第05讲 计数原理与排列组合【十四大考点+十四大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第05讲 计数原理与排列组合 【复习目录】 · 一：加法原理和乘法原理 · 二：排列组合的计算 · 三、捆绑法 · 四、插空法 · 五、特殊元素法 · 六、间接法 · 七、隔板法 · 八、倍缩法解决部分定序问题 · 九、不平均分组问题 · 十、平均分组问题 · 十一、部分平均分组问题 · 十二、分类分步问题 · 十三、特殊位置法 · 十四、染色问题 【知识梳理】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1 【题型归纳】 题型一：加法原理和乘法原理 1．（24-25高二上·辽宁·期末）用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 题型二：排列组合的计算 4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知，则正整数= . 5．（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 6．（21-22高二下·青海·期末）方程的根为 ． 题型三、捆绑法 7．（24-25高一下·广东广州·期中）在华南师大附中社团开放日的展示活动中，辩论社，国学社，摄影社，魔方社，天文社5个社团的摊位排成一列，其中辩论社与国学社必须相邻，那么不同的排法有（    ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 8．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 9．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒？》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（     ） A．120 B．36 C．24 D．6 题型四、插空法 10．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 11．（24-25高二下·四川眉山·期中）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．384 B．486 C．216 D．208 12．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有（    ）种． A． B． C． D． 题型五、特殊元素法 13．（24-25高二下·宁夏银川·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 【答案】D 14．（2025高三·全国·专题练习）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 15．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 题型六、间接法 16．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（   ）种. A．72 B．144 C．288 D．408 17．（24-25高二下·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 18．（24-25高二下·湖北武汉·期中）在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．108 题型七、隔板法 19．（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 20．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 21．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 题型八、倍缩法解决部分定序问题 22．（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 23．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 24．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 题型九、不平均分组问题 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 26．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是（    ） A．90 B．160 C．180 D．270 27．（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 题型十、平均分组问题 28．（24-25高二下·河北·期中）将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（    ） A．72种 B．48种 C．36种 D．24种 29．（24-25高二下·安徽池州·期中）2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（    ）种 A．50 B．60 C．68 D．90 30．（2025高三·全国·专题练习）每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（    ） A．120 B．150 C．210 D．240 题型十一、部分平均分组问题 31．（24-25高一下·广东广州·期中）在某市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某校5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．240种 32．（24-25高二下·福建福州·期中）将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．3960种 D．7200种 33．（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（   ） A．270种 B．180种 C．150种 D．90种 题型十二、分类分步问题 34．（24-25高二下·江苏盐城·期中）五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 35．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．48 B．50 C．66 D．78 36．（2025·甘肃定西·模拟预测）有一个3行3列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得3行中所填数字之和恰好是各一个，3列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法有（    ） 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 题型十三、特殊位置法 37．（2025·湖北宜昌·二模）运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 38．（24-25高二下·浙江·阶段练习）现从学校辩论队的5名同学中选4名组成小组参加辩论赛，并将选出的同学指定为第一、二、三、四辩手，其中学校辩论队的同学甲不担任第四辩手，那么不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．72种 C．96种 D．120种 39．