精品解析：北京市第一六一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期期中阶段练习 高一数学 2025.4 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题.5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，求出结果． 【详解】与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是， 故选A． 【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到 与角终边相同的角是 2kπ+（），k∈z，是解题的关键 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得. 【详解】点是第二象限角终边上的一点，则， 由，得，所以. 故选：C 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用密位制与弧度制公式及弧长公式计算即可. 【详解】由题意知，密位的圆心角为，所以弧长为. 故选：C. 4. 下列四个函数中，最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性与周期性一一判断即可. 【详解】对于A：令，则， 所以为的周期，故的最小正周期不为，故A错误； 对于B：令， 则， 所以为偶函数，且最小正周期，故B错误； 对于C：为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：令， 则， 所以为偶函数， 又的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，故D正确. 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值. 【详解】由于，所以， 故选：B 6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根平面向量的数量积的运算公式和夹角公式，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若， 可得， 因为，是两个不共线向量，所以，所以， 所以，所以， 又由，是两个不共线向量，可得， 即与的夹角为钝角，所以必要性成立； 由向量与的夹角为钝角，不妨设， 可得，此时， 所以与不垂直，即充分性不成立， 所以“与的夹角为钝角”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 7. 已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（ ） A. 为定值10 B. 为定值5 C. 不为定值，与点P位置有关 D. 为定值12 【答案】A 【解析】 【分析】令的中点，利用等腰三角形性质及数量积的定义求解. 【详解】令的中点，由，得，,， 所以. 故选：A 8. 设函数，，，则可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，分别为函数最大值和最小值，再写出自变量的取值，作差变形即可求解. 【详解】函数的最大值为2，最小值为，又， ，分别为函数的最大值和最小值， 不妨设，， 即，，， ，， 又， ，， 当时，，的一个可能值为3. 故选：D. 9. 已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦定理计算出，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】如下图所示： 点在边上，且，， 由余弦定理得，整理得， ，解得，，则， 由正弦定理得，所以，. 由余弦定理得，同理可得， 则. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 10. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到和的周期，观察图象即可. 【详解】由题知，粒子从为一个周期， 对应由为一个周期， 对应由为两个周期， 函数周期是函数的周期的倍. 对于A，的周期为，的周期为，故A错误； 对于B，的周期为，的周期为，故B正确； 对于C，的周期为，的周期为，故C错误； 对于D，的周期为，的周期为，故D错误. 故选：B. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______. 【答案】 ①. （答案不唯一，符合题意即可） ②. （答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 则，，则， 因为，所以， 所有或，， 解得：或，， 取，的一个值可以为，的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）. 13. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97） 【答案】95 【解析】 【分析】利用正弦定理计算，得出的面积，根据面积求出到的距离即可． 【详解】如图， 在中，， 由正弦定理得：， ， ， 到的距离（米）． 故答案为：95 14. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 或1 【解析】 【分析】化简函数并求出其周期，由两个函数周期相同求出，再求出对称轴进而确定即可求出. 【详解】依题意，，函数的周期为， 由函数和的图象对称轴完全重合，得的周期，所以； 函数，由，得， 函数中，由，得， 依题意，， 则当时，， 当为奇数时，，， 当为偶数时，，，所以或. 故答案为：2；或1 15. 若函数（）零点为，函数（）的零点为，则下列结论正确的是__________. ①；②；③；④ 【答案】②③ 【解析】 【分析】将函数和的零点问题转化成函数图象交点问题，再数形结合研究分析即可. 【详解】分别令，，得，， 所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标， 函数零点等价于与图象交点的横坐标， 作出函数、和在上的图象，如图所示： 因当时，，，且， 又单调递减， 所以，， 所以， 又，，故①错误，②③正确， 又， 所以，即，故④错误. 故答案为：②③. 三、解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案. (2)由余弦定理可得，再由面积公式可求答案. 【详解】解：（1） 由，得，， ∴， 又因为为锐角三角形，∴. （2）由余弦定理可知，， 即，解得， ∴. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题. 17. 在平面直角坐标系中，锐角，均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点B的横坐标为. （1）直接写出和的值，并求的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）10 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义求出和，再利用差角的正切计算得解. （2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得. 【小问1详解】 由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为， 则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此； . 【小问2详解】 由（1）知，. 18. 