专题03 函数的概念及其性质（知识串讲+热考题型+真题训练）-2026年高考数学一轮复习高频考点题型归纳与方法总结（全国通用）

专题03 函数的概念及其性质 【考点1 函数的定义域】 【考点2 函数的解析式】 【考点3 以分段函数为背景的问题】 【考点4 函数单调性的判断与证明】 【考点5 求函数的单调性】 【考点6 由单调性求参数的取值范围】 【考点7 利用函数单调性解决问题】 【考点8 函数奇偶性的判断】 【考点9 函数奇偶性的应用】 【考点10 函数图像的对称性】 【考点11 函数的周期性】 【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】 【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】 知识点1 函数的有关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 知识点2 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点3 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点4 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点5 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数 【考点1 函数的定义域】 1.以解析式形式给出的函数 分式的分母不为0; 偶次根式的被开方数大于等于0; 零次幂的底数不为0； 对数的真数大于0; 指数函数、对数函数的底数大于0,且不等于1 2.抽象函数 ①已知函数f（x）的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围; ②已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域是指x∈[a,b]时,g(x)的值域 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数单调性解不等式及求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】， 由可得：，则， 所以 ， 故选：D 2．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 4．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【考点2 函数的解析式】 (1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式； (2) 待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法.； (3) 换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法,即令t=g(x),反解出x,代入原式可得 f(t),改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围； (4) 方程思想:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)； (5) 赋值法:给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式.。 1．若，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用换元法即可求得解析式，注意换元的等价性即可. 【详解】f（1）＝x+， 设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2， ∴f（t）＝（t﹣1）2+﹣1＝t2﹣t，t≥1， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）． 故选：. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题. 2．若的解析式为 （ ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：令，则， 所以，故，选B. 考点：复合函数解析式求法 点评：本题考查了复合函数解析式求法，求解复合函数的解析式常用代换法和整体代换思想. 【考点3 以分段函数为背景的问题】 【题型1 分段函数求值】 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题，应由里到外依次求值. 1．已知函数，则=（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据分段函数求函数值，先求，再带入函数中，求出结果. 【详解】，， ，， 则. 故选：B. 2．已知函数若，则 ． 【答案】8 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 3．已知函数，则 【答案】/ 【分析】根据分段函数函数值的计算求解即可. 【详解】，所以． 故答案为：. 4．已知函数，若，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可. 【详解】由题意知，当时，，解得； 当时，，解得，与矛盾，此时无解. 所以. 故答案为：2 5．已知函数，则 . 【答案】4 【分析】求出，得到答案. 【详解】，，故. 故答案为：4 【题型2 分段函数与方程，不等式】 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参。 (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值 (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解． 【详解】当时， ，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 2．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 3．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 4．已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【答案】D 【分析】对实数a分情况讨论列出等式即可得到结果. 【详解】当时，因为，得到，解得：, 又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去； 当时，由，得到，解得：， 综上：实数a的值为 故选：D 【考点4 函数单调性的判断与证明】 (1)用定义法证明函数单调性的一般步骤为:设元、作差变形、判断符号、得出结论; (2)性质法:直接利用函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性，如“增十增”为增,“增一减”为增,“减十减”为减,“减一增”为减; (3)图象法:利用图象的上升或下降判断; (4)导数法:利用导数值的正负确定函数的单调区间; (5)利用“同增异减”的规则判断复合函数的单调性. 1．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 2．判断并证明函数在上的单调性. 【答案】当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，证明见解析 【分析】方法一可利用函数单调性的定义证明即可；方法二可对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性即可判断并证明. 【详解】证明法一（定义法）：第一步，取值、作差、变形：设， ， 则 . 第二步，判号、定论：由于， 所以，，， 故当时，，即，函数在上单调递减； 当时，，即，函数在上单调递增. 法二（导数法）：第一步，求导、变形： . 第二步，判号、定论：当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 3．多选题设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 【考点5 求函数的单调性】 (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示，有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“U’连 接. 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数单调性的判断直接求解即可. 【详解】由题知，， 可得函数的定义域为， 可分解为和， 因为函数在上单调递减， 且在上单调递减， 在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 故选：D 3．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 4．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，根据导数的性质即可求解. 【详解】设，定义域为， 则，令， 所以函数的单调减区间是. 故选：A. 5．函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】由整体代入法得对应的不等式组，解不等式组即可得解. 