（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 题型十四、染色问题 40．（24-25高二下·四川绵阳·期中）高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ） A．120 B．160 C．180 D．240 41．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）①不能被1000整除； ②若随机变量，且，则； ③如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法错误的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 42．（24-25高二下·海南·期中）现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色．已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻．则共有（   ）种不同的着色方法． A．72 B．84 C．96 D．180 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·河北承德·期中）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 2．（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 4．（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 6．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 9．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 10．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 11．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 二、多选题 12．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 13．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ） A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种 D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 15．（24-25高二上·江苏无锡·期末）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 16．（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 17．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 18．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 三、填空题 19．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ． 20．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）某校举行新年晚会，需要从6名女生和5名男生中选4人当主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，则不同的选法种数为 . 21．（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍． 22．（24-25高二上·北京平谷·期末）将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为 . 23．（24-25高二上·陕西渭南·期末）甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有 种．（用数字作答） 24．（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 25．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 26．（23-24高二下·河北唐山·期末）楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有 种.（用数字作答） 27．（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种． 28．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为 .（用数字作答） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 计数原理与排列组合 【复习目录】 · 一：加法原理和乘法原理 · 二：排列组合的计算 · 三、捆绑法 · 四、插空法 · 五、特殊元素法 · 六、间接法 · 七、隔板法 · 八、倍缩法解决部分定序问题 · 九、不平均分组问题 · 十、平均分组问题 · 十一、部分平均分组问题 · 十二、分类分步问题 · 十三、特殊位置法 · 十四、染色问题 【知识梳理】 1．两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝ C＝＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C，C＝1，C＝1 【题型归纳】 题型一：加法原理和乘法原理 1．（24-25高二上·辽宁·期末）用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 【答案】B 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 2．（24-25高二上·河南南阳·期末）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】利用分步计数原理可得出结果. 【详解】从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人， 第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种. 故选：B. 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．根据分步乘法计算原理运算求解. 【详解】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 题型二：排列组合的计算 4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知，则正整数= . 【答案】4 【分析】由组合数和排列数公式列方程求解. 【详解】因为， 即，解得，满足题意. 故答案为：4 5．（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得. 故答案为：. 6．（21-22高二下·青海·期末）方程的根为 ． 【答案】11 【分析】利用排列组合数公式即得. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得或，又， 所以． 故答案为：11. 题型三、捆绑法 7．