）是奇函数，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】首先由奇偶性求得，则，由正弦函数的性质可得最大值. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，由于，所以， 所以， 所以的最大值为2， 故答案为：2. 3．若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】由对勾函数性质以及奇函数性质即可得解. 【详解】由题意知，当时，在时取到最小值， 则由奇偶性可知函数在上的最大值为. 故答案为：. 4．函数在区间上的最大值为 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性可得为偶函数，利用导数求解上的单调性，即可求解最值. 【详解】因为，所以为偶函数， 当时，，. 易知当时，，，则， 所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 根据偶函数的性质可知，函数在区间上的最大值为. 故答案为： 5．偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】因为是偶函数，则，则， 又在区间上的最大值为，且当时，， 所以，解得， 故答案为：. 6．如果奇函数在区间上单调递减且最大值为5，那么函数在区间上最小值 . 【答案】 【分析】直接利用奇函数的对称性与单调性即可得出所求的答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递减且最大值为5， 根据奇函数关于原点对称， 所以在区间上单调递减且最小值为. 故答案为：. 【题型14 函数图像的对称性】 1．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【详解】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 2．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对称性逐项判断即得. 【详解】令函数，， 对于A，，，，A错误； 对于B，，，，B错误； 对于C，点在的图象上，而，即点不在的图象上，C错误； 对于D，，，两个函数图象关于原点中心对称，D正确. 故选：D 3．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用函数对称性的定义、奇偶性的定义结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，且函数的定义域为， 则，即， 设，则函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 4．已知满足，且当时， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性结合累加法可求函数值. 【详解】由，可知函数图像关于对称， 又，由累加法可得： ， 又， 所以， 故选：B 5．函数的图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性判断即可. 【详解】记， 因为， 所以函数的图象的对称轴是直线. 故选：D 【题型15 函数的周期性】 1．若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由函数是周期为3的周期函数，计算的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，， ， 所以． 故选：B. 2．已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得的值. 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 则，故， 所以，函数是周期为的周期函数，由奇函数的性质可得， 所以，，， 因此，. 故选：D. 3．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，结合函数为偶函数，且，得到，可则是周期为的函数，令，求得，结合，即可求解. 【详解】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 4．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 【题型16 函数的奇偶性，对称性与周期性】 1．已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 2．定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【答案】BD 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 3．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题可知函数关于点对称，又函数关于直线对称可得函数也关于对称，即，进而可得呈周期递增，再根据已知部分解析式得到的图像，根据图像求切线可确定AB选项，然后根据周期变化可求函数值判断CD选项. 【详解】，即 关于点对称，，又曲线的图象关于直线对称，所以也关于点对称，即结合可得，即，所以函数呈周期性变化， 又曲线的图象关于直线对称，时，，则时，，又， 时，则，， 又关于直线对称，时，， 根据题意可作出函数图像如下： 根据图像可知函数在两条斜率为1的直线之间，设下面一条直线方程为：与相切，，切点为， 此时切线方程为：，又因为，所以 ，故A正确； 通过对称可得，故B正确； 由，所以，故C错误； ，，故D正确； 故选：ABD. 4．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D. 【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误； 对于B：因为为奇函数， 所以， 由，可得：， 所以，即， 所以，偶函数，正确； 对于C：由， 可得，所以是周期为3的周期函数，正确； 对于D，， 所以， 由周期性可得： 故选：BCD 5．已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判断即可. 【详解】令，则，解出，故A正确； 令，则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 因为所以令可得， 即， 又因为是偶函数所以，即， 整理可得：， 令，可得，即， 整理得，所以是函数的一个周期，故C正确； 因为所以令可得， 又因为是偶函数且周期为，所以， 因为， 当为奇数，根据周期性可知， 当为偶数，根据周期性可知，故，故D错误. 故选:ABC 【题型17 函数的对称性，周期性与的单调性】 1．设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．点为曲线的对称中心 D． 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的概念可判断A；由为奇函数，知，从而结合，可得的值，即可判断B；根据复合函数求导结合函数的对称性即可得判断C；根据函数的奇偶性、对称性可得的周期性，由周期性可得的值，即可判断D. 【详解】A.在中，令，得，所以，故是奇函数，A正确； B.由定义域为，且为奇函数，知， 在中，令，得，B错误； C.因为，所以，故， 又因为，所以，即， 所以点为曲线的对称中心，C正确； D. 因为是奇函数，所以，故，即是偶函数， 由得，，故，即的周期为4， 因为，所以，即， 在中，令，得， 所以，D正确. 故选：ACD. 2．已知函数，则（   ） A．曲线的图象与轴有交点 B．当时，在处有极大值 C．存在，使得是曲线的对称中心 D．当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 【答案】ABD 【分析】利用函数零点的定义可判断A选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；由，得，设，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为，所以曲线的图象与轴有交点，A正确； 对于选项B，当时，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以在处有极大值，B正确； 对于选项C，若是曲线的对称中心，则， 等式两边求导得，即， 所以函数的图象关于直线对称，即，可得， 此时， 因为 ， 所以，此时函数的图象关于点对称，不合乎题意，所以C错误； 对于选项D，当时，， 由，得， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 所以当时，取得最小值，即，且， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图像有两个不同的交点， 此时曲线与曲线在上有两个交点，D正确． 故选：ABD. 一、单选题 1．已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，函数在上为减函数，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是． 故选：D. 2．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得． 4．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数求解单调性即可得解. 【详解】设，则， 当时，，故在单调递减， 因此，故， 故选：B. 6．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 7．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 8．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（   ） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 【答案】A 【分析】由题及奇函数性质可得，进而可得，，…，据此可得答案. 【详解】因为函数是上的奇函数且是严格增函数， 所以，且当时，； 当时，． 因为数列是等差数列，，故． 再根据，所以， 则，所以． 同理可得，，…， 所以 . 故选：A 9．已知函数 为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 10．设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，再求证，即可结合对称性得出求出值. 【详解】令函数， 可得 ， 即，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得. 故选：C. 二、多选题 11．已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．的一个周期为6 D．是的一个对称中心 【答案】BCD 【分析】令，解得判断A，再令结合偶函数定义分析判断B；计算得出对称中心判断D，再分析可知是以6为周期的周期函数判断C. 