2024-2025学年高二数学下学期导数期末复习

高二下导数期末复习 板块一：导数的求法 （1） 定义法：y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'= （2） 公式法 组 原函数 导函数 组 原函数 导函数 幂函数 f（x）=c（c为常数） 三角函数 f（x）=sin x f（x）=xα，（α∈R，且α≠0） f（x）=cos x 指数函数 f（x）=ax（a>0，且a≠1） 对数函数 f（x）=logax（a>0，且a≠1） f（x）=ex f（x）=ln x ［f（x）±g（x）］'= ［f（x）g（x）］'= 特别地，［cf（x）］'= .'= 复合函数求导法则： 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·广东珠海·期中）已知函数，则（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 . 6． （24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若，则 . 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 板块二：导数的几何意义 （1） 平均变化率=表示的是割线的（ ） （2） 瞬时变化率f'（x0）=即函数y=f（x）在x=x0处的导数f'（x0）就是切线的（ ） （3） 求切线方程的步骤： ①找切点P（x0，f（x0））（找不到就设）②求切线的斜率k0=f'（x0）③切线方程（点斜式） 7． （24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 8． （24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 10．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 压轴题一:切线与零点问题结合 12．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题二:利用切线解决距离问题 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 压轴题三：公切线问题 15．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 版块三：导数在函数中的应用 （一）函数的单调性与其导数的正负之间的关系：定义在区间（a，b）上的函数y=f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）>0 单调递增 f'（x）<0 单调递减 导函数看（ ），原函数看（ ） （二）用导数求函数的单调区间/极值/最值的一般步骤 1　 确定函数y=f（x）的定义域. 2　 求出导数f'（x）的零点. 3　 用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y=f（x）的单调区间，极值和端点值. 4　 单调性和极值直接下结论，最值还需比较极值和端点值的大小，再下结论。 注意点：（1）连续函数在闭区间上一定有最值，最值不是极值就是端点值； （2）连续函数在开区间不一定有最值（需要画函数草图确认），若有最值一定是极值。 17．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 20．（多选）（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A． B．在上单调递减 C． D．的图象关于原点中心对称 21．（多选）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递减 22．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，其中.(1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值；(2)当时，求函数在区间上的最值. 23．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，.(1)判断函数的单调性； 24．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 .(1)讨论函数的单调性; 25．设函数．(1)求在点处的切线方程；(2)证明：． 26．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设.(1)求在处的切线方程；(2)求证：当时，；(3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 压轴题四：恒成立与存在性问题 恒成立问题 存在性问题 思路一 参数分离后转化为非含参函数最值问题 思路二 图象法（含参函数最值问题） 通过画图辅助进行分类讨论，一般较复杂 27． （24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数．(1)求的最大值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围．参考数据：． 28．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 29．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围. 压轴题五：零点问题 30．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数．(1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 31．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性；(2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 压轴题六：极值点偏移问题 一、极值点偏移：我们知道二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若函数的极值点刚好在两根的中点的左边，我们称之为极值点左偏；若极值点刚好在两根的中点的右边，我们称之为极值点右偏. 二、纯极值点偏移与纯拐点偏移常规类型 1、极值点偏移（） （不偏移）二次函数 （左偏） 2、拐点偏移（） 三、极值点纯偏移特征： ①函数的极值点为； ②函数，然后证明：或. 四、极值点偏移的的纯偏移型解法步骤： ①构造一元差函数或是； ②对差函数求导，判断单调性； ③结合，判断的符号，从而确定与的大小关系； ④由的大小关系，得到，（横线上为不等号）； ⑤结合单调性得到，进而得到. 32．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下导数期末复习 板块一：导数的求法 （1） 定义法：y=f(x)的导函数f'()有时也记作y'，即f'(x)=y'=. （2） 公式法 组 原函数 导函数 组 原函数 导函数 幂函数 f（x）=c（c为常数） 三角函数 f（x）=sin x f（x）=xα，（α∈R，且α≠0） f（x）=cos x 指数函数 f（x）=ax（a>0，且a≠1） 对数函数 f（x）=logax（a>0，且a≠1） f（x）=ex f（x）=ln x ［f（x）±g（x）］'= ［f（x）g（x）］'= 特别地，［cf（x）］'= .'= 复合函数求导法则： 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的概念可得结果. 【详解】. 故选：D. 3.（24-25高二下·广东珠海·期中）已知函数，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的极限定义，结合求导公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 4．（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、导数的乘除法 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 5．（24-25高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 . 