（24-25高一下·广东广州·期中）在华南师大附中社团开放日的展示活动中，辩论社，国学社，摄影社，魔方社，天文社5个社团的摊位排成一列，其中辩论社与国学社必须相邻，那么不同的排法有（    ） A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】将辩论社与国学社捆绑，看成一个社团，与其他3个社团排成1列，再考虑辩论社与国学社的顺序，据此可得不同排法. 【详解】将辩论社与国学社捆绑，看成一个社团，与其他3个社团排成1列，有种排法. 又辩论社与国学社的先后顺序有2种情况，则满足题意的排法有种. 故选：B 8．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【详解】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B 9．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒？》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（     ） A．120 B．36 C．24 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 题型四、插空法 10．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题用插空法，先将其余位角色全排列，再将哪吒和敖丙插空. 【详解】首先将李靖、殷夫人、太乙真人、申公豹这位角色全排列，有种排法， 再将哪吒和敖丙插入到所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的排版方式． 故选：C 11．（24-25高二下·四川眉山·期中）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型．现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为（    ） A．384 B．486 C．216 D．208 【答案】C 【分析】由题意，先挂2盏吊灯，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯，最后将宫灯插空挂，结合插空法计算即可求解. 【详解】先挂2盏吊灯有种挂法， 再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有种挂法，最后将宫灯插空挂． 当4盏宫灯分成2，2两份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时,有种挂法； 当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时,有1种挂法， 所以共有种不同的挂法． 故选：C 12．（24-25高三下·云南临沧·阶段练习）年月日，第四届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有个国家和地区加现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位在排成一排的个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由插空法结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】用插空法：先排丁、戊、己三家企业，共有种方法， 在它们之间的两个空加上两头共有四个空位， 从位中任意选三个排列甲、乙、丙三个企业，共有种方法． 由分步乘法计数原理可得甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有种． 故选：A． 题型五、特殊元素法 13．（24-25高二下·宁夏银川·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（  ）. A．18 B．36 C．48 D．54 【答案】D 【分析】依题意甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，故先排乙，再排甲，最后将其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名， 所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法， 所以人的名次排列有种方法. 故选：D. 14．（2025高三·全国·专题练习）有两户四口之家（父亲、母亲和两个孩子）要乘坐3艘不同的小船游玩，每艘小船至多坐三人，要求孩子必须与自己的父亲或母亲同船，则不同的乘坐方案共有（    ） A．20种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】D 【分析】分同一家庭两个孩子在同一条船上或在两条不同船上，依照分类、分步计数原理可得答案. 【详解】由题可得不同家庭的两个孩子不能在同一条船上，则同一家庭两个孩子在同一条船上或有一个家庭的两名孩子在两条不同船上. 若两户家庭孩子均在同一船上，则有种方法， 再分别从两户家庭中选择一个大人安排进相应船上，有4种方法， 则剩下的两名家长坐第3条船，有1种方法， 则此种情况共有种乘坐方案； 若同一家庭中有孩子在不同船上，则先选择家庭有2种情况，再选择船有种情况， 则剩下的那两个孩子安排到第三条船，有1种方法， 对于孩子在不同船上的家庭，安排父母有2种方法， 对于孩子在同一条船上的家庭，安排一大人与孩子同乘有2种情况， 再安排剩下的家长选择其余两船坐下，有2种情况， 则此种情况下有种乘坐方案； 故满足题意的乘坐方案有种， 故选：D 15．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 【答案】C 【分析】先排甲乙，再排丙丁，由此即可得解. 【详解】由题意，先排甲，有种，再排乙，有种， 则甲乙两人有种排法， 再排丙，有种，最后排丁，有种， 所以甲乙丙丁有种放法. 故选：C. 题型六、间接法 16．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（   ）种. A．72 B．144 C．288 D．408 【答案】D 【分析】先考虑甲不站两端的所有情况，再去掉甲不站两端且3名护士相邻的情况，再利用排列知识和计数原理解决即可. 【详解】先考虑甲不站两端的情况，甲在中间4个位置中任选一个位置，其余5人全排列，共有种； 再考虑甲不站两端且3名护士相邻的情况，将3名护士看作一个整体，则共有4个位置可供选择， 甲先在中间2个位置中任选一个位置，其余3人全排列，以及3名护士全排列，共有种， 则满足题意的排法共有种. 故选：D 17．（24-25高二下·河南·期中）将字母排成一排，若要求相邻，且不在两端，则不同的排列方法共有（    ） A．228种 B．192种 C．240种 D．168种 【答案】B 【分析】利用相邻问题捆绑法列式，去掉在两端之一的排列数即可. 【详解】将捆绑在一起，视为一个整体，不考虑的位置，则有（种）排法， 当在两端时，有（种）排法， 所以满足要求的排列方法有（种）. 故选：B 18．（24-25高二下·湖北武汉·期中）在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．108 【答案】C 【分析】考虑间接法求解, 求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数，利用排列组合数公式计算即得. 【详解】根据题意，考虑间接法求解，即求出甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名 老师的方法种数，减去每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法种数即可. 将甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，可分为两种情况， 其一：按照“221”分组，有种方法；其二：按照“113”分组，有种方法. 