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B：令，则， 即，可知是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，，当时，，故， 当时，，故， 当时，，又，故， 当时，， 所以，是的一个对称中心，故D正确； 对于选项C：因为，即，即，则， 所以，故是以6为周期的周期函数，故C正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 13．函数的定义域为 . 【答案】； 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14．设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 15．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可. 【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数， 且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值. 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 16．设函数，则 . 【答案】 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，可得 ，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故答案为：6. 17．若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 18．若函数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得. 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. 19．函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由定义代入，可求出的值，代入可求出对应的的值，根据题意对不等式变形可得，根据单调性可列出关于的不等关系，结合定义域可求出结果. 【详解】解：令，则有，所以， 因为，所以，所以， 不等式等价于， 函数是定义在上的严格减函数，则， 即，又，且，所以. 故答案为： 20．设函数，则满足的x取值范围是 . 【答案】 【分析】设，研究函数的奇偶性和单调性，利用函数性质，将函数不等式转化为代数不等式，即可求解. 【详解】令函数，函数定义域为R， ，函数是奇函数， 因为，当时取等号，因此函数在R上单调递增， 不等式可转化为， 即， 则，解得. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03函数的概念及其性质（十八大题型十大易错题） 【题型1 函数的定义域】 1．集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 5．函数的定义域为 ． 【题型2 函数的解析式】 1．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 2．已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 3．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 4．已知函数满足，求函数的解析式． 【题型3 分段函数求值】 1．已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 2．已知函数则（   ） A． B．100 C．2 D．1 3．已知，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 4．设函数则（    ） A． B．1 C． D．5 5．已知函数，且若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 分段函数与方程，不等式】 1．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型5 函数单调性的判断与证明】 1．设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 2．已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【题型6 求函数的单调性】 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 3．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的单调递增区间是 ． 【题型7 由单调性求参数的取值范围】 1．已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 . 6．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 利用函数单调性解决问题-比较大小】 1．设幂函数的图象经过点．若，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数满足：，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型9 利用函数单调性解决问题- 解不等式】 1．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A．B． C． D． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A．B．C．D． 3．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型10 函数奇偶性的判断】 1．下列函数中，值域为且为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数是偶函数的是（   ） A．B． C．D． 5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【题型11 函数奇偶性的应用-求解析式（参数或值）】 1．若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型12函数奇偶性的应用-奇偶性与单调性】 5．已知是定义在上的偶函数，函数满足，且、在单调递减，则（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递淢 D．在单调递减 6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【题型13 函数的奇偶性与最值】 1．已知是偶函数，则的最大值为 . 2．已（）是奇函数，则的最大值为 ． 3．若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 4．函数在区间上的最大值为 5．偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 6．如果奇函数在区间上单调递减且最大值为5，那么函数在区间上最小值 . 【题型14 函数图像的对称性】 1．已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．函数与的图象关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．直线对称 D．原点中心对称 3．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知满足，且当时， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【题型15 函数的周期性】 1．若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 2．已知是定义域为的奇函数，且，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 4．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型16 函数的奇偶性，对称性与周期性】 1．已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 2．定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 3．已知函数的定义域为，且，曲线的图象关于直线对称．若时，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是周期为3的周期函数 D． 5．已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 【题型17 函数的对称性，周期性与的单调性】 1．设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（   ） A．是奇函数 B． C．点为曲线的对称中心 D． 2．已知函数，则（   ） A．曲线的图象与轴有交点 B．当时，在处有极大值 C．存在，使得是曲线的对称中心 D．当时，若曲线与曲线在上有两个交点，则 一、单选题 1．已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A．B．C．D． 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 7．若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在上的严格增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（   ） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负 9．已知函数 为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 10．设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ） A．0 B． C． D． 二、多选题 11．已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（   ） A． B．为偶函数 C．的一个周期为6 D．是的一个对称中心 三、填空题 12．函数的定义域为 ． 13．函数的定义域为 . 14．设函数若，则实数 ． 15．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ． 16．设函数，则 . 17．若函数，则 ． 18．若函数满足，则 ． 19．函数是定义在上的严格减函数，对任意，满足，且，则不等式的解集为 ． 20．设函数，则满足的x取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$