专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题01 集合与常用逻辑用语 【考点1 集合的概念】 【考点2 集合的基本关系】 【考点3 集合的基本运算】 【考点4 充分条件与必要条件的判段】 【考点5 充分条件与必要条件的判段】 【考点6 全称量词与存在量词】 知识点1 集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． （2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集的记法． 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A． （2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． （4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 记忆：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个 知识点3 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点5 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点6 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点1 集合的含义和表示】 解决集合含义问题的关键有三点． （1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【典例1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无穷多个 【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点2 集合的基本关系】 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【典例2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025·重庆·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【考点3 集合的基本运算】 【题型1】 集合的运算 对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及 Venn 图求解. 【典例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R 【变式3-1】（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A．B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖北·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·浙江温州·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【题型2】 集合中的求参问题 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到 (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 【典例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】（24-25高三下·山东德州·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 集合语言的运用 （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图 【典例6】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为 . 【变式6-1】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【考点4 充分条件与必要条件的判断】 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 【典例7】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-1】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-2】（2025·浙江·二模）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-4】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点5 充分条件与必要条件的应用】 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【典例8】（2025·江西·二模）“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【考点6全称量词与特称量词命题】 【题型1】 全称量词与存在量词命题的真假判断 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 【典例9】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式9-1】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【题型2】含有一个量词的命题否定 全称量词命题与存在量词命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写; ②否定结论:对原命题的结论进行否定. 【典例10】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【变式10-2】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）若命题，，则命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3】含量词命题的应用 根据命题的真假求参数的一般步: (1)根据题目条件,推出每一个的一假(省时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 【典例11】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 6．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·陕西汉中·三模）已知全集为，集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建龙岩·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·全国·模拟预测）已知数列为首项为1的正项等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（  ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·湖南长沙·二模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 15．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 【考点1 集合的概念】 【考点2 集合的基本关系】 【考点3 集合的基本运算】 【考点4 充分条件与必要条件的判段】 【考点5 充分条件与必要条件的判段】 【考点6 全称量词与存在量词】 知识点1 集合与元素 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． （2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． （3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集的记法． 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2 集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A． （2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． （4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 记忆：如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个 知识点3 集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 知识点4充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 知识点5 全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 知识点6 全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x) 【考点1 集合的含义和表示】 解决集合含义问题的关键有三点． （1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【典例1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【变式1-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无穷多个 【答案】C 【分析】利用指数与幂的运算性质可求解. 【详解】由，可得， 所以集合的元素个数为个. 故选：C 【变式1-2】（2024·浙江·模拟预测）已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性得，即可求解. 【详解】由于，故，又，故，有5个元素， 故选：D. 【考点2 集合的基本关系】 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【典例2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分和两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案. 【详解】①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，解得，此时，满足题意， 故选：C. 【变式2-1】（2025·河北·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，根据，即可求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，因为，则. 故选：A. 【变式2-2】（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义以及符号表示，可得答案. 【详解】由 ，则. 故选：B. 