而每所学校至少安排一名老师且甲、乙、丙三名老师同时安排在同一学校的方法有种. 故不同的分配方法总数为种. 故选：C. 题型七、隔板法 19．（24-25高二下·河南周口·期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【分析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法即可. 【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组， 采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：A 20．（2025·江苏泰州·二模）2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（    ） A．210 B．35 C．40 D．120 【答案】C 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 21．（24-25高三上·陕西西安·期末）《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（   ） A．715种 B．572种 C．312种 D．286种 【答案】D 【分析】本题以《九章算术》中的粟米为背景，考查排列组合的应用，考查化归与转化的数学思想和应用意识． 【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种． 故选：D. 题型八、倍缩法解决部分定序问题 22．（24-25高二下·河南信阳·期中）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有（ ）个. A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用写序问题倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，1，2中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，1，2，其中数字2出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C 23．（23-24高二下·广东中山·阶段练习）某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再根据定序问题求解即可. 【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 24．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得． 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 题型九、不平均分组问题 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）某学校举行运动会，该校高二年级2班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、100米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】先对四位同学进行分组，再将三组同学分配到三个比赛项目. 【详解】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组， 则三组各有位同学，共有种， 又因为甲、乙两人不能参加同一项目的比赛， 且甲乙在一组时仅有1种分法，则共有种分组方法， 所以不同的参赛方案共有种. 故选：B 26．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是（    ） A．90 B．160 C．180 D．270 【答案】C 【分析】分甲获得1本、2本、3本、4本四种情况讨论，根据分组分配问题求解即可. 【详解】当甲只获得1本书籍时，相当于把剩余5本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式； 当甲获得2本书籍时，则从其余4本书籍先给甲1本有种， 再把剩余4本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式，所以共有种分发方式； 当甲获得3本书籍时，则从其余3本书籍先给甲2本有种， 再把剩余3本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本， 则有种分发方式，所以共有种分发方式； 当甲获得4本书籍时，则从其余2本书籍先给甲3本有种， 再把剩余2本不同的书籍分发给乙丙2人，每人至少分得1本，则有种分发方式， 所以共有种分发方式； 综上所述，共有种分发方式. 故选：C 27．（24-25高二下·福建莆田·期中）运动会期间，将甲､乙等6名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（    ） A．78 B．126 C．150 D．168 【答案】C 【分析】利用捆绑法和分组分配求解计算即可得到结果. 【详解】甲､乙两名志愿者安排到同一个场地，可将甲乙捆绑成一个元素，6名志愿者可以理解为5名志愿者. 将5名志愿者分为1，2，2， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故选：C. 题型十、平均分组问题 28．（24-25高二下·河北·期中）将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（    ） A．72种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】C 【分析】将4名教师分成三组，再全排列即可求解. 【详解】将4名教师分成三组，只有一种分法，即1，1，2，共有， 再排列得. 故选：C. 29．（24-25高二下·安徽池州·期中）2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（    ）种 A．50 B．60 C．68 D．90 【答案】A 【分析】根据①号服务点分配的人数讨论即可. 【详解】当①号服务点只有甲时，将剩下四个人分成两组，按人数可分为{1,3}，{2,2}两种情况， 总的分组种类有种；再将两组人分配到②和③号服务点，有种方法， 故总共有种方法； 当①号服务点有两个同学时，共有种方法； 当①号服务点有三个同学时，共有种方法. 故总共有种方法. 故选：A. 30．（2025高三·全国·专题练习）每年的3月5日是学雷锋纪念日，某班的5位学生报名参加2025年3月5日的学雷锋社会实践活动，有关爱老人活动、社区卫生活动，协助交警活动这三种可以选择，每位学生只能参加一种活动，并且每种活动至少有1位学生参加，则不同的分配方案种数为（    ） A．120 B．150 C．210 D．240 【答案】B 【分析】将5位学生分为三组，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.，分别求解即可. 【详解】将5位学生分为三组，每组至少有1人，每组的人数可以是1，1，3或1，2，2.， 当每组人数是1，1，3时，分组方法有（种）： 当每组人数是1，2，2时，分组方法有（种）， 所以将5位学生分为三组的方法共有（种）， 所以不同的分配方案种数为. 故选：B. 题型十一、部分平均分组问题 31．（24-25高一下·广东广州·期中）在某市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某校5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】将5名同学分成3组，再安排到3个服务点即可. 