专题02 等式与不等式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题02 等式与不等式 【考点1 比较数（式）的大小】 【考点2 不等式的性质】 【考点3 不等式性质的综合应用】 【考点4 直接利用基本不等式】 【考点5 变形用基本不等式求最值】 【考点6 基本不等式的实际应用】 【考点7 一元二次不等式的求解】 【考点8 一元二次不等式恒成立问题】 知识点1不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a． （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c． （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c． （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc． （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． （7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 知识点2两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点3 基本不等式 （1）基本不等式：≤． （2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0． （3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． （4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点4 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同号)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 知识点5 三个“二次”的关系 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 知识点6 分式不等式与绝对值不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． （2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． （3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 【考点1 比较数（式）的大小】 (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法,不等式性质法、函数单调性法、中何量法、特殊值法 (2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商)，变形,定号，得出结论. 【典例1】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点2 不等式的性质】 解决不等式有关问题常用的三种方法: (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件; (2)利用特殊值法排除错误答案; (3)构造函数,利用函数的单调性判断、 【典例2】（2025·北京房山·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 不等式性质的综合应用】 求代数式的取值范围需注意两点: (1)严格运用不等式的性质; (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围 【典例3】多选题（2025·湖北·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】多选题（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】多选题（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【考点4 直接用基本不等式】 利用基本不等式比较大小,主要有两个思路! 一：是直接建立不等关系比较大小; 二：是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小 【典例4】多选题（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】多选题（23-24高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【变式4-2】多选题（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【考点5 变形用基本不等式求最值】 【题型1】 配凑法 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为:-“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解. 【典例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【变式5-1】（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型2】 常数代换法 常数代换法主要解决形如“已知x十y=t(t为常数)，求的最值”的问题,通常先将转化为。再用基本不等式求最值。 【典例6】（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【变式6-1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式6-2】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【变式6-3】（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 【题型3】 消元法求最值 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解。 【典例7】（2025·河南·模拟预测）已知正数满足，则当取得最大值时，（    ） A． B．4 C． D． 【考点6基本不等式的实际应用】 有关函数的最值实际问题的解题技巧： (1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值； (2) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解。 【典例8】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【变式8-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【变式8-2】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【考点7一元二次不等式的求解】 【题型1】不含参的不等式 解一元二次不等式的一般步骤是: ①化为标准形式(a>0); ②确定判别式△的符号,若△>0,则求出该不等式对应的-元二次方程的根,若△<0,则对应的一元二次方程无根: ③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集。 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【变式9-1】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【题型2】含参的不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类; (2)根据判别式与0的关系判断对应一元二次方程根的个数; (3)对应的一元二次方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论。 【典例10】（2026高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集： ． 【变式10-1】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设． (1)若，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【题型3】二次复合含参不等式 对于复合指数(对数)不等式，可通过换元法，转化为一元一次不等式后求解。需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响 【典例11】（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.当时，求不等式的解集. 【考点8 一元二次不等式恒成立问题】 【题型1】在R上的恒成立问题 （1）若关x的不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立，则满足 （2）若关x的不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）恒成立，则满足 （3）若关x的不等式ax²+bx+c＞0恒成立，则首先考虑a=0时是否满足 【典例12】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【变式12-3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】在给定区间上的恒成立问题 (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题，即f(x)>(x∈[a,b])恒成立等价于 ≥0(x∈[a,b]),f(x)<(x∈[a,b])恒成立等价于≤0(x€[a ,b]) (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离不等式的两端,则可避免分类讨论，直接求出参数的范围 【典例13】（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【变式13-1】（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【题型3】给定参数范围的恒成立问题 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范目情况下的恒成立问题时，一定要搞清谁是变换后的主元，贵0.是变换后的参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变换后主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数 【典例14】若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则实数m的取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 5．