12.1分式（教学课件）数学冀教版2024八年级上册

分式 12.1 第12章 分式和分式方程 冀教版2024 八年级上册 情境●引入 思考： 工程队承建一所希望学校，在施工过程中，由于未引进了先进设备，工作效率提高了20%，因此比原定工期提前1个月完工，那么，这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校？ 情境●引入 1.长方形的面积为10cm²，长为7cm.宽应为______cm；长方形的面积为S,长为a, 宽应为____； 2.把体积为200cm³的水倒入底面积为33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为______； 3.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，若江水的流速为v千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间为_____小时，以最大航速逆流航行60千米所用的时间为 小时. 填空： 新知●探究 思考： 如何将上面问题中得到的式子进行分类？ 其他 整式 新知●探究 对于式子 ， ， ， 它们有什么相同点和不同点？ 相同点 不同点 形式上都具有分数 的特征； 分母中是否含有字母. 分子 A、分母 B 都是整式. 思考： 分式的概念 分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式. 分式 中，A叫做分子，B叫做分母. 分式必须满足三个条件：①形如 的式子；②A、B都是整式；③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可. 判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本来“面目”是否符合分式的概念. 新知●探究 分式与分数有何联系？ ② 分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 整数 整数 整式 整式 (分母含有字母) 分数 分式 类比思想 特殊到一般的思想 ① 7 100 a+1 100 (是一个数) 思考： 新知●探究 数 有理式 整式 分式 有理数 整数 分数 式 数式通性 类比 典例●精析 例1 下列各式哪些是整式？哪些是分式？ 整式 整式 分式 整式 分式 整式 分式 整式 分式 整式 新知●探究 归纳总结 分式的辨析 分式的概念可类比分数得到，分式的形式与分数类似，都有分子与分母，不同的是分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，且分式的分母中含有字母. 例如： 虽然分母中含有字母，但是分母不是整式，所以这个不是分式. 判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如： . 典例●精析 例2 从“－1、4、5、a、b、c”中任选几个数字或字母，编一个分式. 等（答案不唯一） 提示 新知●探究 x …… -3 -2 -1 0 2 3 ……                                                 填表： 思考1：填表时发现了什么问题吗？ 思考2：分式在什么条件下有意义？ 核心归纳 分式有意义的条件 对于分式 ： 当_______时，分式有意义； 当_______时，分式无意义. B≠0 B = 0 典例●精析 例3 解：(1) 要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x≠0； (2) 要使分式 有意义，则分母x－1≠0，即x≠1； (3) 要使分式 有意义，则分母5－3b≠0，即b≠ ； (4) 要使分式 有意义，则分母x－y≠0，即x≠y. 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ （1） ； (2) ； (3) ； (4) . 思路点拨: 要使得分式有意义， 即分母不等于零. 新知●探究 其中a，b，c 是数． 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？ 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 思考： 一般地，对于任意一个分数 ，有 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 上述性质可以用等式表示为： 其中 A，B，C 是整式. 分式的基本性质 新知●探究 例如： 典例●精析 例4 写出下列等式中所缺的分子或分母． (1) (2) (3) bc ma＋mb x－y 注意事项 注意事项01 注意事项02 注意事项03 分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； 所乘(或除以)的必须是同一个整式； 所乘(或除以)的整式应该不等于零. 典例●精析 典例●精析 例5 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1) 由 , 知 . (2) 为什么本题未给 ? (2) 解: (1) 由 知 为什么给出c≠0? 典例●精析 例6 不改变分式 的值，使分子、分母的第 一项系数不含“－”号 解： 解： 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的多项式按 的降幂排列, 且首项的系数是正数. 变式： 典例●精析 例7 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数， 且使分子和分母不含公因式： 典例●精析 例8 约分： 解: 思路点拨：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式. 典例●精析 方法总结 找公因式方法： (1) 取系数的最大公约数作为系数； (2) 取分子、分母相同因式的最低次幂作为因式. 约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. 核心归纳 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 约分前后分式的值要相等 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式 约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 分式约分 课堂●小结 分式 定义 有意义的条件 基本性质 形如 叫做分式，A、B 都是整式 分母B 中含有字母 分母 B ≠0 内容 作用 注意 三同一不 分子分母的各项系数化为整数 分式的符号法则 课后●练习 1．当分式 没有意义时，x的值是(　　) A．3 B．1 C．0 D．－3 D C 2.当x为任何实数时，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. C 课后●练习 4.分式 可变形为(　　) A． 　　 B.　　 C． 　 D. 5.下列运算错误的是(　　) A. B. C. D. D D C 6.下列式子从左到右的变形一定正确的是(　　) A. 　　　　　　 B. C. D. 课后●练习 8.填空： （1） （2） 课后●练习 9．当x取什么值时，分式 : (1)没有意义？(2)有意义？ 解：（1）∵分式 没意义，∴x－1＝0，解得x＝1； 2x+4 x-1 （2）∵分式 有意义，∴x－1≠0，即x≠1； 2x+4 x-1 课后●练习 解: 10.约分： 课后●练习 (1) ； 解： ＝ ＝； (2) . 解：＝ ＝. 3.根据分式的基本性质，分式可变形为(　　) A． B． C．－ D．－ 7.不改变分式的值，把下列分式的分子和分母中各项的系数化为整数： (1)eq \f(\f(1,3)a＋b,2a－\f(1,2)b)＝ ；(2)eq \f(0.01a－0.03b,0.05a＋0.04b)＝ . eq \f(2a＋6b,12a－3b) 11.已知x：y：z＝2：3 ：4，求的值． 解：∵x：y：z＝2：3：4， ∴设x＝2m，y＝3m，z＝4m(m≠0)． ∴＝ ＝ ＝. $$