精品解析：山东省济南市商河县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，平移 至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象如图所示，当时， 的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 8. 若如图，将 绕点A逆时针旋转 得到， 若，且于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，在平面直角坐标系中 、 两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点 的对应点 的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知一次函数与 图象的交点坐标为现有下列四个结论：① ；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为 的纵，横相交的小路，这块草地的面积为_____． 12. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为______． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________． 14. 如图，直线经过点和点，直线 经过点 ，则不等式组的解集是______． 15. 如图，在 中， 是 边上的高，，， ，连接，交的延长线于点 ，连接 ，，则下列结论：① ；② ；③；④ ，其中正确的有________________（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. 如图， ．求证：． 18. 解不等式（组）： （1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，并写出所有的正整数解． 19. 如图，在 中，，， 垂直平分，的周长为20，． （1）求 的周长． （2）求 的度数． 20. 如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移 到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出 绕原点逆时针旋转 得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 21. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 22. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 23. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 24. 对于三个数，， ，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如： ，； 解决下列问题： （1）①__________． ②如果，则 的取值范围为____________________． （2）①如果，则 __________． ②根据①，你发现了结论“如果，那么__________（填，， 的大小关系）”． ③运用②的结论，填空： 若，并且，则__________． 25. 等边三角形中，点D为 的中点，点P为射线 上一个动点，连接 ，在 的右侧作等边三角形，连接 ． （1）如图1，当点Q落在射线 上时，与 的数量关系是 ，与 的夹角中锐角的度数为 ； （2）如图2，当点P在射线 上任意一点时，(1)中的结论是否还成立？若成立；请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）在(2)的条件下，连接 ，若 请直接写出线段 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级期中考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：两边都加一个或者减一个整式，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：D． 2. 下列手机中的图标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项 、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得出不等式组的解集即可. 【详解】根据数轴可知：不等式组的解集是 ； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确的信息是解题的关键． 4. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解一元一次不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．根据点所在象限中横纵坐标的符号即可列不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵在第二象限， ∴， 解不等式，得； 解不等式，得 ； 解得：， 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 6. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，观察图象知，直线与x轴交于．在交点左边，图象在x轴上方，即当 时，． 【详解】观察图象知，当 时，． 故选：D． 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ①-②得：x-y=3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-， ∴3m+2＞-， 解得：m＞， ∴m的最小整数解为-1， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 8. 若如图，将绕点A逆时针旋转 得到， 若，且于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得 ，，，再根据直角三角形的性质可得，再由求解即可． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转 得到， ∴ ，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 9. 已知，在平面直角坐标系中、 两点的坐标分别为、，将线段平移到线段，若点的对应点 的坐标为，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据左（右）平移时点的横坐标减去（加上）一个正数，上（下）平移时点的纵坐标加上（减去）一个正数，由点和点 的坐标确定出平移方式，进而求出点 坐标即可． 【详解】解：点和点是对应点， 平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度， 点 的对应点 的坐标为，即 故选：A． 10. 如图，已知一次函数与 图象的交点坐标为现有下列四个结论：① ；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与 图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线 的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数 的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与 图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为 的纵，横相交的小路，这块草地的面积为_____． 【答案】200 【解析】 【分析】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 根据平移的性质得出草地的长和宽，然后相乘即可． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为． 故答案为：200． 12. 在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即， 故答案为：． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝10，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF．若四边形ABED的面积为20，则平移距离为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，再根据平移的性质得AD=BE，ADBE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE=4，即得平移距离． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°， ∴AC=AB=5， ∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF， ∴AD=BE，ADBE， ∴四边形ABED为平行四边形， ∵四边形ABED的面积等于20， ∴AC•BE=20，即5BE=20， ∴BE=4，即平移距离等于4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质． 14. 如图，直线经过点和点，直线 经过点，则不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2）， 解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 又B（-2，0）， 此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1． 即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1． 故答案为-2＜x＜-1． