专题06 圆（4大题型）（新疆专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题06 圆 题型概览 题型01 利用垂径定理求值 题型02 圆心角、圆周角 题型03 证明某直线是圆的切线 题型04 弧长和扇形面积 ( 题型01 )利用垂径定理求值 1．（2025·新疆昌吉·一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为（ ） A． B．4 C．5 D． 3．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，，交于点E，，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )圆心角、圆周角 4．（2025·新疆·一模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点 F． (1)求证：； (2)P 是弧上一点． ①，求半径r的长； ②当是的平分线时，求的长． 5．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（  ） A． B． C． D． 6．（2025·新疆喀什·一模）如图，点，，在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆·一模）如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·新疆·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 9．（2025·新疆·一模）如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 10．（2025·新疆喀什·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． ( 题型03 )证明某直线是圆的切线 11．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形内接于，，平分并经过圆心交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的面积． 12．（2025·新疆吐鲁番·一模）如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 13．（2025·新疆·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 14．（2025·新疆昌吉·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． ( 题型0 4 )弧长和扇形面积 15．（2025·新疆昌吉·一模）如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 16．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·新疆·一模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆 题型概览 题型01 利用垂径定理求值 题型02 圆心角、圆周角 题型03 证明某直线是圆的切线 题型04 弧长和扇形面积 ( 题型01 )利用垂径定理求值 1．（2025·新疆昌吉·一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：D． 2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为（ ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识，连接，设弧所在圆的半径为，则，，根据垂径定理求出，再在中，根据勾股定理得出方程，求出即可．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设弧所在圆的半径为，则，， 经过圆心，于，， ， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 弧所在圆的半径为． 故选：D． 3．（2025·新疆·一模）如图，是的直径，，交于点E，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理的推论和勾股定理的知识，根据垂径定理的推论可知垂直平分，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴垂直平分， ∴， 由勾股定理可知， ∴， 故选：D． ( 题型02 )圆心角、圆周角 4．（2025·新疆·一模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点 F． (1)求证：； (2)P 是弧上一点． ①，求半径r的长； ②当是的平分线时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①5；② 【分析】（1）由D是的中点得，由垂径定理得，得到，根据同圆中，等弧对等弦即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为r，利用相似三角形的性质求出即可； ②过点B作交于点G，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接，    ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， 解得，经检验，是方程的根， ∴的半径为； ②如图，过点B作交于点G，    ∴， ∵的半径为，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 5．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是熟记圆周角定理．由同弧所对的圆周角相等可知，而由圆周角的推论不难得知，则由即可求得． 【详解】解：∵，与所对的弧相同， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2025·新疆喀什·一模）如图，点，，在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握这两个定理的内容是关键；在优弧上任取点F，连接，则由圆内接四边形的性质得的度数，再由圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7．（2025·新疆·一模）如图，在中，，，则弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查弧长公式、圆周角的性质等知识点，掌握弧长的计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题关键． 根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． ∴弧的长为． 故选：A． 8．（2025·新疆·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键， （1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据平行线的性质得出，根据，求得，进而勾股定理求得，过点作于点．．，等面积法求得，进而根据为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴， 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， 故． 9．（2025·新疆·一模）如图，AB是的直径，M、N是异于A，B的两点，C是一动点，的角平分线交于点D，的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则E，C两点的运动路径长的比是 ． 【答案】 【分析】如图，连接EB．设OA=r．作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，由题意∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，利用弧长公式计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EB．设OA=r． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵E是△ACB的内心， ∴∠AEB=135°， 作等腰Rt△ADB，AD=DB，∠ADB=90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是，点C的运动轨迹是， ∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α， ：=：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 10．（2025·新疆喀什·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点D，连接，可根据网格的特点和勾股定理得到，则可解得到的正弦值，再由即可求出答案． 【详解】解：如图所示，取格点D，连接， 由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ( 题型03 )证明某直线是圆的切线 11．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形内接于，，平分并经过圆心交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是2 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线得到，再根据平行线的性质得到，再根据等边对等角得到，即可证明． （2）设的半径为，则，根据30度角所对的直角边是斜边的一半的，解方程即可解答． （3）先证明，得到，再根据三角函数得，，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在上， ∴是的切线． （2）解：设的半径为， ∴ ∵， ∴ ∵在中，， ∴，即： 解得， ∴的半径是2． （3）∵四边形内接于，是直径 ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵在中，， ∴，， ∵ ∴   ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的相关计算．解题的关键是综合运用上述知识点，正确作出辅助线． 12．（2025·新疆吐鲁番·一模）如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点 P． (1)求证：是的切线； (2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等边对等角得到，结合，推出，证明，由，得到，即可证明； （2）作直径的垂直平分线交所对弧于点F即可； （3）连接，利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示为所求： （3）解：连接， ∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． 13．（2025·新疆·一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作 ⊙O的切线，交OD 的延长线于点E，连结BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长． 【答案】（1）见解析（2）FB= 【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论． （2）过点D作DH⊥AB，根据解直角三角形的知识可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长． 【详解】证明：（1）连接OC， ∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）． ∴△CDO≌△BDO（HL）．∴∠COD=∠BOD． 在△OCE和△OBE中， ∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE， ∴△OCE≌△OBE（SAS）．∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE．∴BE与⊙O相切． （2）过点D作DH⊥AB， ∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴． 又∵，OB=9，∴OD=6． ∴OH=4，HB=5，DH=2． 又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=． 垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义． 14．（2025·新疆昌吉·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接、，点F为上一点，且，延长于点E，使得，延长、交于点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键， （1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，根据三角形的相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． ( 题型0 4 )弧长和扇形面积 15．（2025·新疆昌吉·一模）如图，正六边形的边长为1，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆㩁的底面圆周长是扇形的长计算即可． 【详解】解：正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆的底面圆的半径是， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 16．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质、勾股定理，利用割补法求阴影部分面积是解题的关键．由题意得，，利用旋转的性质得到，，，最后利用阴影部分面积即可求解． 【详解】解：，， ，， 由旋转的性质得，，，， ，， 阴影部分面积 ． 故选：B． 17．（2025·新疆·一模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$