专题02 整式、根式、分式（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题02 整式、分式、根式 题型概览 题型01 整式的运算 题型02 因式分解 题型03 分式的概念 题型04 分式的计算 题型05 根式概念与性质 题型06 根式的运算 题型07 规律探究 ( 题型01 )整式的运算 1．（2025·河南新乡·三模）已知代数式的值为，则的值是 ． 2．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 3．（2025·河南安阳·三模）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东日照·三模）单项式的次数是 ． 5．（2025·甘肃定西·三模）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 6．（2025·贵州毕节·三模）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 7．（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河南安阳·三模）如果单项式与是同类项，那么 ． 9．（2025·河南新乡·三模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·江苏徐州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽合肥·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·云南红河·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南郑州·三模）河南剪纸艺术历史悠久．一张正方形剪纸的边长为，如图，现将其沿虚线裁剪后仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了（    ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西咸阳·三模）计算： ． 15．（2024·湖南长沙·三模）先化简，再求值：，其中． 16．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 17．（2025·河南驻马店·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）______； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； （2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 19．（2025·河南周口·三模）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 20．（2025·新疆喀什·三模）若，，则 ． 21．（2025·新疆·三模）如图，正方形由一个小正方形和四个全等的矩形组成，若．则 ． ( 题型0 2 )因式分解 1．（2025·安徽阜阳·三模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 4．（2025·浙江衢州·三模）因式分解： ． 5．（2025·河南洛阳·三模）（1）计算： （2）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 6．（2025·贵州安顺·三模）下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃庆阳·三模）因式分解： ． 8．（2025·安徽合肥·三模）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 10．（2025·江苏盐城·三模）分解因式： ． 11．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 12．（2025·安徽淮北·三模）在实数范围内，因式分解： ． 13．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 14．（2025·福建福州·三模）已知，则 ． 15．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． ( 题型0 3 )分式的概念 1．（2025·湖南衡阳·三模）若分式的值不存在，则 ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 3．（2025·江西新余·三模）若分式有意义，则满足的条件是 ． 4．（2025·安徽阜阳·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知，则 ． 6．（2023·重庆九龙坡·三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 7．（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， ( 题型0 4 )分式的计算 1．（2025·四川南充·三模）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）化简： ． 4．（2025·山西大同·三模）化简的结果为 ． 5．（2025·山东聊城·三模）计算的结果为 ． 6．（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下： 原式① ② ③ ④ ⑤ (1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）． (2)请你给出这道题的正确解答过程． 7．（2025·山西·三模）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 8．（2025·山西朔州·三模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 11．（2025·四川南充·三模）计算：． 12．（2025·重庆·三模）先化简，再求值：，其中满足． 13．（2025·陕西延安·三模）化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·安徽合肥·三模）先化简，再求值：．其中． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）先化简再求值，其中． 16．（2025·四川宜宾·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 17．（2025·山东聊城·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，，，三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 18．（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值：，其中． 19．（2025·福建厦门·三模）已知，则的值为 ． ( 题型0 5 )根式概念与性质 1．（2025·新疆吐鲁番·三模）若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是 2．（2025·黑龙江大庆·三模）函数的自变量x的取值范围是 ． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 4．（2025·河南洛阳·三模）计算的结果是（    ） A． B．5 C．4 D． 5．（2025·新疆喀什·三模）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )根式的运算 1．（2025·河南驻马店·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．4和5 B．5和6 C．7和8 D．6和7 3．（2025·贵州铜仁·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南许昌·二模）计算的结果为 5．（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南周口·三模）（1）计算：； （2）化简：． 8．（2025·甘肃酒泉·三模）计算： 9．（2025·天津和平·三模）计算的结果为 ． 10．（2025·湖南衡阳·三模）先化简，再求值：，其中． 11．（2025·安徽马鞍山·三模）当时，求的值． 12．（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． ( 题型0 7 )规律探究 1．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 2．（2025·安徽合肥·三模）观察下列等式： ① ② ③ ④ (1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________； (2)猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性． 3．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 4．