精品解析：2025年河南省信阳市信阳高新技术产业开发区中考三模数学试题

2025年中招第三次质量检测卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将弥封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 3. 年春运于月日圆满结束，在为期天的运输工作中，郑州交运集团以“平安春运、便捷春运、温馨春运”为工作主线，多举措提升服务品质，运送旅客万人次，以学生、探亲及返乡人员为主，整体客流平稳有序．其中，数据“万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 4. 下列说法正确的是（　　） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B. 企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C. “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D. “连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、事件的分类，根据抽样调查与全面调查以及事件的分类的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、要了解一批灯泡的使用寿命，应进行抽样调查，故原说法错误，不符合题意； B、企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行全面调查，故原说法错误，不符合题意； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，原说法正确，符合题意； D、连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，应为有可能有1次正面朝上，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，从而可得的度数． 本题考查了垂线，对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ， 故选：B． 6. 下列算式中，运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，合并同类项，单项式除法，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键．根据幂的乘方，合并同类项，单项式除法，平方差公式计算即可． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，不是同类项，无法计算，错误，不符合题意； 故选：A． 7. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 故选：． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 9. 一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用（其他问题），三角形内角和定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，则，在中，由三角函数的定义可得，利用三角形内角和定理求出，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ， 在中，， ∵，，， ∴， ∴， 则点到的距离为， 故选：B． 10. 如图（1），中，，是中线，点从点出发，沿的方向以的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，可得，则，最后根据勾股定理可知，所以． 【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为， 过点作于点， ∴，即， ∵是中线，， ∴， ∴为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可知， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，涉及三角形中位线定理，勾股定理等内容，关键是结合图（2）得出的长度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．写出一个数与0相加，再根据有理数的加法法则进行计算，从而解答即可 【详解】解：∵， ∴满足条件的数是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把代入求出k值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点， ∴， 则它的解析式是． 故答案为：． 13. 郑州科技馆新馆设有探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区．小张打算在周六这天随机参观两个不同的展区，则小张选择参观的是探索发现展区和智慧生活展区的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解随机事件的概率．熟练掌握画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，是解题的关键． 动物家园、探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区分别用A、B、C、D表示．再列表即可得到答案． 【详解】解：设探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区分别用A、B、C、D表示． 列表如下： 后参观 先参观 A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D ∴所有的等可能的结果数为12个，符合条件的结果含A与C的数有2个， ∴恰好选择参观探索发现展区和智慧生活展区的概率为；． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形的对角线，交于点，且．以点为圆心，分别以，的长为半径画弧交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，根据平行四边形的性质求出，，解直角三角形求出，再根据图中阴影部分的面积求解即可，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，，， ， ∴， 在中， ， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的定义分三种情况分别进行解答即可． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作，则， 当时，， ∵，， ∴， 由翻折的性质，得， ， ， ， ； 如图2所示：当时，则； 当时， ∵，， 点、在的垂直平分线上， 垂直平分， 由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据分式的混合运算解答即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值化简，分式的化简，熟练掌握运算公式是解题的关键． 17. 《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》指出：落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．某校为了解七年级学生体能情况，随机抽取了七年级20名学生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析． 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 合格 良好 10 优秀 5 合计 20 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是． 【解决问题】 （1）填空：_____，_____，_____． （2）若该校七年级共有700名学生，估计体能测试能达到优秀的学生有多少人． （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 【答案】（1）4，，83 （2）175人 （3）从样本数据的平均数、众数、中位数来看，该校七年级学生体能情况整体较好，少数体能不合格的学生平时应加强体能训练． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数与频率、中位数、利用样本估计总体、利用平均数、众数、中位数做决策等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据频数与频率的关系、中位数的定义求解即可； （2）利用“七年级学生总数乘以测试成绩优秀学生占比”，即可获得答案； （3）根据测试成绩的平均数、众数、中位数，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可得，， 将抽样调查的学生成绩按照从小到大的顺序排列，为52，64，68，72，73，77，76，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100， 其中排在第10和11位的是83和83，故中位数． 故答案为：4，，83． 【小问2详解】 解：（人）， 即估计体能测试能达到优秀的学生有175人． 【小问3详解】 解：从样本数据的平均数、众数、中位数来看，该校七年级学生体能情况整体较好，少数体能不合格的学生平时应加强体能训练． 18. 如图，为的直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 为切线， ． ， ． ． ， ． ． ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定解答即可． （2）连接．利用圆周角定理，余弦解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 为直径， ． ，， ，． ， 即． ． ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，余弦函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 19. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3，点的纵坐标为2，与轴负半轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （3）过点作，垂足为，交的平分线于点，若，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2） 如图，的平分线即为所作， （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义得出，结合反比例函数的图象得出，从而得出反比例函数解析式，代入计算即可得出点的坐标； （2）根据角平分线的作法作图即可； （3）延长交轴于点，过点作轴于，则，，求出，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵的面积为3， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的纵坐标为2， ∴， ∴， 故点的坐标； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点，过点作轴于， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 20. 郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． （1）若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． （2）若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）32个，10个 （2）制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个；1570元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用． （1）设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）根据题意得出m的取值范围，再写出w关于m的一次函数，结合一次函数的图像和性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个， 则，解得， 答：制作小型陶瓷摆件32个，大型陶瓷摆件10个． 