在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． （1）求n的值； （2）当时，求； （3）求的取值范围． 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示，列出方程求解即得； （2）由（1）求出的坐标，利用向量夹角公式计算即得； （3）用表示的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得． 【小问1详解】 依题意，， 由，得． 【小问2详解】 由（1）知，，由，，得， ，， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，，， 则， 由为线段上一点，且，得， 当时，，当时，， 所以的取值范围． 19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题. （1）求的值； （2）若函数在区间上的有且仅有两个零点，求a的取值范围. 条件①； 条件②是的一个零点； 条件③. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将函数进行化简，然后①将函数值代入函数中，②将零点代入函数中，③列出等式，即可求出的值. （2）首先求出函数的零点，然后根据条件判断的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 将①作为已知条件，因为， 所以，所以. 因为，所以. 将②作为已知条件，因为是的一个零点， 所以. 所以，因为，所以. 将③作为已知条件，因为， 所以. 所以，展开化简得，进而得，因为，所以. 【小问2详解】 按照条件①②③求得的，所以函数解析式为：. 因为在区间上有且仅有两个零点， 所以令，则， 解得. 当时，；当时，；当时，. 所以的取值范围为：. 20. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） 0 x 0 2 0 0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“五点法”作图可对表格补全，写出解析式； （2）根据平移得到，再把对称中心代入可求即可得到最小值； （3）根据题意得到的值域，再进行换元转化为二次函数恒成立性问题，利用二次函数根的分布可求m的取值范围. 【小问1详解】 表格补全如下 0 x 0 2 0 0 【小问2详解】 将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到， 又图象的一个对称中心为， 所以，解得， 因为，所以的最小值为. 【小问3详解】 ，，， ，即在上恒成立，所以 解得， 所以m的取值范围. 21. 设（为正整数），对任意的，，定义 （1）当时，，，求； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； （3）集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 【答案】（1）1 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值； （3）由得到，再根据且，得到，由此即可判断A中个数. 【小问1详解】 当时， ； 【小问2详解】 因为均为偶数，所以结果为0或2， 若，则A中的任意两个元素乘积为0， 即共有四个元素， 若，则A中必有两个位置为1， 即， 所以A中元素个数的最大值为4; 【小问3详解】 ，中的“1”变为“0”，“0”变为“1”， 得到， 可得， 因为，， 所以， 因为中有个元素， 则A中元素个数最多有个， 所以A中元素个数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第一六一中学2024—2025学年第二学期期中阶段练习 高一数学 2025.4 本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共10道小题，每小题.5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把正确答案涂写在答题卡上相应的位置. 1. 在范围内，与角终边相同的角是 A. B. C. D. 2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）． A. B. C. D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ） A B. C. D. 4. 下列四个函数中，最小正周期为，且为偶函数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等腰△ABC中，，，点P是边BC上的动点，则（ ） A. 为定值10 B. 为定值5 C. 不为定值，与点P位置有关 D. 为定值12 8. 设函数，，，则可以是（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 9. 已知等边边长为，点在边上，且，.下列结论中错误的是 A. B. C. D. 10. 一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在时刻，粒子从点出发，沿着轨迹曲线运动到，再沿着轨迹曲线途经点运动到，之后便沿着轨迹曲线在，两点之间循环往复运动.设该粒子在时刻的位置对应点，则坐标，随时间变化的图象可能是（ ） A. B. C D. 二、填空题：本大题共5道小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上. 11. 求值：__________. 12. 已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______. 13. 欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择A，B两个观测点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河宽约为______米．（结果精确到1米，参考数据：，，sin75°≈0.97） 14. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________. 15. 若函数（）的零点为，函数（）的零点为，则下列结论正确的是__________. ①；②；③；④ 三、解答题：本大题共6道小题，共75分.把答案填写在答题卡上相应的位置. 16. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求面积. 17. 在平面直角坐标系中，锐角，均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点B的横坐标为. （1）直接写出和的值，并求的值； （2）求的值. 18. 在平面直角坐标系中，O为原点，，，，，P为线段BC上一点，且． （1）求n的值； （2）当时，求； （3）求的取值范围． 19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题. （1）求的值； （2）若函数在区间上的有且仅有两个零点，求a的取值范围. 条件①； 条件②是的一个零点； 条件③. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动（）个单位长度，得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 21. 设（为正整数），对任意的，，定义 （1）当时，，，求； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； （3）集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$