湖南省永州市冷水滩区李达中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

2025年李达中学九年级下册期中数学试卷参考答案 【1答案】C 【2答案】B 【3答案】C 【4答案】C 【5答案】C 【6答案】C 【7答案】D 【8答案】A 【9答案】D 【10答案】A 解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F， 在Rt△BOG中，tan∠OGB= ∴设OB=2m,OG=m（m＞0）， ∵∠BOG=∠BFC=90°，∠OBG=∠CBF， ∴△OBG∽△FBC， ∴ ∴设BF=2n,CF=n（n＞0）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠EAB=∠CBF， 在△AEB与△BFC中，， ∴△AEB≌△BFC（AAS）， ∴AE=BF=2n,BE=CF=n, ∴OF=OB+BF=2m+2n,OE=OB-BE=2m-n, ∴C（2m+2n,n），A（2m-n,2n）， ∵点A，点C在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上， ∴， 解得 ∴G（0-4），B（8，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把B，G坐标代入解析式得：， 解得，∴直线BC的解析式为y=x-4， 【11答案】a（a+5） 【12答案】 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可 【13答案】 【14答案】12 【15答案】3 【16答案】105 【17答案】2 【18答案】 【19答案】 原式= 【20答案】 原式= 当a=6时，原式=1 【21答案】 解：（1）①此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%=200（名）， 故答案为：200； ②C组的人数为：200-30-50-70-20=30（名）， 补全条形统计图如右侧： ③扇形统计图中圆心角α=360°×=54°， 故答案为：54； （2）3200×=1120（名）， 答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120名； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， ∴恰好抽中甲、乙两人的概率为=． 【22答案】 解：（1）设每顶A种型号帐篷的价格为x元，每顶B种型号帐篷的价格为y元， 根据题意可得：， 解方程组得： 答：每顶A种型号帐篷的价格为800元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元； （2）设购买A种型号帐篷a顶，则购买B种型号帐篷（28-a）顶， 根据题意可得：28-a≥3a, 解不等式得：a⩽7， 设购买A，B两种型号的帐篷的费用为w元， 则w=800a+1000（28-a）=-200a+28000， ∵-200＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴当a=7时，w最小，最小值为26600， 此时，28-7=21（顶）， ∴购买A种型号帐篷7顶，购买B种型号帐篷21顶费用最小，最小费用为26600元． 【23答案】 解：（1）过点E作EG⊥MN于点G，过点D作DH⊥EG于点H， ∴HG=DC=1.5，∠HDC=90°， ∴EH=EG-HG=4.5-1.5=3， ∵∠CDE=135°， ∴∠EDH=∠EDC-∠HDC=45°． ∴在Rt△EHD中， ED=3 答：下折臂DE的长约为4.2m. （2）过点E作EK⊥AB，垂足为K． ∵EK∥HD， ∴∠KED=∠EDH=45°． ∵∠AED=88°， ∴∠AEK=∠AED-∠KED=43°， ∵GC=HD=3，BC=2， ∴BG=5， 由题意可得四边形EGBK是矩形， ∴EK=5，KB=4.5， 在Rt△AEK中， tan43°= ∴AK=EK•0.93≈5×0.93=4.65． ∴AB=KB+AK=4.5+4.65=9.15≈9.2（m）． 答：路灯AB的高约为9.2m. 【24答案】 （1）证明：连接OD，如图所示， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BDC=90°， ∵点E为BC的中点， ∴DE=BE=BC， ∴∠EDB=∠EBD， ∵OB=OD． ∴∠ODB=∠OBD． ∵∠ABC=90°， ∴∠EBD+∠OBD=90°， ∴∠ODB+∠EDB=90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE与⊙O相切； （2）解：由（1）知，∠BDC=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=BC=2． ∴BC=4， ∵tan∠BAC=， ∴AB=8．AD=2BD， 又∵在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，即（2BD）2+BD2=82， ∴BD=（负值已舍去）， ∴AD= 【25答案】 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=3，AB=4， ∴A（1，0），B（5，0）， 则抛物线的表达式为：y=a（x-1）（x-5）=a（x2-6x+5）=ax2+bx+5， 则a=1， 故抛物线的解析式为：y=x2-6x+5； （2）∵直线AD：y=kx-1经过点A（1，0）， ∴得k-1=0，解得k=1， ∴直线AD的解析式为：y=x-1， ∵直线AD的解析式为y=x-1，抛物线对称轴直线x=3与x轴交于点E， ∴当x=3时，y=x-1=2， ∴D（3，2）． 设M（x,y），则AD2=（3-1）2+22=8，AM2=（x-1）2+y2， DM2=（x-3）2+（y-2）2， ①当∠DAM=90°时，由AD2+AM2=DM2，得8+（x-1）2+y2=（x-3）2+（y-2）2，化简得y=-x+1． 