【详解】将5名同学按或分成3组，有种方法， 将分成的一组安排到3个服务点有种方法， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：C 32．（24-25高二下·福建福州·期中）将6本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．3960种 D．7200种 【答案】B 【分析】先进行分组，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案． 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有1，1，2，2和1，1，1，3两种情况， 其中分为1，1，2，2的情况有种， 分为1，1，1，3的情况有种， 故不同的分法种数为， 故选：B． 33．（24-25高二下·云南楚雄·阶段练习）某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（   ） A．270种 B．180种 C．150种 D．90种 【答案】C 【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3个兴趣小组即可解决. 【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况， 则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种， 由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种． 故选：C． 题型十二、分类分步问题 34．（24-25高二下·江苏盐城·期中）五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数. 【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种. 故选：D 35．（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）据典籍《周礼•春官》记载，“宫､商､角､徵､羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“羽”不为首音阶，“商”“角”不相邻，则可以排成不同音序的种数是（    ） A．48 B．50 C．66 D．78 【答案】B 【分析】以“宫”的顺序将音阶排序分为四类，再考虑“商”“角”顺序，运用排列组合知识可得答案. 【详解】①若“宫”为首音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ②若“宫”为第2音阶，“商”“角”可取音阶， 排成的音序有种； ③若“宫”为第3音阶，“商”“角”可取14，15，24，25音阶， 排成的音序有种； ④若“宫”为第4音阶，“商”“角”可取13，15，25，35音阶， 排成的音序有种. 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 36．（2025·甘肃定西·模拟预测）有一个3行3列的表格，在每一个格中分别填入数字0或1，使得3行中所填数字之和恰好是各一个，3列中所填数字之和恰好也是各一个（如图为其中一种填法），则符合要求的不同填法有（    ） 0 0 1 0 1 1 1 1 1 A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【分析】方法一：由分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果；方法二：结合排列数的意义代入计算，即可得到结果. 【详解】 法一：显然在符合要求的填法中，应该填入3个数字0和6个数字1， 按照下面的顺序填入这3个数字0， 先找到一行并填入2个数字0和1个数字1，选出这样1行共有3种选法， 再从该行的3个格中选出2个填入数字0，这一步共有种不同的填法， 剩余1个数字0有4种填法，所以符合要求的不同填法共种. 法二：如图，问题可转化为将1，2，3全排列填入三个格中， 再将1，2，3全排列填入三个格中， 故不同填法有种. 故选：B. 题型十三、特殊位置法 37．（2025·湖北宜昌·二模）运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有（    ） A．32种 B．24种 C．18种 D．12种 【答案】B 【分析】按照跳高项目安排人数，分成两种情况讨论即可. 【详解】按照跳高项目安排人数，可以分以下两类： 第一类，跳高项目安排1人，共种安排方法， 第二类，跳高项目安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B. 38．（24-25高二下·浙江·阶段练习）现从学校辩论队的5名同学中选4名组成小组参加辩论赛，并将选出的同学指定为第一、二、三、四辩手，其中学校辩论队的同学甲不担任第四辩手，那么不同的安排方案共有（   ） A．24种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】C 【分析】分有甲和没有甲两种情况分类求解即可. 【详解】第一种情况，若选出的同学没有甲，则有种安排方案； 第二种情况，若选出的同学有甲，则甲同学只能担任第一、二、三辩手，故有3种安排方案， 再从剩下的4名同学中选出3名同学担任剩下辩手有种安排方案，此时共有种安排方案； 综上：共有96种不同的安排方案. 故选：C 39．（24-25高二下·江苏淮安·期中）某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五人一周7天的值班工作，每天只有1人值班，甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班，其他人员每人值班1天，则不同的安排方法种数为（    ） A．72 B．96 C．108 D．156 【答案】A 【分析】根据题意，分两步进行分析：先分析甲星期一、星期日不值班，且连续3天值班的情况，再将剩下四个人进行全排列，由分步计数原理可得答案. 【详解】甲要求星期一、星期日不值班，且连续3天值班， 则可以安排在（周二、周三、周四），（周三、周四、周五），（周四、周五、周六），共3种情况， 剩下四个人进行全排列，安排在剩下4天，有种情况， 则有种不同的安排方法. 故选：A. 题型十四、染色问题 40．（24-25高二下·四川绵阳·期中）高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同，则不同的书写方法数为（ ） A．120 B．160 C．180 D．240 【答案】C 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，讨论C，A同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色的笔书写文字，相邻的区域书写的文字颜色不同，可分步进行， 区域A有5种涂法，B有4种涂法， C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2=120种， C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3=60种， ∴共有180种不同的涂色方案 . 故选：C. 41．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）①不能被1000整除； ②若随机变量，且，则； ③如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法错误的个数为（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用二项式定理确定余数判断①；利用正态分布的对称性求出概率判断②；利用分步乘法计数原理列式计算判断③即可. 