【详解】因为，由有： . 故答案为：. 6．已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性求解即可． 【详解】当时，单调递减； 当时，，在上单调递增，在单调递减； 故答案为： 【考点6 由单调性求参数的取值范围】 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数: (2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的. 1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由解得方程的解，利用二次函数，对数函数和复合函数的单调性可得，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，令， 解得， 所以， 对于函数，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 则，得， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 3．若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得到函数为减函数，结合分段函数单调性的性质进行求解即可． 【详解】对任意，都有成立，则函数为减函数， 则当时，函数为减函数，则，即， 当时，函数为减函数，则，即， 同时恒成立，解得 综上，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 4．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 【考点7 利用函数单调性解决问题】 【题型1 比较大小】 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 1．已知函数，若，则的大小关系为 . 【答案】 【分析】首先得到关于直线对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数的单调性得到，则比较出大小关系. 【详解】因为， 则， 则关于直线对称， 当时，， 根据复合函数单调性知在上单调递减， 且在上也单调递减， 则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增. 令，则，， 所以在上单调递增，且，所以即. 令，则， 设，， 所以单调递减且，因此， 所以单调递减且，所以，即. 由得，所以. 又因为，且， 所以. 设，，则， 则在上单调递增，则， 即，即在上恒成立， 即，所以. 所以，则， 故，而， 即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到，则比较出三者大小. 2．已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由得到函数的对称轴，从而得到方程，求出，再根据对称性和单调性比较出大小. 【详解】因为，所以为二次函数图象的对称轴， 所以，解得． 根据对称性知，，又函数在上单调递增，所以， 即． 故答案为： 3．已知，若，，，则a，b，c按从小到大排列为： . 【答案】 【分析】构造函数，，利用导数与单调性最值得关系可比较出，再结合原函数的单调性和奇偶性即可比较大小. 【详解】因为函数的定义域为， ，所以函数为偶函数， 故以下只用讨论函数在的单调性， 令 因为在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 即在上恒成立， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 设函数，， 当时，；当时，； 所以函数在单调递减，上单调递增， 所以，即， 设函数，， 当时，；当时，； 所以函数在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以，所以， 又因为， 所以， 故答案为：. 4．若、、，则、、的大小是 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求出其单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可. 【详解】令，则， 由，得，由，得， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以， 所以，即. 故答案为： 【题型2 解不等式】 利用函数单调性解不等式的具体步骤: (1)将不等式转化成f()>f()的形式; (2)考查函数f(x)的单调性 (3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“>”或“<”的常规不等式,从而得解! 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，然后解不等式、，分、两种情况解不等式即可. 【详解】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 2．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数解析式为，分析可知函数的图象关于直线对称，利用复合函数法分析函数在上的单调性，结合可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】对任意的，，即函数的定义域为， 且， 因为， 所以，函数的图象关于直线对称， 令，其中， 任取、且，即，故， 所以，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数在上为增函数， 因为，则，即， 即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解． 【详解】当时， ，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 4．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 【考点8 函数奇偶性的判断】 (1)定义法,先判断定义域是否关于原点对称,若不对称，即为非奇非偶，若对称，判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)十f(-x)=0(奇函数)或fx)-f(-x)=0(偶函数)否成立. (2)图象法,即利用奇、偶函数的对称性来判断, (3)性质法,即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断. 2.一些重要类型的奇偶函数模型 1．下列函数是偶函数的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数. 故选：B. 2．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解， 【详解】函数的定义域为关于原点对称，又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为 关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故B不符合题意， 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D符合题意． 故选：D. 3．已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】B 【分析】通过对函数进行相应的运算，结合奇偶性的定义判断奇偶性；对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性. 【详解】对于A，首先求：已知， 若为奇函数，则恒成立，即恒成立. 因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误. 对于B，接着求：已知， 若为偶函数，则恒成立，即恒成立. 因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.   对于C，D，对求导得. 当时，，，所以，则为增函数. 当时，令，即，则，，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以选项C、D错误.   故选：B. 【考点9 函数奇偶性的应用】 【题型1 求解析式（参数或值）】 1.利用奇函数的性质,可以得到与常数a相关的等式,然后求出a的数值,即可得出结果.2.利用函数奇偶性可以解决的问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值， (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)士f(-x)=0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值: 1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 2．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 3．已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 4．已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【题型2 奇偶性与单调性】 1.