【答案】6 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】对函数求导，结合导数的定义求目标式的值. 【详解】由题设，根据导数的概念知. 故答案为：6 6．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若，则 . 【答案】4 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】根据给定条件，利用导数定义代入计算即得. 【详解】函数，求导得， 由，得，因此， 所以. 故答案为：4 7．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导，计算，最后计算即可. 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：A. 板块二：导数的几何意义 （1） 平均变化率=表示的是割线的（ ） （2） 瞬时变化率f'（x0）=即函数y=f（x）在x=x0处的导数f'（x0）就是切线的（ ） （3） 求切线方程的步骤： ①找切点P（x0，f（x0））（找不到就设）②求切线的斜率k0=f'（x0）③切线方程（点斜式） 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 9．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 10．（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 11．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可. 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 压轴题一:切线与零点问题结合 12．（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点，利用导数求出切线方程，代入点，可得，过点可以做三条直线与曲线相切，即方程有三个不等的实数根，令，利用导数判断单调性，求极值，即可求得实数的取值范围. 【详解】设切点为，，， 点处的切线斜率， 则过点的切线方程为， 又切线过点，所以，化简得， 过点可以作三条直线与曲线相切， 方程有三个不等实根． 令，求导得到， 令，解得，， 则当时，，在上单调递减，且时，， 当时，，在上单调递增，且，， 当时，，在上单调递减，且时，， 如图所示，    故，即． 故选：A． 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）实数、、、满足：，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、求点到直线的距离 【分析】由两点坐标表示距离公式可知的最小值转化为上的点与上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由，得，又， 所以，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值， 由，得， 与平行的直线的斜率为， 由，解得或（舍），可得切点为， 切点到直线的距离的平方，即为的最小值， 所以，的最小值为． 故选：D. 14．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的一个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】判断直线与抛物线的位置关系、已知切线（斜率）求参数 【分析】直线与抛物线相切时，切点到直线的距离即为最小值，由此可求解． 【详解】设直线与抛物线相切于点，显然切点位于第一象限， 在第一象限内，由，得，则， 所以，即，所以点的坐标为， 所以的最小值为点到直线的距离，即. 故选：A. 压轴题三：公切线问题 15．（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 16．（23-24高二下·云南楚雄·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别设两曲线上的两个切点坐标，然后利用导数求斜率，用斜率相等建立方程①，再利用两点坐标求斜率再次利用斜率相等建立方程②，解方程组即可求得切点横坐标，最后求得切点与斜率即可得解. 【详解】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 版块三：导数在函数中的应用 （一）函数的单调性与其导数的正负之间的关系：定义在区间（a，b）上的函数y=f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）>0 单调递增 f'（x）<0 单调递减 导函数看（ ），原函数看（ ） （二）用导数求函数的单调区间/极值/最值的一般步骤 1　 确定函数y=f（x）的定义域. 2　 求出导数f'（x）的零点. 3　 用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y=f（x）的单调区间，极值和端点值. 4　 单调性和极值直接下结论，最值还需比较极值和端点值的大小，再下结论。 注意点：（1）连续函数在闭区间上一定有最值，最值不是极值就是端点值； （2）连续函数在开区间不一定有最值（需要画函数草图确认），若有最值一定是极值。 17．（24-25高二下·天津·期中）的单调递增区间为 【答案】 【分析】根据导函数为正得出函数增区间. 【详解】因为，，所以. 单调递增区间为. 故答案为： 18．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 19．（甘肃省酒泉市四校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数在区间上单调递增，得在上恒成立，由，计算即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为函数，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为：. 20．（多选）（24-25高二下·广东中山·期中）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ） A． B．在上单调递减 C． D．的图象关于原点中心对称 【答案】ABC 【分析】根据导数的几何意义求得a的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D. 【详解】，则， 因函数的图像在处的切线斜率为9， 所以，解得，故A正确. ，， 令，得， 所以在上单调递减，故B正确. 由于，故C正确. 函数，，， 所以，则的图象关于点中心对称，故D错误. 故选：ABC 21．（多选）（24-25高二下·安徽芜湖·期中）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ） A．有个极值点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．在上单调递减 【答案】AB 【分析】根据函数的图像可得函数的单调区间，进而判断各选项. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，，，单调递增； 在区间，，，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，是的极小值点， 所以A，B选项正确； 故选：AB. 22．（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，其中. (1)若在点处的切线与直线垂直，求a的值； (2)当时，求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求导，计算，由切线与直线垂直即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）的定义域为， ， ∴， 由题意知， ∴. （2）当时， ∴， 又，当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴. 23．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. 【详解】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． 24．