【详解】对于①，， 为整数，①错误； 对于②，由，且，得， 因此，②正确； 对于③：先涂I有5种，再涂II有4种，然后涂III有3种，最后涂IV有3种， 由分步乘法计数原理得一共有种涂色方法，③正确. 故选：B 42．（24-25高二下·海南·期中）现要用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色．已知这4个区县的连接关系如下：区A与区B、区C相邻；区B与区A、区D相邻；区C与区A、区D相邻；区D与区B、区C相邻．则共有（   ）种不同的着色方法． A．72 B．84 C．96 D．180 【答案】B 【分析】分为和颜色相同和和颜色不同讨论，再结合组合公式计算即可. 【详解】两种情况：①和颜色相同，有种，和需选择与或不同的颜色，各有种，则有种； ②和颜色不同，有种，有种（不同于和需选择与和均不同的颜色，各有种选择， 则有种， 着色总数种． 故选：B. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·河北承德·期中）某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（    ） A．120 B．480 C．600 D．720 【答案】C 【分析】对数学课分上下午安排，由分类加法计数原理即得. 【详解】若数学课安排在下午，只能安排在6，7节，其余5节课全排列，有(种)不同的安排方案， 若数学课安排在上午，可以是12，23，34，45，共4种，其余5节课全排列，有 (种)不同的安排方案， 由分类加法计数原理，共有(种)不同的安排方案. 故选：C 2．（2025·福建三明·三模）县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 3．（2025·河南郑州·三模）河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（   ） A．450 B．360 C．180 D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 4．（24-25高二上·吉林长春·期末）下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质可判断AB，利用组合数的计算公式可判断 【详解】解：对于A，由组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误． 故选： 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 6．（24-25高二上·重庆北碚·期末）某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有（   ）种. A．18 B．24 C．27 D．64 【答案】A 【分析】应用分类分步计数原理及排列组合数求不同的安排方法数. 【详解】若甲被选出，从其它3位同学选2位有种， 将甲安排为记分员或秩序员有种，另2人作全排有种， 所以共有种； 若甲不被选出，只需将选出的3人作全排列有种， 综上，共有种. 故选：A 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 8．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 【答案】A 【分析】分两种情况，两人所选影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可. 【详解】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：A. 9．（24-25高二上·黑龙江·期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（   ） A．24 B．28 C．36 D．12 【答案】A 【分析】分两种情况，两人所选影片中，《抓娃娃》相同，不是《抓娃娃》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可. 【详解】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给乙从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：A. 10．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 11．（24-25高二上·辽宁·期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 二、多选题 12．（24-25高二上·福建宁德·期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（   ） A．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 13．（24-25高二下·重庆荣昌·期中）有甲、乙、丙、丁、戊五名同学，下列说法正确的是（ ） A．5名同学排成一排，甲乙相邻且丙丁不相邻，则不同的排法有24种 B．5名同学排成一排，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有54种 C．5名同学排成一排，甲乙丙按从左到右的顺序，则不同排法共有20种 D．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 【答案】ACD 【分析】由捆绑法，插空法即可判断A，由特殊元素优先法即可判断B，由倍缩法即可判断C，先分组再分配然后代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲， 则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲， 则不同的排法共有种，故B不正确， 对于C，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故C正确， 对于D，将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种，D正确． 故选：ACD 14．（24-25高二上·江苏南京·期末）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质分析判断；对于CD：根据排列数公式分析判断. 【详解】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：ABD. 15．（24-25高二上·江苏无锡·期末）某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（   ） A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法 B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法 C．将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种 D．8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法. 【答案】BCD 【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列； 选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得； 选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得； 选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种. 