专题04 三角形（5大题型）（新疆专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 三角形 题型概览 题型01 三角形的外角 题型02 三角形全等的判定 题型03 线段垂直平分线 题型04 等腰三角形的性质与判定 题型05 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )三角形的外角 1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 3．（2025·新疆·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·一模）如图，，点是上一点，连接，点是上一点，连接，若，，则的度数为（    ） A．35° B．38° C．40° D．45° 5．（2025·新疆·一模）如图，，点E在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ( 题型02 )三角形全等的判定 6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，D为的中点，，则的长为 ． 7．（2025·新疆喀什·一模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于，过点作直线，分别交、于点和点， (1)求证：； (2)证明：四边形是菱形． 8．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 9．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是等边三角形，，是边上的高，点为上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为 ． 10．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使．连接． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，求证：是等边三角形． 11．（2025·新疆·一模）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． ( 题型03 )线段垂直平分线 12．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，．则的长为 ． 13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与，分别交于点，，连接，则的长为 ． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）（1）解方程： ； （2）如图，在中，． ①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线，使得直线垂直平分线段，交于点E，交直线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，求的长度． 15．（2025·新疆·一模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )等腰三角形的性质与判定 16．（2025·新疆昌吉·一模）（1）解方程：； （2）如图，在中，，． ①在BC边上求作一点N，使得；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：． 17．（2025·新疆·一模）如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2025·新疆·一模）（1）解方程： （2）如图，在等腰中，． ①请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹） ②若，求的周长． 19．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）（1）商家推出两种纪念品．已知购买7个甲种纪念品和买10个乙种纪念品的费用相同；每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多3元．求每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价． （2）如图，在中，，． ①用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，连接，若，求的长． ( 题型0 5 )勾股定理及其逆定理 20．（2025·新疆昌吉·一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 21．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形是菱形，，，直线交两对边于点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·新疆阿克苏·一模）在菱形中，若，则对角线的长为 ． 24．（2025·新疆吐鲁番·一模）第14届国际数学教育大会会标如图(a)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(b)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若．则（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形 题型概览 题型01 三角形的外角 题型02 三角形全等的判定 题型03 线段垂直平分线 题型04 等腰三角形的性质与判定 题型05 勾股定理及其逆定理 ( 题型01 )三角形的外角 1．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜后，光线的传播方向发生改变，其与一束经过光心的光线（此光线的方向不发生改变）相交于点，与主光轴交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角性质求得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是的边上的一点，点关于的对称点恰好落在上．若，，则的度数为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质，平角性质．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质，平角性质是解题的关键． 根据轴对称知，由三角形外角性质得，由轴对称得，由平角性质即得． 【详解】解：由轴对称知，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2025·新疆·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 4．（2025·新疆·一模）如图，，点是上一点，连接，点是上一点，连接，若，，则的度数为（    ） A．35° B．38° C．40° D．45° 【答案】B 【分析】根据三角形的外角性质可得，根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 5．（2025·新疆·一模）如图，，点E在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要查了平行线的性质，三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选A． ( 题型02 )三角形全等的判定 6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，D为的中点，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．延长至E，使，连接，先求出，然后证明得到，，则根据即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 7．（2025·新疆喀什·一模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于，过点作直线，分别交、于点和点， (1)求证：； (2)证明：四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形的性质与判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据平行四边形性质可得，，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线、相交于， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 8．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践 【思考尝试】 （1）如图①，在中，，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 （2）如图②，小新受此问题启发，思考提出新的问题：在等腰直角的斜边上取两点，，连接，，使，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图③，小齐深入研究小新提出的问题，发现并提出新的探究点：在边长为7的等边三角形的边上取一点，使．连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据旋转的性质及勾股定理证明，再证明，求得，最后利用勾股定理求出结论； （2）类似于（1），证明，，，即可得到结论； （3）过点作交延长线于点，分别求出，的长，即可利用三角形的面积公式求得答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ，， ， 由题意，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 如图②，把绕点A逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即， ， ，， ， ， 在中，， 即； （3）是等边三角形， ，， 由旋转可知，， ， ，， ，， ，， 过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，是等边三角形，，是边上的高，点为上的一动点，以为边作等边，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，正确作辅助线，构造等边三角形是解题的关键．先证明，得到，作点关于的对称点，连接，交的延长线，连接，此时的值最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形， 是边上的高， ，，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，交的延长线，连接，此时的值最小，最小值为的长， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 10．