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 三、填空题 12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式 【考点1 比较数（式）的大小】 【考点2 不等式的性质】 【考点3 不等式性质的综合应用】 【考点4 直接利用基本不等式】 【考点5 变形用基本不等式求最值】 【考点6 基本不等式的实际应用】 【考点7 一元二次不等式的求解】 【考点8 一元二次不等式恒成立问题】 知识点1不等式的性质 （1）对称性：a>b⇔b<a． （2）传递性：a>b，b>c⇒a>c． （3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c． （4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc． （5）同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． （6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． （7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 知识点2两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 知识点3 基本不等式 （1）基本不等式：≤． （2）基本不等式成立的条件：a>0，b>0． （3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． （4）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 知识点4 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． （2）＋≥2(a，b同号)． （3）ab≤ (a，b∈R)． （4）≥(a，b∈R)． 知识点5 三个“二次”的关系 判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 知识点6 分式不等式与绝对值不等式 （1）>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． （2）≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． （3）|x|>a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a,a)． 【考点1 比较数（式）的大小】 (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法,不等式性质法、函数单调性法、中何量法、特殊值法 (2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商)，变形,定号，得出结论. 【典例1】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 【变式1-1】（2024·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 【变式1-2】（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得. 【详解】由可得 因 ， 又，故,即； 因，则由， 由函数，，因时，， 即函数在上单调递减，则有，故得； 由，而，即， 综上，则有. 故选：B. 【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法， （1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断； （2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较； （3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断. 【变式1-3】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较. 【详解】 所以. 故选：C. 【考点2 不等式的性质】 解决不等式有关问题常用的三种方法: (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件; (2)利用特殊值法排除错误答案; (3)构造函数,利用函数的单调性判断、 【典例2】（2025·北京房山·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可． 【详解】对于A选项：举反例可知不成立； 对于B选项： 举反例可知不成立； 对于C选项：， 因为，所以，而且不同时为0， 故，即，正确； 对于D选项： 举反例可知不成立； 故选：C． 【变式2-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期末）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD通过分析符号可完成判断； B由基本不等式可判断选项正误； C由做差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负， 当为负数时，，则A错误； 对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确 对于C，，故C错误； 对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误； 故选：B 【考点3 不等式性质的综合应用】 求代数式的取值范围需注意两点: (1)严格运用不等式的性质; (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围 【典例3】多选题（2025·湖北·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作差比较可判断A；构造函数，利用导数求单调性可判断B；作商比较，结合基本不等式可判断C；构造函数，利用导数判断单调性可判断D. 【详解】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 【变式3-1】多选题（2025·河北廊坊·模拟预测）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先由对数函数的单调性得，利用作差法即可判断AB，构造函数即可判断C，构造函数，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】因为在为增函数，由有， 对于A：由，因为，所以，故A正确； 对于B：由，当时，，即，故B错误； 对于C：令，可知在上单调递增，由有，故C正确； 对于D：令，则，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，故D错误. 故选：AC. 【变式3-2】多选题（2025·河南·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为 是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为 在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 【考点4 直接用基本不等式】 利用基本不等式比较大小,主要有两个思路! 一：是直接建立不等关系比较大小; 二：是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小 【典例4】多选题（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，，当且仅当，等号成立，则，故A正确； 对于B，由，则，由，则， 所以，故B错误； 对于C，，当且仅当，等号成立，故C正确； 对于D，由B易知，当且仅当，等号成立，则，故D正确. 故选：ACD. 【变式4-1】多选题（23-24高一上·河北·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 【变式4-2】多选题（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）有下面四个不等式，其中恒成立的有（　　） A． B． C． D．若，则 【答案】CD 【分析】举反例说明A错误，举反例说明B错误，根据重要不等式证明C，根据基本不等式证明D. 【详解】对于A，若，，， 当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，取可得，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，D正确； 故选：CD． 【考点5 变形用基本不等式求最值】 【题型1】 配凑法 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为:-“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解. 【典例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 【变式5-1】（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 【题型2】 常数代换法 常数代换法主要解决形如“已知x十y=t(t为常数)，求的最值”的问题,通常先将转化为。再用基本不等式求最值。 【典例6】（2025·河北·三模）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．9 【答案】C 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值. 【详解】由，得， 当且仅当时取等号得出最小值4， 故选：C. 【变式6-1】（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 【变式6-2】（2025·山东·模拟预测）设正实数满足，则的最小值为（   ） A． B．17 C． D．16 【答案】C 【分析】代入，再由基本不等式即可求解； 【详解】由题意知， 当且仅当，即时，等号成立． 因此，的最小值为． 故答案为：C 【变式6-3】（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 【答案】16 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16 【题型3】 消元法求最值 消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解。 【典例7】（2025·河南·模拟预测）已知正数满足，则当取得最大值时，（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得得，代入可得，设对右侧进行换元，再结合基本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件. 【详解】由，得， ， ，， 令， 则， 当且仅当，即时取等号，此时． 故选：D． 【考点6基本不等式的实际应用】 有关函数的最值实际问题的解题技巧： (1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值； (2) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； (3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围； (4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解。 