【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确； 选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况， 共有种情况，故C正确； 选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好， 先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况， 再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况， 最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况， 共有种情况，故D正确， 故选：BCD 16．（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D. 【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 17．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BD 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 18．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 三、填空题 19．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ． 【答案】 【分析】分组方式按人数分为、两种，再应用分步计数原理及排列组合数求两种分组方式对应的分配方法种数. 【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种， 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种， 所以共有种； 按分组， 若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种， 若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种， 所以共有种； 综上，共有种分配方法. 故答案为： 20．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）某校举行新年晚会，需要从6名女生和5名男生中选4人当主持人，要求主持人中既要有男生也要有女生，则不同的选法种数为 . 【答案】 【分析】先不考虑性别，再减去全是男生、全是女生的情形，利用组合数公式计算可得. 【详解】从6名女生和5名男生中选4人当主持人有种选法， 若4人全是男生，则有种选法， 若4人全是女生，则有种选法， 则主持人中既要有男生也要有女生，不同的选法有种. 故答案为： 21．（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍． 【答案】2 【分析】先求出八边形中的等腰三角形的个数，从而由组合知识得到为等腰三角形的概率为，再求出不是直角三角形的情况，得到为直角三角形的概率为，得到答案. 【详解】在八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个， 分别为， 故为等腰三角形的情况数共个， 故为等腰三角形的概率为， 从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点， 不是直角三角形的情况，如下图中的等边三角形，这样的等边三角形共8个， 分别为，，，，，，，， 所以为直角三角形的概率为， 由于， 故为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍. 故答案为：2 22．（24-25高二上·北京平谷·期末）将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为 . 【答案】 【分析】利用“相邻”问题捆绑法求得2名男生相邻的排法数，根据古典概型概率公式即可求得概率. 【详解】将2名男生和1名女生随机排成一排，方法数有种， 而2名男生相邻的排法数有种， 由古典概型概率公式，可得2名男生相邻的概率为. 故答案为：. 23．（24-25高二上·陕西渭南·期末）甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有 种．（用数字作答） 【答案】24 【分析】先计算出任选两门的事件数，减去两人选法都不同、两人选法都相同的事件数，求得甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数. 【详解】两人各选2门的方法数为， 两人选法都相同的方法数为， 两人选法都不同的方法数为， 所以甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数为. 故答案为：. 24．（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题，再结合不相邻列式求解. 【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 故答案为：32 25．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某校学生会打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学安排到4个不同的社团负责组织活动，每个社团至少安排一名同学，则不同的安排方法种数是 . 【答案】240 【分析】根据组合求得5人分为4组的方法数，再根据排列求得4个不同的小组安排到4个不同的社团的方法数，可得答案. 【详解】先将甲､乙､丙､丁､戊这5名同学分为4组，共有种， 再安排到4个不同的社团负责组织活动，共有种不同的安排方法. 故答案为：240. 26．（23-24高二下·河北唐山·期末）楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有 种.（用数字作答） 【答案】232 【分析】根据题意分类讨论短竖有几处，结合组合相关概念计算即可. 【详解】当短坚为3处时，不同写法有40种， 当短坚为2处时，不同写法有种， 当短坚为1处时，不同写法有种， 当短坚为0处时，不同写法有种， 所以一共有种不同写法. 故答案为：232. 27．（23-24高二下·湖北武汉·期末）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有 种． 【答案】96 【分析】利用分步计数原理与分类计数原理可得结论. 【详解】第一步：从4种颜色中选3种颜色对三个区域着色有种方法， 第二步：对着色分两类，着色有2种方法，对着色有2种方法， 故不同的染色方案共有种． 故答案为：种. 28．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和，例如正整数.设，其中，，，均为自然数，则满足条件的有序数组的个数为 .（用数字作答） 【答案】48 【分析】分类讨论四个数的组成后，由排列数公式与计数原理求解即可． 【详解】依题意，均为不超过6的自然数， 最大数为6的情况：，此时共有个有序数组； 最大数为5的情况：，此时共有个有序数组； 最大数为4的情况：，此时共有个有序数组； 当最大数为3时，，不满足题意， 由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是. 故答案为：48 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$