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使．连接． (1)求证：； (2)过点作，交于点，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质及判定是解决此题的关键． （1）根据已知等边三角形的性质可推出是等边三角形，从而再利用判定； （2）由已知可得四边形是平行四边形，从而得到，由（1）知得到，从而可得到，进而即可得证； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， 由(1)知， ， ， 为等边三角形． 11．（2025·新疆·一模）如图，，，点、在上，且． (1)求证：； (2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，解答此题的关键是要掌握判定方法． （1）由全等三角形的判定定理SAS证得； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则，所以根据平行线的判定可以证得．由全等三角形的对应边相等证得，则易证得结论． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）连接、． 由(1)知，， ，， ， ， 又， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形． ( 题型03 )线段垂直平分线 12．（2025·新疆阿克苏·一模）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，连接．若的周长为，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与，分别交于点，，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂直平分线作图及其性质，以及勾股定理，解题的关键在于正确掌握相关知识．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ， ，，， 设，则， ， ， 解得， 故答案为：3． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）（1）解方程： ； （2）如图，在中，． ①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线，使得直线垂直平分线段，交于点E，交直线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，求的长度． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【分析】本题考查解一元二次方程，作垂直平分线，解直角三角形： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）①根据线段垂直平分线的做法解答即可；②利用垂直平分线的性质求出，再利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解： 或 解得：， （2）①如图所示为所求： ②垂直平分，， ，， ， ， ． 15．（2025·新疆·一模）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． ( 题型0 4 )等腰三角形的性质与判定 16．（2025·新疆昌吉·一模）（1）解方程：； （2）如图，在中，，． ①在BC边上求作一点N，使得；（不写作法，保留作图痕迹） ②在①的条件下，求证：． 【答案】（1） （2）①图见解析②证明见解析 【详解】本题考查一元一次方程的求解，作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． （1）先去括号，再通过移项把含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解方程； （2）①作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； ②根据等腰三角形的性质计算出的度数，再计算出的度数，然后根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而得到． 【解答】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为 1 ：； （2）①解：如图，点即为所求； ②证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∵， ∴， ∴． 17．（2025·新疆·一模）如图，若为等腰直角三角形，，P为CD上一动点，的最大值是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称一一最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质， 作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时，结合条件证明是等边三角形，即可求得答案． 【详解】解：作A关于的对称点A，连接交于P，则点P就是使的值最大的点．此时， 连接，如下图： ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即：的最大值是5． 故选∶C． 18．（2025·新疆·一模）（1）解方程： （2）如图，在等腰中，． ①请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹） ②若，求的周长． 【答案】（1）；（2）①图见解析，②． 【分析】本题考查了解一元一次方程，作图-基本作图，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先去分母，整理得到，求解即可； （2）①根据作角平分线的方法作图即可； ②根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， 整理得：， 解得：； （2）①如图，则即为所求： ②由作图可知，为的平分线， ∵， ∴N为的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， 的周长． 19．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）（1）商家推出两种纪念品．已知购买7个甲种纪念品和买10个乙种纪念品的费用相同；每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多3元．求每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价． （2）如图，在中，，． ①用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） ②在①的条件下，连接，若，求的长． 【答案】（1）每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为7元；（2）①见解析；② 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度的直角三角形，角平分线的性质，解一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设每个乙种纪念品的进价为x元，则每个甲种纪念品的进价为元，由题意可得，解方程即可； （2）①根据题目要求作出图形即可； ②由①可知，，得出为的平分线，根据角平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设每个乙种纪念品的进价为x元，则每个甲种纪念品的进价为元． 由题意可得， 解得． ∴， 答：每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为7元． （2）①如图，直线、点E、D即为所求： ②∵，， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴，． ∴， ∴为的平分线， ∵直线为线段的垂直平分线，， ∴． 在中，， ∴， ∴． ( 题型0 5 )勾股定理及其逆定理 20．（2025·新疆昌吉·一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有这样一个问题：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长10寸”，译为：拱高寸，弦寸，则圆柱形木材直径是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】此题考直的是垂径定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌据垂径定理和利用勾股定理列方程， 拫据垂径定理倡出（寸），在中，的长为寸，则，据此列方程求出答案即可， 【详解】解：1尺寸． 根据题意可得（寸）． 设圆的半径为R寸， 在，的长为寸， 则 ∴这块圆柱形木材的直径是：（寸）． 故选：D． 21．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质、勾股定理，利用割补法求阴影部分面积是解题的关键．由题意得，，利用旋转的性质得到，，，最后利用阴影部分面积即可求解． 【详解】解：，， ，， 由旋转的性质得，，，， ，， 阴影部分面积 ． 故选：B． 22．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，四边形是菱形，，，直线交两对边于点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵直线交两对边于点，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 23．（2025·新疆阿克苏·一模）在菱形中，若，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解决此题的关键，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理得出，再由勾股定理 计算，即可得到结论． 【详解】解：如图，连交于点， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ， 故答案为：． 24．（2025·新疆吐鲁番·一模）第14届国际数学教育大会会标如图(a)所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图(b)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若．则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$