【变式2-3】（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即，解得或， 所以或，因为且， 若时，若时，不符合题意，所以， 则或，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 【变式2-4】（2025·重庆·模拟预测）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解对数不等式化简，解指数不等式化简，即可判断. 【详解】由，则，解得， 所以， 由，解得，所以， 所以. 故选：D 【考点3 集合的基本运算】 【题型1】 集合的运算 对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及 Venn 图求解. 【典例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】由，或， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式化简集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为或， 又， 所以 . 故选：A. 【变式3-2】（2025·湖北·三模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由补集的概念即可求解. 【详解】，， 故选：A． 【变式3-3】（2025·浙江温州·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解. 【详解】， 所以． 故选：C 【变式3-4】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 【题型2】 集合中的求参问题 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到 (2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. 【典例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再由列不等式可求得结果. 【详解】因为，，， 所以，或，解得，或. 故选：D. 【变式5-1】（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据交集的结果直接得出答案. 【详解】由题意知，， 因为， 所以. 故选：B 【变式5-2】（24-25高三下·山东德州·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合B，再由集合交集建立不等式得解. 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B 【变式5-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得： ， 因为 所以． 故选：D． 【变式5-4】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 【题型3】 集合语言的运用 （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图 【典例6】（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛.只参加球类比赛的人数为 . 【答案】 【分析】利用韦恩图求解． 【详解】设全班参加比赛的同学组成全集，参加径赛的同学组成集合，参加田赛的同学组成集合，参加球类比赛的同学组成集合， 设同时参加田赛和球类比赛的有人， 根据题意，画出韦恩图如图所示，    在相应的位置填上数字，则， 解得， 所以同时参加田赛和球类比赛的有人， 所以只参加球类比赛的人数为人， 故答案为：． 【变式6-1】（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 【考点4 充分条件与必要条件的判断】 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 【典例7】（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式7-1】（2025·北京·二模）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 【变式7-2】（2025·浙江·二模）“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用直线与圆相切求出，再利用充分条件、必要条件的意义判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 【变式7-3】（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出， 若，，则有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 【变式7-4】（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依次分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点5 充分条件与必要条件的应用】 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． （2）要注意区间端点值的检验． 【典例8】（2025·江西·二模）“椭圆 的焦点在 y轴”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置求出参数范围，再结合充分不必要条件的概念求解即可. 【详解】若椭圆 的焦点在y轴，则，解得. 对于A，由能推出，反之不成立，符合题意； 对于B，由不能推出，不符合题意； 对于C，显然为充要条件，不符合题意； 对于D，由不能推出，不符合题意； 故选：A 【变式8-1】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在上单调递增转化为导函数在上恒成立，利用二次函数的性质列不等式求解的取值范围，再逐项判断即可. 【详解】由题意，函数的定义域为. 由在上单调递增，得在上恒成立. 则，解得. A是充分不必要条件，B是充分必要条件，C是不充分不必要条件，D是必要不充分条件， 故选：D. 【考点6全称量词与特称量词命题】 【题型1】 全称量词与存在量词命题的真假判断 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 【典例9】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 【变式9-1】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知命题，，命题，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】依次判断两个命题的真假，即可求解. 【详解】对于命题，当时，， 当时，，所以命题是真命题； 对于命题，当时，，所以命题是真命题； 故选：A. 【题型2】含有一个量词的命题否定 全称量词命题与存在量词命题的否定: ①改写量词:确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写; ②否定结论:对原命题的结论进行否定. 【典例10】（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】由全称量词命题的否定可知， 命题的否定是， 故选：D 【变式10-1】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【详解】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）若命题，，则命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称命题否定的规则，将全称量词变为存在量词，并否定原命题的结论，从而得到命题. 【详解】的否定为，的否定为，所以命题为，． 故选：D. 【题型3】含量词命题的应用 根据命题的真假求参数的一般步: (1)根据题目条件,推出每一个的一假(省时不一定只有一种情况); (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. 【典例11】（2025·河南南阳·模拟预测）已知，若“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，再利用恒成立问题求解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 其否定为：，，而函数的值域为， 由“，”为假命题，得“，”为真命题，则， 所以的取值范围是. 故选：C 【变式11-1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 6．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7．（2025·陕西汉中·三模）已知全集为，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交并补的定义依次求解即得. 【详解】因，则，又， 则. 故选：A. 8．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 9．（2025·福建龙岩·二模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、幂函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为， 由，所以，所以， 所以， 所以. 故选：C 10．（2025·全国·模拟预测）已知数列为首项为1的正项等比数列，其前n项和为，则“”是“”的（  ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】结合等差数列通项公式和求和公式基本量的运算，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】当等比数列的公比时，，若，则，此时， 充分性不成立， 当等比数列的公比时，，则，此时，必要性也不成立， 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 11．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集. 【详解】集合， ， 则. 故选：B. 12．（2025·广东深圳·二模）在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 13．（2025·湖南长沙·二模）已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的规定，从两个方向分别推理判断即得.. 【详解】当，，则，又，则，即充分性成立； 若，，，则或，则，异面，相交均有可能，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：B 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 二、多选题 15．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 三、填空题 16．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$