专题02 等式与不等式（十四大题型五大易错题）（题型专练+易错精练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题02 等式与不等式（十四大题型五大易错题） 【题型1】 比较数（式）的大小 1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 不等式的性质 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 2．多选题（24-25高三下·海南·阶段练习）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．多选题（2025·海南·三模）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】 不等式性质的综合应用 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 . 4．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【题型4】 直接用基本不等式 1．多选题（2024·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 2．多选题（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．多选题（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 4．多选题（2025·重庆·模拟预测）若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】 变形用基本不等式求最值-配凑法 1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 2.（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【题型6】变形用基本不等式求最值-常数代换法 1．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 3．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 4．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 6．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ． 【题型7】变形用基本不等式求最值-消元法求最值 1．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 【题型8】 基本不等式的实际应用 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【题型9】一元二次不等式的求解-不含参的不等式 1．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25高一上·北京·期中）求不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. (1)； (2)； (3). 4．（24-25高一上·广西南宁·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【题型10】一元二次不等式的求解-含参的不等式 1．（2024高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 2．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【题型11】一元二次不等式的求解-二次复合含参不等式 1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型12】一元二次不等式恒成立问题-在R上的恒成立问题 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型13】一元二次不等式恒成立问题-在给定区间上的恒成立问题 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 . 6．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【题型14】一元二次不等式恒成立问题-给定参数范围的恒成立问题 1．若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（13-14高一下·安徽安庆·期中）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 1．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 5．多选题已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．设为实数，则不等式的解集是 . 7．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为 ． 8．已知，，则的最小值为 . 9．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式（十四大题型五大易错题） 【题型1】 比较数（式）的大小 1．（2025·四川成都·三模）已知实数，满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，即有同号或，结合不等式的性质判断各项的正误. 【详解】两边取对得，则且，即同号或， 所以，当时，不成立，A错； 由，B对； 由，若时，，C错； 由，且， 当时，，此时，D错. 故选：B 2．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案. 【详解】因为函数在R上单调递增，所以． 又，所以． 因为，故在上单调递减， 所以，所以， 所以实数的大小关系为， 故选：B． 4．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用常见的不等式，估计出的范围，精确估计出，然后利用作商法比较大小. 【详解】先证明两个不等式： （1），设，则 ，即在上单调递减，故 ，即成立 （2），设，则 ，即在上单调递增，故 ，即成立 再说明一个基本事实，显然，于是. 由（1）可得，取，可得； 由（2）可得，取，可得，再取，可得，即. ，显然，于是； ，显然，于是.故. 故选：B 【题型2】 不等式的性质 1．（2025·浙江杭州·二模）已知，为任意正数，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到即可求解. 【详解】因为对任意的正数，恒成立， 所以，又，所以，所以. 故选：A 2．多选题（24-25高三下·海南·阶段练习）已知，则下列各选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用作差法判断A；举例说明判断BD；利用不等式性质判断C. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误． 故选：AC 3．多选题（2025·海南·三模）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值判断； 【详解】对于A，由函数单调递增，可知当，正确； 对于B，取，可得，错误； 对于C，取，显然不成立，错误； 对于D， 等价于，由指数函数单调递增可知：当，，所以成立，正确； 故选：AD 【题型3】 不等式性质的综合应用 1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质即可得解. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：D. 3．（2025·广东中山·一模）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式可化为，再进一步化为一元二次不等式进行求解即可. 【详解】将不等式可化为， 由不等式可得，即，求解得：或； 由不等式可得，即，求解得：或； 综上：. 故答案为：. 4．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 【题型4】 直接用基本不等式 1．多选题（2024·四川攀枝花·一模）已知实数，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.由条件可知，，则，故A正确； B.，当且仅当时等号成立，故B正确； C. ，当时等号成立，故C错误； D.因为，，故D正确. 故选：ABD 2．多选题（2025·山东聊城·二模）已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】A举反例；B利用基本不等式即可；C作差法；D举反例. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 3．多选题（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式计算可得A正确，将表达式参数化利用三角函数值域计算可得B正确，将表达式化简计算可得，解不等式可得，即可得C错误，D正确. 【详解】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：在求解的取值范围时关键在于利用表达式特征，将等式参数化并利用辅助角公式计算即可得出结论. 4．多选题（2025·重庆·模拟预测）若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平方不等式可判断选项A、B，利用判别式法可判断选项C、D. 【详解】由平方不等式可得：，代入， 则，取等号条件是，故A正确；B错误； 令， 则， 由于存在满足上式成立，则， 即，故D正确，C错误； 故选：AD. 【题型5】 变形用基本不等式求最值-配凑法 1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 2.（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当即时等号成立. 故选：C. 【题型6】变形用基本不等式求最值-常数代换法 1．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为8. 故选：D. 3．（2024·江苏宿迁·一模）若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值． 【详解】由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：A 4．