精品解析：湖南省邵阳市新邵县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年上期中学情监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据一组数中的三个数是否满足，若能则能构成直角三角形三边，否则不能构成直角三角形三边． 【详解】解：A选项：，，，不能构成直角三角形三边，故A选项不符合题意； B选项：，，，不能构成直角三角形三边，故B选项不符合题意； C选项：，，，能构成直角三角形三边，故C选项符合题意； D选项：，，，不能构成直角三角形三边，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得OA=24海里，OB=18海里，然后利用勾股定理的逆定理求出∠AOB=90°，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里）， ∵OA2+OB2=900，AB2=900， ∴OA2+OB2=AB2， ∴∠AOB=90°， ∴90°-40°=50°， ∴另一艘轮船的航行的方向是：北偏西50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴，，， ∴， 故选：D． 5. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】折痕为AC与BD，∠BAD=100°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=40°，易得∠BAC=50°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC， ∵∠BAD=100°， ∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°， ∴∠ABD=40°，∠BAC=50°． ∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°． 故选：C． 【点睛】此题考查菱形的判定，折叠问题，解题关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角． 6. 如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到，就可以推出与，而平分无法得到论证． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案A可以推出． 又∵在与中， ，， ∴， ∴，， ∴答案B、D均可以推出． ∴只有C无法推出， 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键． 7. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作法得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到． 【详解】解：， 由作法得平分， 过点作于， 如图， 平分，，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作法和角平分线的性质． 8. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（　　） A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠D＝75°，再由CE⊥AB由，即可求得答案 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°﹣∠B＝15°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等这一重要性质. 9. 如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键．由于点，可以得到和是直角三角形，根据直角三角形的判定“”，可以证明,得到，进而得到． 【详解】解：∵于点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 10. 如图，是等腰直角三角形度，，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，（ ） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，与交于点P，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：连接，与交于点P， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵，， ∴在中，根据勾股定理可得：； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意，确定点P的位置，由勾股定理求解． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若直角三角形两边长分别为3，4，则斜边中线长为___． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况，当3和4均为直角边时，当3为直角边，4为斜边时，进行计算即可解答． 【详解】解：当3和4均为直角边时， 斜边， 则斜边上的中线等于， 当3为直角边，4为斜边时， 则斜边上的中线等于2， 所以，斜边上的中线长为或2， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分两种情况进行计算是解题的关键． 12. 如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴∠A+∠ABC=， ∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E， ∴AD=BD， ∴∠ABD=， ∴， ∵， ∴AD=BD=2CD=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 2025边形的外角和等于______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形外角和为是解题的关键，根据多边形外角和定理即可求解． 【详解】解：多边形外角和为， ∴边形的外角和等于， 故答案为： ． 14. 如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由尺规作图可知，四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，根据作图得出四边形为菱形是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为_____________． 【答案】（0，-） 【解析】 【详解】解：由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC， ∵四边形OABC为矩形， ∴OC//AB， ∴∠BAC=∠DCA， ∴∠B′AC=∠DCA， ∴AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ，即， 解得：x=， ∴点D的坐标为：（0，）， 故答案为（0，）． 16. 如果点在第一象限，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】先根据第一象限的点横纵坐标都为正求出，进而得到，再根据第二象限的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解；∵点在第一象限， ∴， ∴，， ∴点在第二象限， 故答案为；二． 【点睛】本题主要考查了坐标系中每个象限内的点的坐标特征，熟知每个象限的点的坐标特征是解题的关键：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 17. 如图，在△ABC中，AB=6，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE上，且DF=3FE，当AF⊥BF时，BC的长是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°，又D是AB的中点， ∴DF=AB=3， ∵DF=3FE， ∴EF=1， ∴DE=4， ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴BC=2DE=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当落在边上时，如图（1）： 设交于点， 由折叠知：, ,, ，， 设，则中， 在中， 即． 当落在边上时，如图（2） 因为折叠， ． 故答案为：或 【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题（共66分，其中19、20题6分，21、22、23题各8分，24、25、26题各10分．） 19. 如图在中，于点E，，，． 求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质及勾股定理的应用，先求出，证明，再结合平行线的性质证明结论． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 又， ， ， ， ， ，即平分． 20. 如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G， 求证：BE＝FG． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接DE，根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，再证明四边形EFDG是矩形，根据矩形的对角线相等可得DE=FG，从而得证． 