第01讲 等差数学与等比数列【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第01讲 等差数学与等比数列 【复习目录】 · 一：等差数列基本计算量 · 二：等差数列的性质 · 三：等差数列的函数特性 · 四：等差数列前n项和的性质 · 五：等比数列基本计算量 · 六：等比数列的性质 · 七：等比数列前n项和的性质 · 八：等比数列的函数特性 · 九：数列的实际应用 · 十：数列通项公式的求法 · 十一：等差（比）数列的综合问题 【知识梳理】 一．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项:由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 二．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 三、通项公式的求法 (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． ★★★已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． (2)当出现＝f (n)时，用累乘法求解． 四：求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. 五：判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 六、等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列． 【题型归纳】 题型一：等差数列基本计算量 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．36 B．28 C．24 D．30 2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．215 B．185 C．155 D．135 题型二：等差数列的性质 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 6．（21-22高二下·河北保定·期中）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 题型三：等差数列的函数特性 7．（21-22高二下·北京房山·期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（    ） A． B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．存在正整数，当时， 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 题型四：等差数列前n项和的性质 10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 12．（23-24高二下·北京西城·期末）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型五：等比数列基本计算量 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知等比数列的各项均为正数，是数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．128 C．32 D．64 14．（23-24高二下·河南焦作·期末）记等差数列的前项和为，若，则 . 15．（23-24高三上·河北邢台·期末）等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则 ． 题型六：等比数列的性质 16．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 题型七：等比数列前n项和的性质 19．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 20．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八：等比数列的函数特性 22．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 24．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 题型九：数列的实际应用 25．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 26．（24-25高二上·云南昆明·期末）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 27．（2023·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（    ） A．102 B．103 C．104 D．105 题型十：数列通项公式的求法 28．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 30．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 题型十一：等差（比）数列的综合问题 31．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 32．（24-25高二上·福建厦门·期末）数列满足，则 ；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为 ． 33．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 34．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 35．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 4．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前n项和为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，且，，则m等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 10．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 13．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 14．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在数列中，，则数列前10项和的值为 ． 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 17．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 18．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 19．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 20．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 等差数学与等比数列 【复习目录】 · 一：等差数列基本计算量 · 二：等差数列的性质 · 三：等差数列的函数特性 · 四：等差数列前n项和的性质 · 五：等比数列基本计算量 · 六：等比数列的性质 · 七：等比数列前n项和的性质 · 八：等比数列的函数特性 · 九：数列的实际应用 · 十：数列通项公式的求法 · 十一：等差（比）数列的综合问题 【知识梳理】 一．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项:由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列． 二．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外) (5)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 三、通项公式的求法 (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． ★★★已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． (2)当出现＝f (n)时，用累乘法求解． 四：求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. 五：判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 六、等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列． 【题型归纳】 题型一：等差数列基本计算量 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．36 B．28 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， 又因为，所以， 所以， 故选：D 2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 3．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．215 B．185 C．155 D．135 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，再根据等差数列的性质，即可求解 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得， 所以． 故选：B． 题型二：等差数列的性质 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知为等差数列，则（    ） A．126 B．144 C．162 D．180 【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d， 由，解得， 由，解得， 所以， 所以， 所以 故选： 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 6．（21-22高二下·河北保定·期中）已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误； 数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误； 由于时，，时，， 所以的最大值为，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 题型三：等差数列的函数特性 7．（21-22高二下·北京房山·期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（    ） A． B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．存在正整数，当时， 【答案】D 【分析】设等差数列的首项为，公差为，依题意可得，再根据等差数列通项公式及前项和公式一一判断即可； 【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，则， 因为为递增数列，所以， 则， 对于A：因为，又的符号无法确定，故A错误； 对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，故B错误； 对于C：因为，所以， 当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误； 对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，， 若，显然存在正整数，当时，，故D正确； 故选：D 8．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 9．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 题型四：等差数列前n项和的性质 10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 11．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到. 【详解】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以. 故选：C. 12．（23-24高二下·北京西城·期末）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，将等式运用公式化简求出，再代入通项公式即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由可知（否则不成立）， 则有，化简得，，解得，， 于是，. 故选：C. 题型五：等比数列基本计算量 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知等比数列的各项均为正数，是数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．128 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和公式和等比数列通项公式即可得到答案. 