1.1 探索勾股定理（第1课时 认识勾股定理）（培优教学课件）数学北师大版2024八年级上册

1.1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 第一章 勾股定理 北师大版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点） 知识回顾 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形. 三角形的内角和是 180°. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 有一个角是 90°的三角形是直角三角形. 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形. ？ 情境导入 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. 情境导入 6 m 8 m 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ ？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 新知探究 (1) 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 a2 b2 c2 可能的关系 a b c 新知探究 (2) 如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流. a b c 4 4 8 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 9+9=18 a2+b2=c2 你能找出右图中的数量关系吗？ 新知探究 (2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流. a b c 4 4 8 右图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 4 4 8 4+4= 8 a2+b2=c2 新知探究 对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？ 方法一：割 将正方形 C 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 方法二：补 将正方形 C 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. a2 + b2 = c2 该怎样求 C 的面积呢？ 新知探究 (3) 如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由. 勾 股 弦 1 0 2 1 1.6 2.4 成立. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 因此，我国称上面的结论为勾股定理. 新知探究 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. a A B C b c ∟ 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 勾股定理 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则a2 =c2 -b2，b2=c2-a2. 新知探究 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. 新知探究 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”. 新知探究 尝试思考 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线 杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 62+82 = 100， 即AB=10. A C B 答：需要 10 m 的钢索. 典例分析 例1.已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求 CD 的长. 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2 + BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 方法技巧 解 析 方法技巧 解题的关键： 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ ABC内的情形，忽视高AD在△ ABC外的情形． 典例分析 例2.在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 解：当高AD在△ABC内部时，如图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴BD＝16 . 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴CD＝9. ∴BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60. 方法技巧 解题的关键： 本例题中，易只考虑高AD在△ ABC内的情形，忽视高AD在△ ABC外的情形． 典例分析 例2.在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 方法技巧 注意审题，找重点，在直角三角形中，用勾股定理求解； 直接利用勾股定理求线段长 题型一 题型探究 例3.如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AC+AD=32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的长. A B D C Rt△ACD Rt△ABD CD=16， AD=x， AC=32-x BD=5 求AD 求AB 小明 直接利用勾股定理求线段长 题型一 题型探究 例3.如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AC+AD=32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的长. 解：因为 AD⊥BC， 所以∠ADC =∠ADB ＝ 90°. 由 AC + AD = 32，设 AD = x，则 AC = 32-x. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2， 即 x2+162=(32-x)2，解得 x=12，所以 AD = 12. 在 Rt△ABD中，由勾股定理，得 AD2+BD2=AB2， 即 122 + 52 = 169 = AB2，所以 AB = 13. A B D C 认识勾股定理 利用勾股定理进行计算 课堂小结 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. 变式训练 1.若直角三角形中，有两边长是 3 和 4，则第三边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 D 变式训练 2.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A B C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得： BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49， 所以BC=0.7. 答：梯脚与墙的距离是0.7米. 变式训练 3.如图，在 Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B= 90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A. B. C.4 D.5 5 3 5 2 C 感谢聆听! $$