【详解】证明：如图，连接DE， 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， ∵在△ABE和△ADE中， ∴△ABE≌△ADE(SAS)， ∴BE=DE， ∵EF⊥CD于F，EG⊥AD于G，∠ADC＝90°， ∴四边形EFDG是矩形， ∴DE＝FG， ∴BE=FG． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的对角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，正方形的问题，往往都是通过作辅助线构造出全等三角形求解，要熟练掌握并灵活运用． 21. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）． 【答案】（1）证明见解析；（2）5cm． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论； （2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）由题意得：AD=4a，BE=3a， 由（1）得：△ADC≌△CEB， ∴DC=BE=3a， 在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2， ∴（4a）2+（3a）2=252， ∵a＞0， 解得a=5， 答：砌墙砖块的厚度a为5cm． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，余角的性质和勾股定理，其中熟练掌握三角形全等的判定方法和勾股定理是解题关键. 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据为等边三角形，证明，即可证明； （2）结合（1）证明为直角三角形，，根据，即可求的长． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 23. 已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． （1）求证：互相平分； （2）若，求四边形的周长和面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的周长为12，四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； 【小问2详解】 ∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 24. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键． 25. 已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点E，点P是线段上一定点（其中） （1）如图1，若点F在边上（不与D重合），将绕点P逆时针旋转后，角的两边分别交射线于点H、G． ①求证：； ②探究：之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在的延长线上（不与D重合），过点P作，交射线于点G，你认为（1）中之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②； （2）不成立，数量关系式应为：． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键． （1）①证，可证，已知，由旋转可知及平分得为等腰直角三角形，即，即可得证； ②由为等腰直角三角形知，根据即可得； （2）过点P作交射线于点H，先证为等腰直角三角形可得，再证可得，根据可得． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ 在和中， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 由①知，为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：不成立，数量关系式应为：， 如图，过点P作交射线于点H， ∵， ∴， ∴， ∵平分，且在矩形中，， ∴，得到为等腰直角三角形， ∴，且， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 26. 我们知道：直角三角形斜边上中线于斜边的一半．爱好数学研究的剑汇同学进一步思考：如图1，在中，，斜边上除了中点外还有没有一点，使得？如果存在，我们不妨纰将该线段称为“剑汇线” （1）命题：任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”，该命题是 　　命题．（填“真”或“假” ； （2）已知在中，，，存在“剑汇线” ．若． ①当时，求的长； ②随着的变化，的长也变化，直接写出的变化范围． 【答案】（1）假 （2）（2）①，②且 【解析】 【分析】（1）直接举反例即可判定； （2）①设,根据，构建方程求解即可；②求出两种特殊位置的最大值与最小值即可解答． 【小问1详解】 解：由等腰直角三角形不存在“剑汇线”，则任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”是假命题． 故答案为：假． 【小问2详解】 解：①如图1中，过点作于点． ，， ， 设， ，， ， ， ， ， 或（负根舍去）， ． ②如图中，当点与重合时，的值最小，此时是等边三角形， ， ， ． 如图中，当点与重合时，的值最大，此时是等边三角形， ， 当三角形为等腰直角数学三角形时，“剑汇线”不存在，此时， 综上所述，，且． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形的斜边中线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上期中学情监测八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即海里），则另一艘轮船航行的方向是北偏西（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（ ） A B. C. D. 6. 如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出结论是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则点到边的距离是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE＝（　　） A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 9. 如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等腰直角三角形度，，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，（ ） A. 9 B. 6 C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若直角三角形两边长分别为3，4，则斜边的中线长为___． 12. 如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________． 13. 2025边形的外角和等于______． 14. 如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为_____________． 16. 如果点在第一象限，则点在第______象限． 17. 如图，在△ABC中，AB=6，D、E分别是AB、AC中点，点F在DE上，且DF=3FE，当AF⊥BF时，BC的长是_____． 18. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点，将纸片沿折叠，点落在处，如图2，第二步，将纸片沿折叠，点落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为__________． 三、解答题（共66分，其中19、20题6分，21、22、23题各8分，24、25、26题各10分．） 19. 如图在中，于点E，，，． 求证：平分． 20. 如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EF垂直CD于F，EG垂直AD于G， 求证：BE＝FG． 21. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）． 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． （1）求证：互相平分； （2）若，求四边形周长和面积． 24. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 25. 已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点E，点P是线段上一定点（其中） （1）如图1，若点F在边上（不与D重合），将绕点P逆时针旋转后，角的两边分别交射线于点H、G． ①求证：； ②探究：之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在的延长线上（不与D重合），过点P作，交射线于点G，你认为（1）中之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由． 26. 我们知道：直角三角形斜边上中线于斜边的一半．爱好数学研究的剑汇同学进一步思考：如图1，在中，，斜边上除了中点外还有没有一点，使得？如果存在，我们不妨纰将该线段称为“剑汇线” （1）命题：任意一个直角三角形一定存在“剑汇线”，该命题是 　　命题．（填“真”或“假” ； （2）已知在中，，，存在“剑汇线” ．若． ①当时，求的长； ②随着的变化，的长也变化，直接写出的变化范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$