【详解】设等比数列的公比为，由题易知， 由，且，解得（负舍）. 由，即，解得. 所以. 故选：D. 14．（23-24高二下·河南焦作·期末）记等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 15．（23-24高三上·河北邢台·期末）等差数列前13项和为91，正项等比数列满足，则 ． 【答案】13 【分析】利用等差数列和等比数列的下标和性质求解可得. 【详解】由题知，，解得， 所以， 所以. 故答案为：13 题型六：等比数列的性质 16．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D 17．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列是等差数列，，数列是等比数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差等比数列的下标和性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，，则，即， 所以， 因为数列是等比数列，，则，即， 所以， 则. 故选：A. 18．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果； 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，. 故选：C. 题型七：等比数列前n项和的性质 19．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 20．（23-24高二上·广西南宁·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，则的值为（    ） A．10 B．18 C．36 D．40 【答案】D 【分析】由已知可得，再由等比数列片段和的性质和等比中项的性质求出即可. 【详解】易知， 为等比数列， ， 代入数据可得， 解得或（舍） 所以. 故选：D. 21．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 题型八：等比数列的函数特性 22．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为，且，则“为递减数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分性、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由题意得，且， ∴. 若为递减数列，则，故，充分性成立. 若，则，故，为递减数列，必要性成立. 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C. 23．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 24．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 题型九：数列的实际应用 25．（24-25高二上·河南安阳·期末）洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 26．（24-25高二上·云南昆明·期末）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 【答案】C 【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2025年的天干和地支分别为首项，即可求出答案. 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 则余0，则2125年对应的天干为乙， 余4，则2125年对应的地支为酉， 所以2125年为乙酉年. 故选：C 27．（2023·河北唐山·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（    ） A．102 B．103 C．104 D．105 【答案】C 【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，求出其通项，结合条件列不等式求出结果. 【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 由已知是的倍数，也是的倍数， 故为的倍数， 所以首项为，公差为的等差数列， 所以， 令，可得，又 解得，且， 故获得精品足球的人数为. 故选：C. 题型十：数列通项公式的求法 28．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列为等比数列，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的正负，再利用等比数列性质求解. 【详解】等比数列的公比为，则，而， 所以. 故选：B 29．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】先求，再利用与关系求出，再检验是否符合即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为： 30．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 题型十一：等差（比）数列的综合问题 31．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【详解】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 32．（24-25高二上·福建厦门·期末）数列满足，则 ；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为 ． 【答案】 7和9 【分析】根据数列的通项与前项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转化成为整数的讨论. 【详解】解法一：由，得．① 当时，，所以． 当时，有．② ①－②得，即． 因为符合，所以，． 因为，所以 显然为10的约数， 时，；时，；时，. 综上，正整数的所有取值为7和9． 解法二：由．① 当时，有，②，所以．③ ①－③得，即．又，故．下同解法一． 故答案为：；7和9 33．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，即． 又因为，则， 解得，所以． （2）由（1）可知：， 则， ． 两式相减得 ， 所以． 34．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， . 35．（24-25高二上·广西玉林·期末）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解； （2）由（1）求得，利用错位相减法可求； （3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. （2）由题意，， ① ② ①②得 所以， （3）由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·云南昆明·期中）在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式可求答案. 【详解】因为，所以，又，所以，解得. 故选：C 2．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得， 因为正项等差数列，则，则， 当时，，舍去； 当时，， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次降低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若上造与公士共出52钱，则簪袅出的钱数比大夫多（    ） A．4钱 B．8钱 C．10钱 D．12钱 【答案】B 【分析】设大夫所出的钱数为，公差为，依题列出方程组，求出，即得所求. 【详解】不妨设大夫所出的钱数为，公差为， 依题可得：， 即，解得， 因此，即簪袅出的钱数比大夫多8钱． 故选：B. 4．（24-25高二上·云南文山·期末）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等差数列的前n项和为，若，，，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先利用与的关系求出和，进而得到公差，再结合求出，最后根据通项公式求出. 【详解】根据与的关系，（）. 已知，，那么. 又因为，，所以.   所以公差.   已知，将其代入前项和公式，因为，所以. 又已知，那么.   已知，，，代入通项公式可得： , 得.   故选：B. 6．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前n项和为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式两边同时除以，可得数列是等差数列，从而可得数列的通项公式，进而可得，再由即可得解． 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以 故选：C. 7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，，且，，则m等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用递推式化简得，化简后利用裂项相消法计算求解得出，最后计算范围即可求解. 【详解】因为数列满足，，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以， ， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，由题设条件得到，从而得解. 二、多选题 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可； 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为，，且，则（    ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】BC 【分析】由递推关系取，结合，解方程求，判断A，结合等比数列定义判断B，结合等差数列定义判断C，假设结论正确，可得，结合整除性判断D. 【详解】已知，，则，， 则，，A选项错误. 由可得，又， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列，B选项正确. ， 所以是等差数列，C选项正确. 假设存在，，且，使得，，成等差数列， 则，又， 所以， ，两边同时除以得， 因为，，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，D选项错误. 故选：BC. 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 【答案】AD 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】运用累和法结合等差数列的前项和公式数列通项、裂项相消法求得，即可判断ABC选项，利用作差法判断D选项. 【详解】由题意可知：，于是有，，即， 由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确， ，B选项不正确； ， 由错位相减可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题 13．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）在数列中，，则数列前10项和的值为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式并项求和即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若单调递增数列满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 16．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【答案】 【分析】由等比数列性质得到，设出公比，由求出，从而得到，相加得到答案. 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 17．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 四、解答题 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 20．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 21．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）由求出数列的通项，再根据等差数列的定义判断即可； （2）将代入求出，进一步求得，利用错位相减法求解； （3）判断数列的单调性，求出最大项得解. 【详解】（1）当时，； 当时，. 又也符合上式，所以（）. 因为， 所以数列是等差数列. （2）由，得， 故， ， 则， 两式相减得 ， 即. （3）因为， 当时，，即，当时，易得， 所以，故是数列中的最大项，且. 要使对一切恒成立，只需即可， 故实数m的取值范围为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$