联立 解得或， ∴点M的坐标为（4，-3）， ②当∠ADM=90°时，AD2+DM2=AM2， 同理可求得点M的坐标为（0，5）或（5，0）， 综上所述，点M的坐标为（4，-3）或（0，5）或（5，0）； （3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，PF，PB． ∵PB=2，∴， ∵ ∴ ∵∠PBF=∠ABP， ∴△PBF∽△ABP， ∴，即PF=PA， ∴PC+PA=PC+PF≥CF， ∴当点C，P，F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长． ∵OC=5，OF=OB-1=5-1=4， ∴CF=， ∴PC+PA的最小值为 【26答案】 解：（1）①∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=AB′=AC′， ∵DB′=DC′， ∴AD⊥B′C′， ∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， ∴AD=AB′=BC， 故答案为：AD=BC； ②∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′（SAS）， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′， ∴AD=B′C′=BC=9， 故答案为：9； （2）结论：AD=BC．理由如下： 如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M， ∵B′D=DC′，AD=DM， ∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC， ∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A， ∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M（SAS）， ∴BC=AM， ∴AD=BC； （3）在四边形内部存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”；理由如下： 如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O． ∵∠ADC=150°， ∴∠MDC=30°， 在Rt△DCM中，CD=2，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°， 在Rt△BEM中，∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°， ∴EM=BM=7， ∴BM=7， ∴DE=EM-DM=3， 在Rt△AEB中，AE= ∴AE=DE， ∵BE⊥AD， ∴PA=PD，PB=PC， 在Rt△CDF中，CD=2，CF=6， ∴tan∠CDF=， ∴∠CDF=60°， ∴∠ADF=90°=∠AEB， ∴∠CBE=∠CFD， ∵∠CBE=∠PCF， ∴∠CFD=∠PCF， ∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°， ∴∠CPF=∠CDF=60°=∠CDF， ∵FC=FC， ∴△FCP≌△CFD（AAS）， ∴CD=PF， ∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP=90°， ∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠ADP=60°， ∵∠BPF=∠CPF=60°， ∴∠BPC=120°， ∴∠APD+∠BPC=180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”， ∵AB=2． ∴△PAB的“旋补中线”长=AB= ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年李达中学九年级课后服务数学练习（4.21） （时间：120 分钟） （ 分值：120 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 30 分） 一、选择题：本题共10小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数为无理数的是（  ） A. 3   B. 3.14   C. 2​  D. ​ 2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（  ） 3.已知一粒米的质量约为2.1×10−5千克，则数据2.1×10−5用小数表示为（  ） A. 0.0021   B. 0.00021   C. 0.000021  D. 0.0000021 4.下列计算正确的是（  ） A. (x4)3=x7  B. (3x)2=6x2  C. x+2x=3x   D. (x−y)2=x2−y2 5. 中国初创企业 “深度求索” 公司,其自主研发的人工智能（AI）大预言模型Deepseek，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响。Deepseek公司记录了 7 名 AI 工程师在某项任务中编写代码的行数，数据如下：20, 25, 25, 30, 35, 40, 45，则这组数据的中位数、众数和平均数分别是（ ） A. 30, 25, 30   B. 35, 25, 31.4  C. 30, 25, 31.4   D. 25, 30, 35 6.将点(−2,−3)向左平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，则所得点的坐标为（  ） A. (−5,2)   B. (1,2)   C. (−5,−8)   D. (1,−8) 7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（  ） A B C D 8.如图，BE平分∠ABC，BE∥CD，若∠1=25°，则∠C的度数为（  ） A. 25°   B. 20°  C. 30°   D. 35° 9..如图，AB为⊙O 的直径，弦CD⊥AB于点 H。若BH=2，CD=8，则OH的长为（  ） A. 2   B. 5   C. 4   D. 3 9.如图，正方形ABCD的顶点 B 在 x 轴上，点 A、C 在反比例函数y=（x>0）图象上。