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数 . (1)讨论函数的单调性; 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用 【分析】（1）先确定定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； 【详解】（1）易知函数的定义域为，， 令，，，对称轴为， （1）当，即时，方程有两根为，， （i）时，，时，，即， 时，，即， （ii）时，，时，，即， 时， ，即， （2）当，即时，方程的根为， 此时在区间上恒成立，当且仅当取等号， （3）当，即时，在区间上恒成立， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，无减区间. 25．设函数． (1)求在点处的切线方程； (2)证明：． 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 由（1）知，函数在上单调递增， 而， 则存在，使得，即，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数在上单调递减，则，于是； 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即， 因此， 所以. 26．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设. (1)求在处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)证明：对于任意正整数都有恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证； （3）由（2）可知当时，可得，根据等比数列求和可知，即可得解. 【详解】（1）已知，则， 则，又， 所以切线方程为，即. （2），所以， 令，解得， 可知当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. （3）由（2）可知当时，，即， 令，可得， 从而 ， ， 即， 则对于任意正整数都有恒成立. 压轴题四：恒成立与存在性问题 恒成立问题 存在性问题 思路一 参数分离转化为非含参函数最值问题 思路二 图象法（含参函数最值问题） 通过画图辅助进行分类讨论，一般较复杂 27．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求的最大值；(2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 参考数据：． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而求出最大值； （2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断单调性求解即可. 【详解】（1）的定义域为，，令，得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 所以的最大值为； （2）对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 所以，， 令，，， 令，得， 当时，，在单调递减； 当时， ，在单调递增， 且，， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 28．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知函数，当时，函数有极小值0. (1)求函数的解析式； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答. （2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答. 【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0， 因此，解得，此时， 当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0， 所以函数的解析式为. （2），不等式， 令，，求导得， 因此函数在上单调递减，则当时，， 因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有， 所以实数的取值范围是. 29．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可； （2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）, , ①当时，恒成立， 在上单调递增. ②当时，恒成立，在上单调递减， ③当时，， 在单调递减，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 当时，在单调递减，单调递增. （2）由题意可知： 在单调递减，单调递增 由（1）可知： ①当时，在单调递增，则恒成立 ②当时，在单调递减， 则应（舍） ③当时，， 则应有 令，则，且 在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解 综上，. 30．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为. (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求该函数的定义域，求导，根据导数判断函数的单调性； （2）分离参数，并构造函数，利用导数得出的大致图像，进而由与的图象有两个交点结合图像得出所求范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，即，解得. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 综上，函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由题意在上有两个不同的根. 可化为， 令，则问题转化为与的图象有两个交点. , 令，则，. 当时，，则，函数在上单调递增； 当时，，则，函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，， 当时，，则， 当时，的增长速度远慢于的增长速度，所以. 因为与的图象有两个交点，所以. 综上，的取值范围为. 31．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数分类讨论单调性； （2）结合函数单调性和零点存在定理求的取值范围. 【详解】（1），. 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 要使在区间内存在零点，须. 即解得， 故的取值范围是. 压轴题六：极值点偏移问题 一、极值点偏移 我们知道二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若函数的极值点刚好在两根的中点的左边，我们称之为极值点左偏；若极值点刚好在两根的中点的右边，我们称之为极值点右偏. 二、纯极值点偏移与纯拐点偏移常规类型 1、极值点偏移（） （不偏移）二次函数 （左偏） 2、拐点偏移（） （不偏移） （左偏） 三、极值点纯偏移特征： ①函数的极值点为； ②函数，然后证明：或. 四、极值点偏移的的纯偏移型解法步骤： ①构造一元差函数或是； ②对差函数求导，判断单调性； ③结合，判断的符号，从而确定与的大小关系； ④由的大小关系，得到，（横线上为不等号）； ⑤结合单调性得到，进而得到. 32．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程即可. （2）将原式合理变形后，对参数进行分类讨论，合理转化求解即可. （3）首先构造函数证明两个不等式，再相加证明目标式即可. 【详解】（1）由题意得，故切点为， 设切线斜率为，而，定义域为， 故，则切线方程为， 综上，曲线过点的切线方程为. （2）而，令，， 令，，故在单调递减，在单调递增， 故的最小值为， 令，且满足， 我们先证明当时，， 设， 因为，所以， 故，即，得到记为①式， 再证当时，， 令，， 故证明此时即可， 当时，，故在上单调递减， 而，故，即成立， 所以记为②式， 由①②式得，得到成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$