利用奇偶性与单调性比较函数值大小的方法应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较 2.利用奇偶性与单调性解不等式的方法 先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时,注意函数的定义域也是一个限制条件. 1．若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】首先根据函数是偶函数求得，再根据复合函数的单调性，即可比较大小. 【详解】根据题意，有，即，可得， 则， 设，，当时，又由，为增函数且恒成立， 所以在上单调递增，易得在上递增，故. 故选：B. 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若， ，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到函数在上为单调递增函数，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 由，， 因为，所以函数在上为单调递增函数， 结合二次函数的图象与性质，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以 ， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以 ， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 【题型3 函数的奇偶性与最值】 如果奇函数的最大值为M,根据其图象关于原点对称，可得它的最小值为-M.若函数图象关于点成中心对称，则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称。 1．函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义先判断奇偶性，利用二倍角的余弦公式得，利用换元法即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数，故AB错误； 又因为， 令（），， 则在上单调递减，， 故选：C. 2．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 3．若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 【答案】 【分析】由对勾函数性质以及奇函数性质即可得解. 【详解】由题意知，当时，在时取到最小值， 则由奇偶性可知函数在上的最大值为. 故答案为：. 4．已（）是奇函数，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】首先由奇偶性求得，则，由正弦函数的性质可得最大值. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，由于，所以， 所以， 所以的最大值为2， 故答案为：2. 5．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由，令得函数为奇函数，进而得，即可求解. 【详解】由   ， 令，则 ， 所以函数在上为奇函数，则， 即，所以． 故答案为：2. 【考点10 函数图像的对称性】 1.函数 y-f(x)的图象关于直线x=a对称f(a十x)=f(a-x)或 f(2a+x)=f(-x). 2. 函数 y=f(z)的图象关于点(a,b)对称f(2a-x)十f(x)=2b 或f(a-x)+f(a十x)=2b 3.函数 y=f(a+x)的图象与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x=一对称 4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论； (1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数 y=f(x+a)的图象关于点(一a,0)对称(或关于直线 x=-a对称); (2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线 x=a 对称) 1．已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 2．已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】先由图象变换得出的图象关于直线对称，再结合奇函数，即可得出周期为，最后利用周期将转化为. 【详解】的函数图象向左平移个单位得到的图象， 因函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 则 因为奇函数，则，则， 则，得， 所以是周期为4的周期函数， 则． 故选：B 3．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数可求得，进而利用对称性可求得的值. 【详解】因为是奇函数，所以.又的图象关于直线对称， 所以. 故答案为：. 【考点11 函数的周期性】 1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题 1．已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质以及所给等式变形，结合对称性和周期性定义，赋值计算，对各选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知是定义域为的奇函数，则. 令，代入可得：，将代入得，即，所以A选项错误. 对于B选项，因为是奇函数，则. 由可得. 用代替可得，又因为，所以，即. 那么. 同理. . . 令，则，所以B选项正确. 对于C选项，由可知，所以的最小正周期不是，C选项错误. 对于D选项，由，得不是曲线的对称轴，D选项错误. 故选：B. 2．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求解. 【详解】因为，则有， 所以，由此可知为周期为的周期函数， 又因为是奇函数，所以， 因为，所以； 对于A选项，根据，将代入， 得，解得，A正确； 对于B选项，根据，将代入， 得，B正确； 对于C选项，根据，将代入， 得，C正确； 对于D选项，根据，有， 又根据，将代入， 得，由A选项可知， 所以，所以D错误. 故选：D 3．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用累加法可得. 【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】 (1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换 (2)函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)表明的是国数的对称性，函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆 1．多选题设函数满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 【答案】AD 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确. 对于B，令，则原等式变为. 因为前面已求得，所以，即，移项可得. 根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误. 对于C，令，原等式变为. 由于，则，即. 令，则，那么. 根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期. 当，时，可得， 可得，①； 当时，可得 ②. 由①+②可得，由于， 所以， 代入②式得到，由于，进而解得. 令，原等式变为. 因为，所以，移项可得. 又因为，所以. 根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心. 因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误. 对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以. 因为，所以，所以D选项正确. 故选：AD. 2．多选题设函数，，以下说法正确的是（   ） A．图象的对称中心为 B．若，图象的对称轴为直线 C．若，有且仅有一个零点 D．若，则与的图象有且仅有两个交点 【答案】ABD 【分析】令，判断可得为奇函数，根据图象变换计算判断A；由可判断B；根据零点存在性定理可判断C；令，计算可判断D. 【详解】对A，令，即， 因为， 所以为奇函数，即函数对称中心为， 而的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到， 因此可知图象的对称中心为，故A正确； 对B，当时，， 因为，， 即．可知的图象以直线为对称轴，故B正确； 对C，当时，，，，， 所以存在，，使，则有两个零点，故C不正确； 对D，当时，令，令，解得或，故D正确． 故选：ABD 【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化，从而研究函数在整个定义域上的相关性质. 1．已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 C．函数关于点中心对称 D． 【答案】A 【分析】利用函数恒等式来证明和推理函数的性质，即可得到判断. 