（2025·江西新余·三模）如图，将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图，第2个图中共有5个正五边形；将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图，第3个图中共有9个正五边形．……此规律进行下去，若第个图中共有2025个正五边形，则的值为 ． 5．（2025·安徽合肥·三模）如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：请回答下列问题： (1)第3个图案中需要长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________； (2)第个图案中需要长长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________； (3)若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 6．（2025·云南楚雄·三模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·三模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式： 依照上述规律解答问题： (1)直接写出第5个等式为_______； (2)猜想第个等式为_______（n，为正整数，用含的式子表示）； (3)请利用分式的运算证明你的猜想． 8．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2024个图形中“H”的个数是（   ）个． A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 10．（2025·重庆·三模）如图，用若干个边长相同的正方形和正三角形，按下列规律拼接成一列图案，其中，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，则第7个图案中正三角形和正方形的个数共有（   ）个． A．22 B．28 C．7 D．29 11．（2025·安徽合肥·三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，第1个图案中有3个◎，第2个图案中有6个◎，第3个图案中有9个◎， ……则第7个图案中有______个◎（   ）． A．18个 B．19个 C．20个 D．21个 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式、分式、根式 题型概览 题型01 整式的运算 题型02 因式分解 题型03 分式的概念 题型04 分式的计算 题型05 根式概念与性质 题型06 根式的运算 题型07 规律探究 ( 题型01 )整式的运算 1．（2025·河南新乡·三模）已知代数式的值为，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 把所求代数式变形，再将整体代入求解． 【详解】解：由题意知： ． 故答案为：． 2．（2025·河北保定·三模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·河南安阳·三模）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，代数式求值，由题意得，，求出，，然后代入值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4．（2025·山东日照·三模）单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键． 根据单项式次数的定义，即所含字母的指数和为单项式的次数，即可解答． 【详解】解：单项式的次数是：， 故答案为：3． 5．（2025·甘肃定西·三模）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键．数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，单独的一个数或字母也是单项式，据此求得m，n值即可求解． 【详解】解：由题意，单项式的系数，次数是， ∴， 6．（2025·贵州毕节·三模）单项式的系数和次数分别为（   ） A．，5 B．，5 C．，6 D．，6 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的次数是数字因数、次数是所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：单项式的系数为、次数为6， 故选：C． 7．（2025·云南·三模）下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．据此解答即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数相同，是同类项，故符合题意； B．与相同字母的指数不同，故不符合题意；     C．与 字母的指数不同，故不符合题意； D．与字母的指数不同，故不符合题意； 故选A． 8．（2025·河南安阳·三模）如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项概念，代数式求值，解题的关键在于正确掌握同类项概念． 根据同类项概念得到，进而代入求解，即可解题． 【详解】解：⸪单项式与是同类项， ⸫， ⸫； 故答案为：1． 9．（2025·河南新乡·三模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、二次根式的减法．根据运算法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．（2025·江苏徐州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了乘法公式、二次根式的乘法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则和公式计算即可得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 11．（2025·安徽合肥·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法以及二次根式的性质，运用相关知识进行解答即可． 【详解】解：A.与不是同类项，不能计算，故此选项不符合题意； B. ，原式计算正确，符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 12．（2025·云南红河·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式是解答本题的关键．根据合并同类项，单项式的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A．，故A正确，符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 13．（2025·河南郑州·三模）河南剪纸艺术历史悠久．一张正方形剪纸的边长为，如图，现将其沿虚线裁剪后仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用大的正方形的面积减去小的正方形的面积即可求解． 【详解】解：原正方形面积为， 小正方形边长为， 面积为， 则面积减少了， 故选：D． 14．（2025·陕西咸阳·三模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟记整式运算法则，准确进行计算． 根据整式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（2024·湖南长沙·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行平方差公式，单项式乘多项式的计算，再合并同类项化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 16．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 17．（2025·河南驻马店·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法，合并同类项，多项式除以单项式，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂乘法，合并同类项，多项式除以单项式，幂的乘方的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算错误； D、，故该选项计算正确； 故选：D． 18．