若直线BC交 y 轴负半轴于点 G，且tan∠OGB=2，则直线BC的函数表达式为（  ） A. y=x−4  B. y=x−2  C. y=2x−4   D. y=x−6 第8题图 第9题图 第10题图 第二部分（非选择题共 90 分） 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.分解因式：a2+5a= 。 12.若分式有意义，则 x 的取值范围为 。 13.关于 x 的方程x2+4x+2c=0有两个不相等的实数根，则 c 的取值范围为 。 14.若一个多边形的每个外角都等于 30°，则这个多边形的边数为 。 15.如图，已知扇形AOB的面积为3π，点 C 在圆周上，∠ACB=60°，则⊙O 的半径为 。 16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°。以点 B 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB、BC于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于MN长为半径作圆弧，两弧在△ABC的右侧交于点 P，作射线 BP 交AC于点 D，则∠PDC的大小 为 度。 17.如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥BD于点 E，点 D 在BC的延长线上，∠D=60°，AD=8，BD=5，则BC的长为 。 18.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD。连接AQ、BP、CN、DM。若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b，则 CP= ，CQ= 。（以上均用含 a、b 的代数式表示） 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.（本题满分 6 分）计算： −2sin60°+(π−3.14)0+∣1−∣ 20（本题满分 6 分）先化简，再求值：，其中a=6。 21.（本题满分 8 分）某校为落实 “双减” 工作，成立了 5 个活动小组：A. 音乐；B. 体育；C. 美术；D. 阅读；E. 人工智能。随机抽取部分学生进行调查，绘制了两幅不完整的统计图。 （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中心角α= 度。 （2）若该校有 3200 名学生，估计该校参加 D 组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从 E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加竞赛，用树状图法或列表法求恰好抽中甲、乙两人的概率。 22.（本题满分 8 分）双牌桐子坳景区准备购买 A、B 两种型号的帐篷，若购买 A 种型号帐篷 2 顶和 B 种型号帐篷 3 顶，需 4600 元；若购买 A 种型号帐篷 5 顶和 B 种型号帐篷 6 顶，需 10000 元。 （1）求每顶 A 种型号帐篷和每顶 B 种型号帐篷的价格； （2）若购买 A、B 两种型号的帐篷共 28 顶，且 B 种型号帐篷数量不低于 A 种型号帐篷数量的 3 倍，设计最省钱的购置方案，并求最少费用。 23.（本题满分 9 分）如图 1 是某路政部门维修路灯的实物图，图 2 是平面示意图。路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面MN，水平距离BC=2m，折臂底座高CD=1.5m，上折臂AE与下折臂DE的夹角∠AED=88°，下折臂DE与折臂底座的夹角∠CDE=135°，下折臂端点E到地面MN距离是 4.5m。 （1）求下折臂DE的长； （2）求路灯AB的高。（结果精确到 0.1，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.41） 24.（本题满分 9 分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O 与AC交于点 D，点 E 是BC的中点，连接BD、DE。 （1）求证：DE是⊙O 的切线； （2）若DE=2，tan∠BAC=，求AD的长。 25.（本题满分 10 分）如图，抛物线y=ax2+bx+5与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4，抛物线的对称轴为直线x=3，与经过点 A 的直线y=kx−1交于点 D，与 x 轴交于点 E。 （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点 M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点 B 为圆心，画半径为 2 的圆，点 P 为⊙B 上一个动点，请求出的最小值。 26. （本题满分 10 分）综合与实践： 定义：如图 1，在△ABC中，把AB绕点 A 顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB′，把AC绕点 A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′。当α+β=180°时，称△AB′C′是△ABC的 “旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的 “旋补中线”，点 A 叫做 “旋补中心”。 【特例感知】 （1）①如图 2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为 ； ②如图 3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 。 【猜想论证】 （2）在图 1 中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明。 【拓展应用】 （3）如图 4，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，AD=6。在四边形内部恰好存在点 P，使△PDC是△PAB的 “旋补三角形”，补全图形，并直接写出△PAB的 “旋补中线” 长 。 学科网（北京）股份有限公司 $$