【详解】由为奇函数，则， 又因为，所以有， 由此可得，所以有，故函数的周期为,故B错误； 由函数的周期为，所以有，故函数的图象关于直线对称，故A正确在； 由，可得函数关于点中心对称，故函数不关于点成中心对称，故C错误； 由，令，得， 而，故D错误； 故选：A. 2．多选题已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得，可判断A；令，可得，进而可判断B；由已知可得是偶函数，进而计算可得，进而可得，，进而计算可判断C；利用作差法可得，进而求得在区间上单调递减，可得结论判断D. 【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误； 令，所以，又， 所以，故为奇函数，故B正确； 又因为，所以是偶函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为4的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以，故C正确； ， 又， 故，又因为当，单调递减，且， 所以，所以关于点中心对称， 所以在区间上单调递减，所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 3．多选题已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，以及利用这些性质进行数列求和逐步推导函数的各项性质，进而判断选项的正确性. 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则． 令，则，故A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确． 令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数． 又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误． 令，则，，故D错误． 故选：AC． 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 8．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间是． 故选：C. 9．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 【答案】D 【分析】利用数列递推思想，结合裂项法和累加法来求出即可. 【详解】由，当时，可得， 赋值可得：， 利用累加法可得：， 代入可得：， 故选：D. 10．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 11．（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（    ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 【答案】D 【分析】根据狄利克雷函数的定义可知当时，恒成立，即可判断选项A；分析可知对于，当时，不成立，即可判断选项B；令，，即可判断选项C；取点，，，利用勾股定理即可即可判断选项D. 【详解】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当时，； ，当时，， 所以对于，当时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以是直角三角形，故选项D正确. 故选：D. 二、多选题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 13．（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 【答案】AC 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 14．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念及其性质 【考点1 函数的定义域】 【考点2 函数的解析式】 【考点3 以分段函数为背景的问题】 【考点4 函数单调性的判断与证明】 【考点5 求函数的单调性】 【考点6 由单调性求参数的取值范围】 【考点7 利用函数单调性解决问题】 【考点8 函数奇偶性的判断】 【考点9 函数奇偶性的应用】 【考点10 函数图像的对称性】 【考点11 函数的周期性】 【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】 【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】 知识点1 函数的有关概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 知识点2 函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 2、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 知识点3 函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 知识点4 函数的周期性 1、周期函数的定义 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 知识点5 函数的对称性 1、关于线对称 若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称 若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数 【考点1 函数的定义域】 1.以解析式形式给出的函数 分式的分母不为0; 偶次根式的被开方数大于等于0; 零次幂的底数不为0； 对数的真数大于0; 指数函数、对数函数的底数大于0,且不等于1 2.抽象函数 ①已知函数f（x）的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围; ②已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域是指x∈[a,b]时,g(x)的值域 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为 ． 4．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【考点2 函数的解析式】 (1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式； (2) 待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法.； (3) 换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法,即令t=g(x),反解出x,代入原式可得 f(t),改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围； (4) 方程思想:已知关于f(x)与f()或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)； (5) 赋值法:给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式.。 1．若，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．若的解析式为 （ ） A．3 B． C． D． 【考点3 以分段函数为背景的问题】 【题型1 分段函数求值】 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题，应由里到外依次求值. 1．已知函数，则=（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2 2．已知函数若，则 ． 3．已知函数，则 4．已知函数，若，则 . 5．已知函数，则 . 【题型2 分段函数与方程，不等式】 (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参。 (2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值 (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解 1．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【考点4 函数单调性的判断与证明】 (1)用定义法证明函数单调性的一般步骤为:设元、作差变形、判断符号、得出结论; (2)性质法:直接利用函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性，如“增十增”为增,“增一减”为增,“减十减”为减,“减一增”为减; (3)图象法:利用图象的上升或下降判断; (4)导数法:利用导数值的正负确定函数的单调区间; (5)利用“同增异减”的规则判断复合函数的单调性. 1．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 2．判断并证明函数在上的单调性. 3．多选题设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【考点5 求函数的单调性】 (1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示，有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“U’连 接. 