（2025·安徽合肥·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）______； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； （2）兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为______，所以______，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】（1）（ⅰ）48（ⅱ）能被8整除，证明见解析（2）或； 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可；（ⅱ）根据表中规律即可得出能被整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】解：（1）（ⅰ）， 故答案为：； （ⅱ）能被整除； 证明：， 是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）， ． 故答案为：（或），． 19．（2025·河南周口·三模）如图，某市有一块面积为平方米的矩形空地，规划部门计划在这块矩形空地上修建一个长米、宽米的矩形花坛(其中，其余四周全部修建成健身休闲区，，分别表示矩形花坛的面积和健身休闲区的面积，则 (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解的应用，根据题意分别求得，，进而用作差法比较大小，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 20．（2025·新疆喀什·三模）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式进行计算即可得解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 21．（2025·新疆·三模）如图，正方形由一个小正方形和四个全等的矩形组成，若．则 ． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式的变形，设矩形的长为，宽为，根据题意得到与的值，然后整体代入计算解题． 【详解】解：由题可知，矩形与矩形形状相同，设矩形的长为，宽为， ，即 正方形的面积为， 故答案为：36． ( 题型0 2 )因式分解 1．（2025·安徽阜阳·三模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键． 根据因式分解的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2025·浙江衢州·三模）因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式m即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（2025·河南洛阳·三模）（1）计算： （2）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 【答案】（1）1；（2）①；②二 【分析】本题考查了整式的因式分解，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的定义求解即可； （2）①根据平方差公式的定义即可求解；②第二步出现了错误，根据去括号法则判定即可；根据平方差公式和提公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1） (2)①第一步变形用到的乘法公式是，这里，， ． ②第二步出现了错误， 6．（2025·贵州安顺·三模）下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 7．（2025·甘肃庆阳·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】用平方差公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握用公式分解是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（2025·安徽合肥·三模）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9．（2025·安徽合肥·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，首先提取公因式，再次运用完全平方公式进行二次分解即可，掌握提公因式法与公式法的计算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（2025·江苏盐城·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为： 11．（2025·山东聊城·三模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（2025·安徽淮北·三模）在实数范围内，因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．注意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分解到不能分解为止． 【详解】 故答案为：． 13．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 14．（2025·福建福州·三模）已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 将原式提取公因式，再将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】∵，， 故答案为1． 15．（2025·山西大同·三模）阅读与思考 生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”． 例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________； ②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________． (2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）． 【答案】(1)①1962；②2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； (2)9，见解析 【分析】本题考查了整式的运算和因式分解，正确理解“欢乐年份”的概念是关键； （1）根据“欢乐年份”的计算方法求解即可； （2）设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为，根据“欢乐年份”的定义列式计算即可得到结论 【详解】（1）解：①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是； 故答案为：1962； ②你出生于2000年（答案不唯一），则你的“欢乐年份”是（答案不唯一）； 故答案为：2000年（答案不唯一），1998（答案不唯一）； （2）观察猜想：这些“欢乐年份”都能被9整除； 证明：设出生年份的的四位数为，则这个四位数可表示为， 则其“欢乐年份”是 ， 所以这些“欢乐年份”都能被9整除； 故答案为：9. ( 题型0 3 )分式的概念 1．（2025·湖南衡阳·三模）若分式的值不存在，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义，分母为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式中分母的值为0， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件分母不为零，分析原式，即可得出答案． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 3．（2025·江西新余·三模）若分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：． 故答案为：． 4．（2025·安徽阜阳·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为：． 6．（2023·重庆九龙坡·三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积． 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键． 7．（2025·安徽·三模）已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． ( 题型0 4 )分式的计算 1．（2025·四川南充·三模）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 3．（2025·安徽合肥·三模）化简： ． 【答案】x 【分析】本题考查了分式的加减．先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果． 【详解】解： ， 故答案为：x． 4．（2025·山西大同·三模）化简的结果为 ． 【答案】a 【分析】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：a． 5．（2025·山东聊城·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．分式运算的结果要化为最简分式或者整式．