【小问2详解】 解：设总利润为元，制作小型陶瓷摆件个，则制作大型陶瓷摆件个． ． 由， 可得：． ， 随着的增大而减小． 当时，有最大值，． ． 当制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个时，获利最大，最大利润为1570元． 21. 一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】（1）9； （2）例如：“对称数”为313， ∵， ∴“对称数”313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，则这个对称数”为， 这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为： ， ∴一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，这个“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 【解析】 【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数”减去各位数字之和的结果是正确解答的关键． （1）任意取一个“对称数”，按照题意求出这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代数式即可； （2）根据题意写出一个“对称数”进行验证即可； （3）用含有x、y的代数式表示这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （2）略 （3）略 22. 综合实践： 【问题情境】 如图1，窑洞作为黄土高原文化地标，乘乡村旅游东风，正被活化开发为特色民宿集群与文旅综合体，催生非遗工坊、生态农产等衍生业态，成为乡村振兴的“金名片”． 村民小明拟对窑洞门头进行现代化改造：以智能采光模块与立体通风系统提升空间舒适度、同时将镂雕、剪纸等地域符号嵌入其中，打造兼具功能性与视觉张力的“文化入口”，为传统民居升级注入文旅基因． 【方案设计】 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点，在上，点，在抛物线上． 【方案实施】 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决下面问题： （1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线对应的函数解析式． （2）矩形为门框上的主窗，当时，求和的长． （3）如图3，矩形两侧正方形和正方形为装饰窗，其中，点，在抛物线上，点，在上，点，分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，此时的门头最美观，请直接写出此时其中一个装饰窗的面积． 【答案】（1）以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系如下： （2）米，米 （3）平方米 【解析】 【分析】（1）由已知画出坐标系即可，由已知可知：、、， 设抛物线的函数表达式为，把代入求出，即可得出结论； （2）由已知设米， 则米、，把代入抛物线 求出，即可得出结论； （3）设米，米，由已知可得：米、米，从而可以得到：矩形所需的木质框架总长度，根据二次函数的性质可得：当 时，矩形所需的木质框架总长度最长为米，再把此时代入求出，即可解题． 【小问1详解】 解：米， 米， 窑洞口的最高点到地面的距离为米， ∴， ，， 设抛物线的函数表达式为把代入， 得 ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：当时，设米，则米，， 把代入抛物线得 ， 解得：， ， ， 米，米； 【小问3详解】 解：设米，米， 则， ∴米，米， ∴矩形所需的木质框架总长度， ， ∴当时，矩形所需的木质框架总长度最长为米， 此时，把代入得 解得：， ， ， ∴当矩形所需的木质框架总长度最长时，装饰窗的面积为平方米． 23. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）菱形 （2）， 证明：，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得点与点关于直线对称，则直线垂直平分，所以，，由矩形的性质得，则，而，所以，则，所以，即可证明四边形是菱形，于是得到问题的答案； （2）①由，，，求得，所以，则，而，所以，则； （3）分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，由，得；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称， 直线垂直平分， 点与点重合， 直线垂直平分， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形． （2）略 （3）的长度为或， 理由：如图3，点在线段上，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中招第三次质量检测卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将弥封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 年春运于月日圆满结束，在为期天的运输工作中，郑州交运集团以“平安春运、便捷春运、温馨春运”为工作主线，多举措提升服务品质，运送旅客万人次，以学生、探亲及返乡人员为主，整体客流平稳有序．其中，数据“万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B. 企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C. “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上”是随机事件 D. “连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是必然事件 5. 如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列算式中，运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 10. 如图（1），中，，是中线，点从点出发，沿的方向以的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. “一个数与0相加，和是负数”，请写出一个满足上述条件的数：________． 12. 若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是________． 13. 郑州科技馆新馆设有探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区．小张打算在周六这天随机参观两个不同的展区，则小张选择参观的是探索发现展区和智慧生活展区的概率是________． 14. 如图，平行四边形的对角线，交于点，且．以点为圆心，分别以，的长为半径画弧交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，正方形的边长是4，点在边上，，点是边上不与点重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》指出：落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时．某校为了解七年级学生体能情况，随机抽取了七年级20名学生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析． 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 合格 良好 10 优秀 5 合计 20 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是． 【解决问题】 （1）填空：_____，_____，_____． （2）若该校七年级共有700名学生，估计体能测试能达到优秀的学生有多少人． （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 18. 如图，为的直径，直线是的切线，切点为点，过点作，垂足为点，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 19. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3，点的纵坐标为2，与轴负半轴的夹角为． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （3）过点作，垂足为，交的平分线于点，若，直接写出线段的长． 20. 郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． （1）若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． （2）若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 21. 一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 【观察】， ， ． 【猜想】 （1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除． 【验证】 （2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想． （3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的． 22. 综合实践： 【问题情境】 如图1，窑洞作为黄土高原文化地标，乘乡村旅游东风，正被活化开发为特色民宿集群与文旅综合体，催生非遗工坊、生态农产等衍生业态，成为乡村振兴的“金名片”． 村民小明拟对窑洞门头进行现代化改造：以智能采光模块与立体通风系统提升空间舒适度、同时将镂雕、剪纸等地域符号嵌入其中，打造兼具功能性与视觉张力的“文化入口”，为传统民居升级注入文旅基因． 【方案设计】 小明对窑洞进行了测量并绘制了如图2所示的窑洞口的示意图，窑洞口的轮廓可以看成是由矩形和抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窑洞口的最高点到地面的距离为4米，其中点，在上，点，在抛物线上． 【方案实施】 在图2中，以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．请按照以上方法解决下面问题： （1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线对应的函数解析式． （2）矩形为门框上的主窗，当时，求和的长． （3）如图3，矩形两侧正方形和正方形为装饰窗，其中，点，在抛物线上，点，在上，点，分别在和上．若将抛物线和构成的封闭区域内的线段定制为木质框架（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，此时的门头最美观，请直接写出此时其中一个装饰窗的面积． 23. 综合与实践： 【问题情境】 如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形． 答：________． 【问题解决】 如图3，在矩形纸片中，若，，与交于点． （2）请判断与对角线的位置关系，并仅就图3给出证明． （3）当时，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $