第04讲 导数综合问题【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019）》

第04讲 导数综合问题应用 【复习目录】 · 一、利用导数求解函数的单调区间、最值（不含参） · 二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） · 三、已知函数单调区间求参数范围 · 四、利用导数求解函数的极值/最值 · 五、利用导数的极值/最值求参数值 · 六、利用导数解决恒（能）成立问题 · 七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 · 八、利用导数证明不等式 · 九、利用导数解决双变量问题 · 十：导数解决实际应用问题 · 十一、参变分离法解决导数问题 · 十二、构造函数法解决导数问题 【题型归纳】 题型一、利用导数求解函数的单调区间、最值（不含参） 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 题型二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 题型三、已知函数单调区间求参数范围 5．（2024·吉林长春·一模）已知函数在处的切线平行于轴. (1)求与的关系； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 6．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 题型四、利用导数求解函数的极值/最值 7．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 8．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 题型五、利用导数的极值/最值求参数值 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 10．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 题型六、利用导数解决恒（能）成立问题 11．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 12．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 题型七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线. (1)求在处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 14．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 题型八、利用导数证明不等式 15．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 16．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 题型九、利用导数解决双变量问题 17．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 18．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 题型十：导数解决实际应用问题 19．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 20．（23-24高二下·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 题型十一、参变分离法解决导数问题 21．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； 22．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数. (1)若，且函数有极值2，求的值； (2)若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 题型十二、构造函数法解决导数问题 23．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明：当时，． 24．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【专题强化】 1．（24-25高二上·海南·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 3．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 4．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 7．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 8．（23-24高二下·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 9．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 导数综合问题应用 【复习目录】 · 一、利用导数求解函数的单调区间、最值（不含参） · 二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） · 三、已知函数单调区间求参数范围 · 四、利用导数求解函数的极值/最值 · 五、利用导数的极值/最值求参数值 · 六、利用导数解决恒（能）成立问题 · 七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 · 八、利用导数证明不等式 · 九、利用导数解决双变量问题 · 十：导数解决实际应用问题 · 十一、参变分离法解决导数问题 十二、构造函数法解决导数问题 【题型归纳】 题型一、利用导数求解函数的单调区间、最值（不含参） 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 题型二、分类讨论法证明或求解函数的单调区间（含参） 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 4．（23-24高二下·河南郑州·期末）已知函数，其中. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，利用导数研究函数单调性，从而得最值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，综合可得出函数的单调性. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，当或时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，函数在上的最大值为； （2）函数的定义域为， ， 当时，由，可得，， 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增； 当时，当时，，此时，函数单调递减， 当或时，，此时，函数单调递增， 综上所述，当时，函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在、上的单调递增，在上单调递减. 题型三、已知函数单调区间求参数范围 5．（2024·吉林长春·一模）已知函数在处的切线平行于轴. (1)求与的关系； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义列出方程即得； （2）由题意得到在上恒成立，通过变量分离，推得在上恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，可得，， 依题意，，即得， 此时切线方程为，该直线与x轴平行，所以， 所以； （2）函数在上单调递增等价于在上恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 故得且，即的取值范围是. 6．（23-24高二下·广东梅州·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)函数在区间上为单调函数，求a的取值范围． 【答案】(1)函数有极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论函数在区间上的单调性，结合导数与原函数单调性之间的关系分析求解. 【详解】（1）若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数有极小值，无极大值. （2）因为，且， 若函数在区间上为单调函数，则有： 当函数在区间上为单调递增函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最小值1，可得； 当函数在区间上为单调递减函数，则，可得， 原题意等价于对任意恒成立， 可知在区间上为单调递增函数， 当时，取到最大值6，可得； 综上所述：或， 所以a的取值范围为. 题型四、利用导数求解函数的极值/最值 7．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 8．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可. 【详解】（1）当时，，则， ∴，则在点处的切线方程为； （2）因为， 由题意，解得，检验符合， 故，列表如下： 4 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为． 由解析式易知，当时；当时，且， 所以． 综上，的增区间为、，减区间为，. 题型五、利用导数的极值/最值求参数值 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若对于任意，都有，求的值. 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2) 【分析】（1）先求出，由题意得求出，检验可得； （2）先将“不等式恒成立”问题等价转化为“恒成立”问题，再构造函数，由与，分三类探究即可. 【详解】（1），由，函数定义域为. 则， ∵在处取得极值， ∴， 设，则在单调递减， 至多一个实数根，又， 方程有且仅有一个实数根. 当时，，其中. ， ， 当时，，则，在单调递增； 当时，，则，在单调递减； 所以在处取得极大值，极大值为. 故的增区间是，减区间是； （2）由（1）知，当时，在处取最大值，且最大值为， 即任意时，都有，满足题意. 由，得， 令，则，不等式转化为， 即在恒成立. 设，其中， ，其中， ①当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递减， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； ②当时，且， 故存在，使，由在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，故不满足恒成立，即不合题意； 综上所述，若对于任意，都有，则. 【点睛】已知不等式恒成立求参数问题，我们可以先取定义域内的一个或几个特殊点探路.如题目第（2）问中得到，由恒成立，考虑，再借助与的大小分类讨论求解即可. 10．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数，当时取得极大值. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最大值是，最小值是. 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，求出的值，再代入检验即可； （2）结合（1）可得函数的单调性，从而求出极值与区间端点函数值，即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为时取得极大值； 所以，，. ①当时，， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极小值，不符合题意，所以舍去. ②当时， 由解得或；由解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减； 时取得极大值，符合题意. 综上可得：. （2）由（1）可知，，， 在，上单调递增，在上单调递减； 所以在上极大值为，极小值为； 又由于， 函数在上的最大值是，最小值是. 题型六、利用导数解决恒（能）成立问题 11．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，，其中为的导函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，分和两种情况，利用导数判断的单调性； （2）根据题意整理可得，结合的单调性可得，构建，利用导数求其最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 则，可得， ①当时，恒成立，可知在上单调递减； ②当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由可得， 整理得，即， 可得， 因为在定义域内单调递增，可得， 即，可得， 令，则. 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 可得，所以a的取值范围为. 12．（23-24高二下·四川眉山·期末）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对求导，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （2）对进行讨论，分，和，当，利用函数值的符号即可求解；当和，设，利用导数与函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）易知函数定义域为，因为 ， 令 ，得 令 ，得，令 ，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由 ，得 ， 因为，所以，， 当时，，符合题意； 设， 当时，则，所以在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，令，得 ， 令，得 ，所以 ， 则存在，使，满足题意， 综上，的取值范围是. 题型七、利用导数解决函数的零点、交点与方程的根的问题 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线. (1)求在处的切线方程. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，，即切点为， 又，所以切线方程为，即； （2）因为， 函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，，且当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 14．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数. (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)若关于x的方程恰有两个不同的实数解，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义先求斜率，即可得切线方程； （2）分，和三种情况，利用导数研究函数的图象最值，数形结合求解问题. 【详解】（1）由，得，则. 因为，， 所以的图象在点处的切线方程为. （2）显然不符合题意， 又， 当时，可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 且当时，， 当时，， 所以，化简可得， 因为在上单调递减，且， 所以不等式的解集为. 当时，可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则， 且当时，， 当时，， 所以关于x的方程不可能有两个不同的实数解. 综上，a的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 题型八、利用导数证明不等式 15．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围； (3)设，对任意的，且，证明：恒成立． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极大值. （2）根据给定条件，分享参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解. （3）等价变形不等式并换元，再构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时函数取得极大值. （2），，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减． 则当时函数取得最大值，， 所以的取值范围是. （3）依题意，， 对任意的，且，， 令，不等式化为， 令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 所以恒成立. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 16．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)增区间为，无减区间； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数研究的单调区间； （2）对函数求导，讨论、、，结合恒成立求参数范围； （3）根据（2）的结论有得，令，则，即可证结论. 【详解】（1）当时，，所以， 设，则， 当时，有，所以在区间上单调递减， 当时，有，所以在区间上单调递增， 所以，即， 所以的增区间为，无减区间． （2）， （i）当时，有，与矛盾； （ii）当时，有，所以， 所以在单调递增，故，满足题意； （iii）当时，设，则， 当时，由得，所以在上单调递减，则， 即，所以在单调递增，故，满足题意； 当时，若，则，所以在上单调递， 所以，即，所以在单调递减，故，与矛盾； 综上所述：a的取值范围为． （3）由（2）知当时，，其中a的取值范围为， 令得，，即 令，则， 所以． 题型九、利用导数解决双变量问题 17．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数．若函数有两个不相等的零点． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可； （2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点， 故， 显然当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以若要符合题意，需， 此时有，且， 令， 而， 即在上递减，故， 所以， 又， 故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意， 综上； （2）结合（1），不妨令， 构造函数， 则， 即单调递减，所以， 即， 因为，所以， 由（1）知在上单调递增，所以由， 故. 18．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）含参讨论导函数的正负即可； （2）结合（1）的结论得，则有得出，构造函数判断其最值即可. 【详解】（1）由， 若，则恒成立，即在上单调递增， 若，令得，即在上单调递增， 令得，即在上单调递减， 综上所述当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）得当时，在上单调递增， 当趋近于时，趋近于，不符合题意， 故，则， 所以， 令， 显然当时，，时，，故在时单调递减， 在上单调递增，即， 所以，即 题型十：导数解决实际应用问题 19．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材. (1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望； (2)已知每箱药材的利润如表： 等级 上等药材 中等药材 普通药材 利润（元/箱） 4000 2000 -1200 今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)需要增加产量，增加20箱最好. 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，利用古典概型的概率计算公式求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）先求出按原计划生产药材每箱平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）X的可能取值为0，1，2， ，，， X的分布列如表： X 0 1 2 P . （2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元）， 则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元， 所以增加净利润为. 设（或），则， 当时，， 当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 所以需要增加产量，增加20箱最好. 20．（23-24高二下·重庆·期末）2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量（单位：）与速度（单位：）在的函数关系为.假设电价是1元. (1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低？ (2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资，甲地到乙地的距离为，最经济的车速是，则司机每小时的工资为多少元？ 【答案】(1) (2)150元. 【分析】（1）利用导数求函数的最小值； （2）首先计算汽车行驶的总费用，并求函数的导数，由题意可知，是函数的极值点，代入即可求解. 【详解】（1）由 有，令，得或（舍）， 当时，,单调递减， 当时，,单调递增， 所以当车速为时，车辆每千米的耗电量最低； （2）设司机的工资为元，则行车的总费用为 ，由题意知时，， 得，即司机每小时的工资为150元. 题型十一、参变分离法解决导数问题 21．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 22．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数. (1)若，且函数有极值2，求的值； (2)若，且不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）代入求导，得出其单调性并求得极值表达式解方程可得的值； （2）分离参数，构造函数并求得的最大值，可求出实数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以； 当时，，因此在单调递减， 当或时，，因此在，单调递增； 即在处取得极大值，在处取得极小值； 若函数的极大值为2，即，此时； 若函数的极小值为2，即，此时； 综上可得，或； （2）若，则， 所以不等式为在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 则； 当时，，因此在单调递增， 当时，，因此在单调递减； 因此在处取得极大值，也是最大值，即， 即满足题意， 所以实数的取值范围为. 题型十二、构造函数法解决导数问题 23．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； (2)讨论的单调性； (3)若，证明：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，由函数值即直线斜率列方程求值； （2）令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解； （3）构造函数，由结合（1）中结论可得，利用函数单调性得最值，即可得证. 【详解】（1），， 又直线的斜率为， 由题意，，即. （2）， 令，则， 当，则，从而， 当，则当时，， 当时，， 综上所述，当，在定义域内是增函数，当，在上是单调递减，在上是单调递增. （3）不妨设， 则， 由（1）可知若，则在上单调递减，在上是单调递增. 则在处取最小值，则的最小值为， 从而， 则在上单调递增，所以当时，， 即当时，. 24．（23-24高二下·天津西青·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明不等式：； (3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可； （2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明； （3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，在上单调递减， 当时，令，解得：， 令，则在上单调递增． 令，则在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，，要证明：； 即证：，即证：， 设， 令，解得：， x 1 0 单调递减 0 单调递增 在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，， ．即：， ； （3）由题意得：在上恒成立， 整理得：， 参变分离即证在上恒成立， 令，则只要证明的最大值即可． ． 令解得：， （列表如下） x + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 在上单调递增，在上单调递减， ， 则实数b取值范围为. 【专题强化】 1．（24-25高二上·海南·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）令并求出x的范围，即可求函数的单调递增区间； （2）根据函数有两个零点，利用函数极大值等于零或极小值等于零列方程即可求实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. （2）由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【分析】（1）设每瓶饮料的利润为（分），由题意列出其解析式，通过求导判断其单调性，即得及此时瓶子的半径； （2）由（1）分析，易得及此时瓶子的半径. 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 3．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. （2）当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. （3）我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 4．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，递减区间为； (2) 【分析】 （1）求导，直接利用导数求单调区间即可； （2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得或， 且当时，，当时，， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； （2）由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为； 且，， 所以在上的最大值为， 因为关于x的不等式在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，所以， 所以的取值范围为． 5．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案； （2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案. 【详解】（1）由，已知其定义域为， 求导可得， 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得，可得下表： 极大值 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）要证，只需证， 令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 则，所以. 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若有两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间. （2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 方程中，， 当时，恒成立，，在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为， 递减区间为. （2）由（1）知，有两个极值点，则， ， 令函数，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递减，， 所以. 7．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数． (1)讨论的单调性； (2)已知为的两个极值点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，令，分类讨论的值即可求解； （2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且，由根与系数的关系得，令，根据导数得出即可证明． 【详解】（1）由，， 得， 令， ①当时，，则，所以在单调递增； ②当时，，令，则，解得或， i)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ii)当时，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当且时，有2个极值点，且， 则 ， 令，， 设，则， 则在单调递增，即在单调递增， 又， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 所以，所以当且时，， 所以，即． 8．（23-24高二下·贵州·期末）已知函数，在处取得极大值2． (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程组，再验证即可确定函数的解析式； （2）分类讨论函数的最小值，以及的最小值，转化为 【详解】（1），， 由题意可知，，， 即，，得， 所以，，得， 如下表，的变化情况如表所示， 0 0 减 极小值 增 极大值 减 所以符合题意，所以； （2）因为函数，在时，， 在时，，且， 所以由（1）知，当时，函数有最小值， 又因为对任意，总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 对于的开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减， 故的最小值为，得， 当时，则在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 9．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)若，求在区间上的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值； （2）求出分、讨论，可得答案； （3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 1 0 单调递减 极小值 单调递增 在区间上有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为， 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时， 若，则，从而； 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 所以最小值为，只需证明：， 即证成立， 设，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 可得，即，得证. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$