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】 （当且仅当，时取等号）. 故选:C. 5．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】将目标代数式通过1的代换变形为积为定值的形式，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为 ， 当且仅当时，即等号成立. 故答案为：1． 6．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是9. 故答案为：9. 【题型7】变形用基本不等式求最值-消元法求最值 1．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4 【题型8】 基本不等式的实际应用 1．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）近年来，贵州省旅游以其高性价比、真诚热情的服务、独特的文化、优美的风光和颇具当地特色的商品受到全国各地游客的青睐.为满足游客需要，某纪念品加工厂计划在2025年改革生产技术，通过市场调查发现：生产纪念商品首先需投入固定成本12万元，之后每生产x（千件）纪念商品，需另投入成本（万元）.且由市场调研知每件纪念商品售价90元，且该厂所生产的纪念商品均供不应求. (1)求出利润（万元）关于产量x（千件）的表达式； (2)当产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为10（千件），最大利润是8万元. 【分析】（1）根据题意，由条件即可得到利润关于产量的关系式； （2）由二次函数的值域即可得到的最值，再结合基本不等式代入计算，即可得到时的最值. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，，即， 当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元， 因为，所以年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元. 【题型9】一元二次不等式的求解-不含参的不等式 1．（24-25高一上·广东茂名·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （3）根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】（1）由可得，，解得． 原不等式的解集为． （2）因为，所以， 因为无解，所以， 即原不等式的解集为； （3）不等式可化为，即，整理可得． 等价于，解得或． 原不等式的解集为或. 2．（24-25高一上·北京·期中）求不等式的解集． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）分、两种情况解原不等式即可得解； （3）由所求不等式变形得出，由正弦函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）由可得，解得， 故原不等式的解集为. （2）对于不等式， 当时，即当时，原不等式恒成立； 当时，即当时，由可得， 可得，解得或，此时，或， 因此，原不等式的解集为. （3）由可得， 可得，解得， 因此，原不等式的解集为. 3．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）（3）根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由，得，即，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为. 对于方程，因为， 所以二次函数的图象开口向上，与轴无交点， 如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为. （3）原不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 4．（24-25高一上·广西南宁·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）因式分解可得，解出即可得； （2）去掉绝对值后可得，解出即可得. 【详解】（1）， 故或， 即该不等式解集为或； （2）由可得，解得， 即该不等式解集为. 【题型10】一元二次不等式的求解-含参的不等式 1．（2024高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1){或} (2)答案见解析 【分析】（1）移项、通分，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【详解】（1）由，得，解得或， 故不等式的解集为{或}； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为{或}； ②若，则，原不等式的解集为{或}. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{或}； 当时，原不等式的解集为{或}. 2．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，和三种情况，在时，再分三种情况，求出不等式解集. 【详解】①当时，原不等式化为，解得． ②当时，原不等式化为，解得或． ③当时，原不等式化为. 当，即时，解得； 当，即时，解得满足题意； 当，即时，解得． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【题型11】一元二次不等式的求解-二次复合含参不等式 1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围. 【详解】设，则， 原命题等价于：任意，使为真命题， 所以，其中 设， 则 函数，的最大值为与中的较大者， 所以， ∴，解得， 故选：C. 【题型12】一元二次不等式恒成立问题-在R上的恒成立问题 1．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可. 【详解】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 4．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 【题型13】一元二次不等式恒成立问题-在给定区间上的恒成立问题 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 2．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参. 【详解】因为p为假命题，所以，为真命题， 故当时，恒成立． 因为当时，的最小值为， 所以，即a的取值范围为． 故选：A. 3．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可. 【详解】由复合而成. 而单调递增，只需要单调递减. 且在上恒成立.则即可，解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意分离参数，进而构造函数求定区间的最值即可. 【详解】当时，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则， 令，则在单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 5．（2023·湖北黄冈·模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解. 【详解】因为“使”为假命题， 所以“，”为真命题， 其等价于在上恒成立， 又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 而，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 【题型14】一元二次不等式恒成立问题-给定参数范围的恒成立问题 1．若不等式对任意恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解. 【详解】由题得不等式对任意成立， 所以， 即， 解之得或. 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解. 2．（13-14高一下·安徽安庆·期中）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围 【详解】对任意，函数的值恒大于零 设，即在上恒成立. 在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段. 则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数，将问题转化为在上恒成立，从而得到，属于中档题. 1．设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 2．若，且则的最小值为（   ） A．20 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式得或，再根据基本关系判定即可得答案. 【详解】解不等式得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．无最小值 【答案】C 【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8． 故选：C． 5．多选题已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 6．设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 7．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】画出满足条件的平面区域，目标函数可化为，显然直线过时，最大，求出的值即可． 【详解】画出满足条件的平面区域，如图示： ， 目标函数转化可得：， 显然直线过时，最大， 的最大值是8． 故答案为：8． 8．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 9．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】(1) (2)设备占地面积为时，y的值最小 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. （2）， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$