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是 . 6．已知函数，则的单调递增区间为 . 【考点6 由单调性求参数的取值范围】 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数: (2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的. 1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 3．若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 4．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【考点7 利用函数单调性解决问题】 【题型1 比较大小】 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解. 1．已知函数，若，则的大小关系为 . 2．已知二次函数满足，则与的大小关系是 ． 3．已知，若，，，则a，b，c按从小到大排列为： . 4．若、、，则、、的大小是 ． 【题型2 解不等式】 利用函数单调性解不等式的具体步骤: (1)将不等式转化成f()>f()的形式; (2)考查函数f(x)的单调性 (3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“>”或“<”的常规不等式,从而得解! 1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【考点8 函数奇偶性的判断】 (1)定义法,先判断定义域是否关于原点对称,若不对称，即为非奇非偶，若对称，判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)十f(-x)=0(奇函数)或fx)-f(-x)=0(偶函数)否成立. (2)图象法,即利用奇、偶函数的对称性来判断, (3)性质法,即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断. 2.一些重要类型的奇偶函数模型 1．下列函数是偶函数的是（    ）. A． B． C． D． 2．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【考点9 函数奇偶性的应用】 【题型1 求解析式（参数或值）】 1.利用奇函数的性质,可以得到与常数a相关的等式,然后求出a的数值,即可得出结果.2.利用函数奇偶性可以解决的问题 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值， (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)士f(-x)=0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象. (5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值: 1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 3．已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 4．已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【题型2 奇偶性与单调性】 1.利用奇偶性与单调性比较函数值大小的方法应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较 2.利用奇偶性与单调性解不等式的方法 先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时,注意函数的定义域也是一个限制条件. 1．若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若， ，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数的奇偶性与最值】 如果奇函数的最大值为M,根据其图象关于原点对称，可得它的最小值为-M.若函数图象关于点成中心对称，则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称。 1．函数是（   ） A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为 C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为 2．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 3．若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 4．已（）是奇函数，则的最大值为 ． 5．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【考点10 函数图像的对称性】 1.函数 y-f(x)的图象关于直线x=a对称f(a十x)=f(a-x)或 f(2a+x)=f(-x). 2. 函数 y=f(z)的图象关于点(a,b)对称f(2a-x)十f(x)=2b 或f(a-x)+f(a十x)=2b 3.函数 y=f(a+x)的图象与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x=一对称 4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论； (1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数 y=f(x+a)的图象关于点(一a,0)对称(或关于直线 x=-a对称); (2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线 x=a 对称) 1．已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 2．已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（   ） A． B．1 C．0 D．3 3．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则 . 【考点11 函数的周期性】 1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期 2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题 1．已知定义域为R的奇函数满足，则（   ） A． B． C．的最小正周期为2 D．是曲线的一条对称轴 2．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】 (1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换 (2)函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)表明的是国数的对称性，函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆 1．多选题设函数满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 2．多选题设函数，，以下说法正确的是（   ） A．图象的对称中心为 B．若，图象的对称轴为直线 C．若，有且仅有一个零点 D．若，则与的图象有且仅有两个交点 【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化，从而研究函数在整个定义域上的相关性质. 1．已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2 C．函数关于点中心对称 D． 2．多选题已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 3．多选题已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 一、单选题 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东菏泽·二模）对于任意，，且，则（    ） A． B．1 C．2025 D．4049 10．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 11．（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（    ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 二、多选题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 13．（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 三、填空题 14．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$