【典例8】（2024·广东中山·模拟预测）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 【变式8-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 【变式8-2】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【考点7一元二次不等式的求解】 【题型1】不含参的不等式 解一元二次不等式的一般步骤是: ①化为标准形式(a>0); ②确定判别式△的符号,若△>0,则求出该不等式对应的-元二次方程的根,若△<0,则对应的一元二次方程无根: ③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集。 【典例9】（2025高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 【变式9-1】解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）（2）由不含参的一元二次不等式的解法求解集； （3）由分式不等式得，解不含参的一元二次不等式求解集. 【详解】（1）由，得不等式的解集为． （2），得不等式的解集为或 （3）不等式等价于，解得，解集为. 【题型2】含参的不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有: (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类; (2)根据判别式与0的关系判断对应一元二次方程根的个数; (3)对应的一元二次方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论。 【典例10】（2026高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集： ． 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小关系分类讨论求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【变式10-1】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）设． (1)若，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)4； (2)答案见解析； 【分析】（1）由，应用基本不等式求其最小值； （2）由题设有，讨论参数m并解一元二次不等式求解集. 【详解】（1）由，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. （2）由题设，则， 若，则，即，解集为； 若，则，解集为； 若，则， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为； 时解集为； 时解集为； 时解集为. 【题型3】二次复合含参不等式 对于复合指数(对数)不等式，可通过换元法，转化为一元一次不等式后求解。需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响 【典例11】（24-25高一上·山东临沂·阶段练习）已知函数，且为常数． (1)当时，求的解集； (2)当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【详解】（1）时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； （2）， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 【变式11-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.当时，求不等式的解集. 【答案】 【分析】令，则，再由，解不等式即可； 【详解】因为， 令，则， 当时，， 即，即， 由，解得， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 【考点8 一元二次不等式恒成立问题】 【题型1】在R上的恒成立问题 （1）若关x的不等式ax²+bx+c＞0（a≠0）恒成立，则满足 （2）若关x的不等式ax²+bx+c＜0（a≠0）恒成立，则满足 （3）若关x的不等式ax²+bx+c＞0恒成立，则首先考虑a=0时是否满足 【典例12】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 【变式12-1】（2024·河南·模拟预测）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题.对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于，则需要考虑其判别式的取值范围. 【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“”为真命题. 对于一元二次函数，要使其对于任意实数都大于等于. 因为恒成立，所以，即，解得. 故选：A. 【变式12-2】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 【变式12-3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 【题型2】在给定区间上的恒成立问题 (1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题，即f(x)>(x∈[a,b])恒成立等价于 ≥0(x∈[a,b]),f(x)<(x∈[a,b])恒成立等价于≤0(x€[a ,b]) (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离不等式的两端,则可避免分类讨论，直接求出参数的范围 【典例13】（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【详解】可以将不等式的左边视为一元二次函数，对函数求导，判断函数的单调区间，保证该函数在内的最小值大于等于0，就能满足题意，此时可求出的取值范围，进而得出其最小值.根据已知条件，令对任意的成立. 对函数求导得：. 当时，，即， 此时，该函数在上单调递增； 当时，，即， 此时，该函数在上单调递减. 若，即时，该函数在上单调递增，在上单调递减. 此时函数在内的最小值为. 解得：，因为， 所以此时的范围为：. 若，即时，该函数在上的最小值为，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式13-1】（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解. 【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题， 不妨设，其开口向上，对称轴方程为， 则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论： 情形一：当即时，在上单调递增， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有，只需， 解不等式组得， 故此时满足题意的实数的范围为； 情形三：当即时，在上单调递减， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【题型3】给定参数范围的恒成立问题 利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范目情况下的恒成立问题时，一定要搞清谁是变换后的主元，贵0.是变换后的参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变换后主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数 【典例14】若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解. 【详解】由题得不等式对任意成立， 所以， 即， 解之得或. 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解. 【变式14-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，若，则实数m的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】解不等式，即， 即， 又，， 故在上恒成立， 即在上恒成立，而在上单调递减， 故，故， 即实数m的取值范围为， 故选：B 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解法，求得，结合，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得，所以， 因为且，则满足. 故选：C. 3．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 5．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即，解得或， 所以或，因为且， 若时，若时，不符合题意，所以， 则或，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 6．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再对式子变形，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】函数，，其图象的对称中心为点， 代入直线方程得． 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9． 故选：D 7．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得最值. 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 二、多选题 9．（2025·河南·三模）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 10．（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，因为，即，解得， 又，即，解得，所以，故A符合题意； 对于B，令，则，代入，可得， 展开可得，由可得， 即，故B不符合题意； 对于C，表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线方程为，即， 由圆心到直线的距离可得， 即，即不存在符合题意的，故C符合题意； 对于D，由可得，则， 令，则，所以， 且函数在上单调递增，所以，即， 即不存在符合题意的，故D符合题意； 故选：ACD 11．（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D. 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6，故B错误； 因为，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为2，故C错误； 可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$