先化简，再通分，然后根据同分母分式的减法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025·江西新余·三模）小明在学习分式的运算时，计算的解答过程如下： 原式① ② ③ ④ ⑤ (1)请你指出小明解答过程中错误出现在第______步（写出对应的序号即可）． (2)请你给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】此题考查了分式加减法、平方差公式，熟练掌握运算法则和分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式加减法法则解答即可． （2）根据分式加减法法则和分式的基本性质，结合平方差公式进行解答即可． 【详解】（1）解：错误出现在第③步，错误的原因是分式运算不能去分母； 故答案为：③； （2）正确解答：原式 ． 7．（2025·山西·三模）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．根据分式的加减运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 8．（2025·山西朔州·三模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 9．（2025·河南平顶山·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 10．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 11．（2025·四川南充·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法，然后计算乘法，再通分化简即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 12．（2025·重庆·三模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再由得，进而代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 13．（2025·陕西延安·三模）化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先把括号内的分式通分，然后将除法转化为乘法，最后约分化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 14．（2025·安徽合肥·三模）先化简，再求值：．其中． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式化简求值，实数的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 原式 当时，原式 15．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）先化简再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数，分母有理化等知识，先根据分式的运算法则进行化简，然后根据特殊角的三角函数值求出a的值，最后把a代入计算即可． 【详解】解∶ ， ∵， ∴原式． 16．（2025·四川宜宾·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂，有理数乘方，绝对值，掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值、化简绝对值，再进行加减计算； （2）将除法化为乘法，进行乘法计算，再进行分式的减法计算，然后将化为，再代入求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 17．（2025·山东聊城·三模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，再从，，，三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】（）；（），． 【详解】本题考查了实数的混合运算，特殊三角函数值，分式有意义的条件，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先由零指数幂，特殊三角函数值，算术平方根，化简绝对值法则进行化简，然后合并即可； （）先算括号内的分式减法，再算分数除法，然后通过约分化成最简结果，然后把有意义的的值代入求解即可求解． 解：（1）原式 ； （2）原式 ， ∵且且， ∴当时， 原式． 18．（2025·陕西榆林·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（2025·福建厦门·三模）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到，然后两式做差，即可得到所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：8． ( 题型0 5 )根式概念与性质 1．（2025·新疆吐鲁番·三模）若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得，， 故答案为： ． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的自变量的取值范围， 根据分式和二次根式有意义的条件可知，可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于x的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得且， 故答案为：且． 4．（2025·河南洛阳·三模）计算的结果是（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂，二次根式的性质等知识，先根据二次根式的性质化简，再计算零指数幂，最后再计算加减法即可． 【详解】解：． 故选：C 5．（2025·新疆喀什·三模）下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数，根据小于0的数为负数，将各选项中的数化简后，进行判断即可，熟练掌握绝对值的意义，二次根式的性质，零指数幂，有理数的乘方法则，是解题的关键． 【详解】解：A、，不是负数，不符合题意； B、，不是负数，不符合题意； C、，不是负数，不符合题意； D、，是负数，符合题意； 故选D． ( 题型0 6 )根式的运算 1．（2025·河南驻马店·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的加法和乘法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加法和乘法，合并同类项，幂的乘方，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2．（2025·重庆·三模）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（   ） A．4和5 B．5和6 C．7和8 D．6和7 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小估算，先根据二次根式的混合运算得到结果为，再估计无理数的大小即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴的运算结果在5和6两个连续自然数之间， 故选：B． 3．（2025·贵州铜仁·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除运算，同类二次根式才可以合并，正确使用运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2025·河南许昌·二模）计算的结果为 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 6．（2025·贵州毕节·三模）将化为最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 7．（2025·河南周口·三模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先化简二次根式，绝对值，再计算乘除法，然后合并即可； （）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（2025·甘肃酒泉·三模）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 9．（2025·天津和平·三模）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 10．（2025·湖南衡阳·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据异分母分式的减法法则计算即可化简，再把x的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 11．（2025·安徽马鞍山·三模）当时，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的分母有理化．利用分式的减法法则，进行化简，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 12．