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集． 15. 如图，在中，是 边上的高，，， ，连接，交的延长线于点 ，连接 ，，则下列结论：① ；② ；③；④ ，其中正确的有________________（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，，则③正确，同理，得出，则，证明．可得出结论④正确． 【详解】解：， ，即， 又， ， ， ，故①正确； ， ， ， 设 与相交于点， ， ；故②正确； 过点作 于点 ，过点作交的延长线于点 ， ， ，， ， 又， ， ，， 故③正确， 同理， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 故选：①②③④． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 17. 如图， ．求证：． 【答案】 证明： ， ， 即 ． ， 和 都是直角三角形， 在和中，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定， 先根据 ，可得 ，再根据“斜边，直角边”证明即可． 【详解】略 18. 解不等式（组）： （1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，并写出所有的正整数解． 【答案】（1） （2） ；1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为1，得到解集，然后根据“”，“ ”向右画；“”，“ ”向左画，“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，把解集表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得其整数解． 【小问1详解】 解：， 将解集在数轴上表示出来： 【小问2详解】 解： 解①得，， 解②得，， ， 为正整数， 或2或3． 19. 如图，在中，，， 垂直平分，的周长为20，． （1）求的周长． （2）求 的度数． 【答案】（1）31 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和线段垂直平分线的性质是解答关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到 即可求解； （2）根据等腰三角形的性质求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ 垂直平分， ∴ ， ∵的周长为20，， ∴， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转 得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】（1）图见解析；， （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，算出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）根据旋转中心的特点，是对应点连线的垂直平分线的交点，画出即可； 【小问1详解】 解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图， ∴B点平移后对应点的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：根据旋转中心的特点，借助网格画出，如图所示， ∴旋转中心的坐标， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，垂直平分线的定义等知识点，解决此题的关键是能找到旋转中心． 21. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 【答案】(1)x＜4；(2)x＜0；(3) x≤2；(4)y2>y1. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用直线y2=ax+b与x轴的交点为（4，0），然后利用函数图象可得到不等式ax+b＞0的解集． （2）利用直线y=mx+n与x轴的交点为（0，1），然后利用函数图象可得到不等式mx+n＜1的解集． （3）结合两条直线的交点坐标为（2，1.8）来求得y1≤y2解集． （4）结合函数图象直接写出答案． 试题解析：（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0）， ∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4； 故答案是：x＜4； （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1）， ∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；． 故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2， 所以当x≤2时，y1≤y2； （4）如图所示，当x＜0时，y2>y1． 22. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 【答案】(1)；(2)，图见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）= = = （2）∵， ∴ 解得： 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 23. 多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元． （1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？ （2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 【答案】（1）每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； （2）至少要购进A型早餐机5台． 【解析】 【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购进A型早餐机n台，根据总费用不超过2200元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得： ， 解得：， 答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元； 【小问2详解】 解：设购进A型早餐机n台，依题意得： 80n+120（20﹣n）≤2200， 解得：n≥5， 答：至少要购进A型早餐机5台． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键的是理解题意找出等量关系列出方程，以及根据条件列出不等式求解． 24. 对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如： ，； 解决下列问题： （1）①__________． ②如果，则的取值范围为____________________． （2）①如果，则__________． ②根据①，你发现了结论“如果，那么__________（填，，的大小关系）”． ③运用②的结论，填空： 若，并且，则__________． 【答案】（1）①,② （2）①,②，③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用相结合，准确计算是解题的关键． （1）①分别算出相对应的值，找出其中最大的就可以； ②根据最大值是2可得到不等式结果； （2）①分别计算出平均数和最大值，根据条件列式求解即可； ②根据前面的结论判断； ③根据已知条件进行分析即可． 【小问1详解】 解：①∵， ， ， ∴． ②∵， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：①， ∵， ∴， ∴ ． ②设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． ③∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 25. 等边三角形中，点D为 的中点，点P为射线上一个动点，连接 ，在 的右侧作等边三角形，连接 ． （1）如图1，当点Q落在射线上时，与 的数量关系是 ，与 的夹角中锐角的度数为 ； （2）如图2，当点P在射线上任意一点时，(1)中的结论是否还成立？若成立；请予以证明；若不成立，请说明理由． （3）在(2)的条件下，连接 ，若 请直接写出线段 的长． 【答案】（1） （2） 仍成立， ∵等边三角形中， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴ ，， ∴， 即， 在与 中， ， ∴ ， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设与 交于点O， 在 ，， ∴，即与 的夹角中锐角的度数为． （3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得出，， ，，有等腰三角形三线合一的性质可得出，，，由等角对等边得出 ，等量代换可得出． （2）由等边三角形的性质可得出 ，， ，，再证明 ，由全等三角形的性质可得出，，有角平分线的性质可得出，设与 交于点O，进一步即可得出答案． （3）先利用勾股定理求出，分2中情况讨论，画出图形结合（2）的过程即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ，， ∵点D为 的中点， ∴ ，，， ∴，， ∴，，即与 的夹角中锐角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵ ，点D为 中点， 则 ∴， ①当点P在射线 上点D左侧时，如图1， ∵ ， ∴． 由(2)可知，，， ∴ ②当点P在射线 上点D右侧时，如图2． ∵， ∴， 由(2)可知，，， ∴ 综上所述，线段 的长为或 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $