专题10 二次函数压轴题（新疆专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）将二次函数的图象向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆喀什·一模）已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．（2025·新疆·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 4．（2025·新疆·一模）如图，已知抛物线（）的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，，则，其中正确的选项是（   ） A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 5．（2025·新疆·一模）关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（2025·新疆·一模）如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ． 8．（2025·新疆·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 三、解答题 9．（2025·新疆·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 10．（2025·新疆·一模）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 11．（2025·新疆·一模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 12．（2025·新疆喀什·一模）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个40元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（取） 13．（2025·新疆·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式； （2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·新疆·一模）将二次函数的图象向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移， 根据二次函数的平移特征“上加下减，左加右减”可得答案. 【详解】解：将二次函数向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度所得的关系式为. 故选：C. 2．（2025·新疆喀什·一模）已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点等知识；先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，求出顶点坐标；由题意知，，三点中必有一点是抛物线的顶点，由三角形面积即可求得m的值． 【详解】解：令，解得， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线顶点坐标为； ∵抛物线上有且只有，，三点满足， ∴，，三点中必有一点是抛物线的顶点， ∴； 故选：C． 3．（2025·新疆·一模）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 4．（2025·新疆·一模）如图，已知抛物线（）的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，，则，其中正确的选项是（   ） A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，掌握二次函数的图像与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴为， ， ， ，故①正确； ∵过点，二次函数对称轴为， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得，当时，， ，故②正确； 由函数图象可得，当时，， ， 把代入，得，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵二次函数开口向下， ∴，故④正确； 综上所述，正确的选项是①②④， 故选： ． 5．（2025·新疆·一模）关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 6．（2025·新疆昌吉·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键． ①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④． 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③   ，即③错误； ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有2个． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·新疆·一模）如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①；由可判断结论②；由处函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②错误； 由得函数的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，则， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④错误． 综上所述，正确的选项是①③． 故答案为：①③． 8．（2025·新疆·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中∶①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④ 三、解答题 9．（2025·新疆·一模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 (1)求抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． 【详解】（1）∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； （2）∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 10．（2025·新疆·一模）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 11．（2025·新疆·一模）某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)20元/件或30元/件 (3)商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用． （1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k、b的值即可确定y与x之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式； （2）令可得一元二次方程，求解即可； （3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答． 【详解】（1）解：由题意可设，     则 解得， 所以． 所以，， 即． （2）解：由题意可得，． 解得． 答：该商品的定价是20元/件或30元/件． （3）解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值． 当时， （元）． 答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元． 12．（2025·新疆喀什·一模）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个40元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（取） 【答案】(1) (2)销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元 (3)销售单价应定为46元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出二次函数是解题的关键； （1）根据销售利润等于销售量与单件利润的积，列出函数关系式即可； （2）求出二次函数的最大值即可； （3）由（1）的函数式，求出函数值为200时的自变量的值即可． 【详解】（1）解：， 整理得：，其中； 故与之间的函数关系式为； （2）解：， 由于二次项系数为负，且， 则当时，函数取得最大值，且最大值为400； 答：这种双肩包销售单价定为60元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元； （3）解：， 即， 解得：， 由于物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于52元， 所以； 答：销售单价应定为46元． 13．（2025·新疆·一模）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP． （1）求该抛物线的解析式； （2）当动点P运动到何处时，BP2＝BD•BC； （3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝－x－4； （2）见解析 （3）点P的坐标为(1，0) 【分析】(1)利用A(4，0)、B(－2，0)两点，求出该抛物线的解析式 (2)令x＝0时，求出点C的坐标，通过△BPD∽△BAC，求得BD的长，根据勾股定理求出BC的长，利用BP2＝BD•BC，求出点P的坐标 (3)通过面积比是相似比的平方，求得△BPD的面积，利用S△BPC的最大值，求出点P的坐标 【详解】解：(1)由题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x－4； (2)设点P运动到点(x，0)时，有BP2＝BD•BC， 令x＝0时，则y＝－4， ∴点C的坐标为(0，－4)． ∵PD∥AC， ∴△BPD∽△BAC， ∴． ∵BC＝， AB＝6，BP＝x－(－2)＝x＋2． ∴BD＝＝＝． ∵BP2＝BD•BC， ∴(x＋2)2＝， 解得x1＝，x2＝－2(－2不合题意，舍去)， ∴点P的坐标是(，0)，即当点P运动到(，0)时，BP2＝BD•BC； (3)∵△BPD∽△BAC， ∴， ∴× S△BPC＝×(x＋2)×4－ ∵， ∴当x＝1时，S△BPC有最大值为3． 即点P的坐标为(1，0)时，△PDC的面积最大． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$