（2025·安徽阜阳·三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的独特求法——三斜求积公式，正确运用该公式是解题关键． 根据三角形面积的独特求法——三斜求积，代入计算，即可解答． 【详解】解：当时， ． ． 故答案为． ( 题型0 7 )规律探究 1．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 2．（2025·安徽合肥·三模）观察下列等式： ① ② ③ ④ (1)请按以上规律写出第⑥个等式：___________； (2)猜想并写出符合上述规律的第个等式：___________；并证明猜想的正确性． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查根据规律运算、完全平方公式应用、整式的混合运算法则等知识点，根据题干得到式子之间存在的规律是解题的关键． （1）根据题干规律直接写出答案即可； （2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式以及整式的相关运算法则即可证明． 【详解】（1）解：由题意可得，第⑥个等式为：． 故答案为：． （2）解：第个：，证明如下： ∵左边，右边， ∴左边右边， ∴． 3．（2025·安徽合肥·三模）综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【答案】观察与思考：（1）15；（2），；拓展探究：一盒棋子的数量为144枚． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，数字类规律探索，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）摆放5层，探究组共用去棋子的数量为枚； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）探究组共用去棋子的数量为（枚）， 故答案为：15； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 故答案为：，； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 4．（2025·江西新余·三模）如图，将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图，第2个图中共有5个正五边形；将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图，第3个图中共有9个正五边形．……此规律进行下去，若第个图中共有2025个正五边形，则的值为 ． 【答案】507 【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．根据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正五边形的个数多4个，第n个图形的正五边形的个数为即可求解． 【详解】解：观察图形可知：第1个图中有1个正五边形，即； 第2个图中有5个正五边形，即； 第3个图中有9个正五边形，即； …… ∴第n个图中正方形的个数为； 则， 解得：， ∴第个图中共有2025个正五边形，则的值为507． 故答案为：507． 5．（2025·安徽合肥·三模）如图是由长度为和的两种线段拼成的正方形图案：请回答下列问题： (1)第3个图案中需要长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________； (2)第个图案中需要长长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________； (3)若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？ 【答案】(1)18，24 (2) (3)需要长的线段242条，需要长的线段264条 【分析】本题考查算术平方根及图案的规律总结问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． （1）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （2）根据题干中所给的图案总结出规律即可； （3）由题意可得此为第个图案，然后代入（2）中所得结论中计算即可． 【详解】（1）解：第1个图案中长的线段的条数为，长的线段的条数为． 第2个图案中长的线段的条数为，长的线段的条数为， 第3个图案中长的线段的条数为，长的线段的条数为， 第个图案中长的线段的条数为，长的线段的条数为， 故答案为：18，24； （2）解：根据（1）中规律可得第个图案中长的线段的条数为，长的线段的条数为， 故答案为：； （3）解：由题意得，面积为 的正方形图案的边长为，则为第个图案， 当时，，， 即需要长的线段条，需要长的线段条． 6．（2025·云南楚雄·三模）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律问题，由题意可得第个单项式是，据此即可求解，由已知单项式找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴第个单项式是， 故选：． 7．（2025·安徽合肥·三模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式： 依照上述规律解答问题： (1)直接写出第5个等式为_______； (2)猜想第个等式为_______（n，为正整数，用含的式子表示）； (3)请利用分式的运算证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，分式的混合运算，正确理解题意，找到规律是解题的关键． （1）从数字找规律，即可解答； （2）从数字找规律，即可解答； （3）先计算分式的乘法，再进行分式的加法计算，化简证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； ∴第5个等式：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； ∴第n个等式：； （3）证明： ． 8．（2025·安徽芜湖·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 【答案】(1)①，43；② (2)，，，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②． （2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：①当时，； ②猜想：． 故答案为：①，43；②； （2）解：猜想：， 证明： ， 所以左边右边，猜想成立． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2024个图形中“H”的个数是（   ）个． A．4048 B．4050 C．4052 D．4054 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题， 先根据前三个图形得出变化特点，推导出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个图中“H”的个数为； 第2个图中“H”的个数为； 第3个图中“H”的个数为， ∴第n个图中“H”的个数为， ∴第2024个图中“H”的个数为． 故选：B． 10．（2025·重庆·三模）如图，用若干个边长相同的正方形和正三角形，按下列规律拼接成一列图案，其中，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，…依此规律，则第7个图案中正三角形和正方形的个数共有（   ）个． A．22 B．28 C．7 D．29 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化发现第个图案中有个正三角形和个正方形，共个，进而求解即可． 【详解】解：因为第①个图案有4个三角形和1个正方形， 第②个图案有7个三角形和2个正方形， 第③个图案有10个三角形和3个正方形， … 依此规律， 第个图案中有个正三角形和个正方形，共个， ∴第个图案中正三角形和正方形的个数共有个， 故选：D． 11．（2025·安徽合肥·三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”，…．． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 12．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，第1个图案中有3个◎，第2个图案中有6个◎，第3个图案中有9个◎， ……则第7个图案中有______个◎（   ）． A．18个 B．19个 C．20个 D．21个 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案找出规律即可． 【详解】解：第1个图案中有：（个）， 第2个图案中有：（个）， 第3个图案中有：（个）， 第4个图案中有：（个）， ， 第7个图案中有（个）， 故选：D． 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$