数学试题-【名校面对面】2025年河南省三甲名校高三校内自测卷（十）

河南省三甲名校25年校内自测卷（十)（ssyzx--10) 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D C 0 AC AD AC 8.C 【详解】由题意知△ABD与△BCD均为等边三角形，连接AN,CN,则AN⊥BD,CN L BD, ∠ANC是二面角A-BD-C的平面角， C 所以∠ANC=亚， 又易知4N=CN,所以△4Cv是等边三角形. 设P为△BCD的外心，Q为CN的中点，连接OP,ON,AQ,则点O,P,Q都在平面ACN内， 建立平面直角坐标系如图， 设W=C=AC=2,则P-号∠0NP=名所以0r= 9 又AQ=5,所以oP=号40，因为MOIICN,易知CM 2CA. CN 9 故选：C 11.AC 【详解】由题意心=+2有两个不等的实数根，e=+,x=n+! x-1 hx-则(-)=--n二+1 令h)=r-nx+, =-(x),即h(x)为奇函数： -x-1 当>1时，h)=>0,)为增函数 答案第1页，共8页 若h(x)=0,则h(-x)=0,又)=0，所以x+x=0. 对于A,2=ee=e=1,正确. 对于B,若吹=c华=成立，则有西，=-1，与+无=0矛盾，所以B不正确 对于C,由指数均值不等式=。>学可得=￡>1，所以上>1，C正稳 x-x X2-x3 x-x 对于D,令F(x)=e,F(x)=(x+1)e,当x>1时，F(x)>0,F(x)为增函数， 所以F(x)>FI)=e,即x为>e,D不正确. 故选：AC 【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：()对数型均值不等式：√属<<+玉 In x -In x 2 其中*，>06>0：(2)指数型均值不等式：e学<心-心<心+ - 2广，其中x≠x. 14.6 【分析】根据点A、B在抛物线上，化k+y++k+为+2到为广里+男+片+4，设出 8 直线4B方程，利用韦达定理化简广上+男十片，+4得到一元二次函数，即可求出最小值。 8 【详解】由A(:,片)在抛物线y2=8x上可知：y=8x, 所以x+y+2=++2=以中20：同理可得：名+书+2-=名5+220 8 8 故6+%+2+5+为+区+男+男+40， 8 设直线AB方程为x=mw+n,直线与抛物线联立，有： x=y+n y2=8r 消去x整理有：y2-8my-8n=0, 由韦达定理有：片+乃2=8m,又乃=-16， 1) 故0式化为：8m+8m+8=8m+与+6，故： :+另+2+x++2的最小值为6. 故答案为：6 答案第2页，共8页 15.【详解】（1)f(x)=m(x+2),m>02 令f(x)>0,得x>-2,令f(x)<0,得x<-2. 故f(x)在(-∞，-2)单调递减，在(-2，+∞)单调递增。 f()在x=-2处取得极小值/(-2列=，无极大值一 5 (2)lnf(x)≤2e对x∈(-l,+oo）恒成立，即lnm≤2e-ln(x+l)-x恒成立7 令g(x)=2e-n(x+1)-x,x∈(-l,+o),则只需nvm≤g(x)即可. 6)=20xe(L+国).易知y-2,=右一l均在（仁1+回）上单调莲瑞-10 故g(x)在(-1，+∞)上单调递增且g(0)=0. ∴当x∈(-1,0)时，g(x)<0g(x)单调递减：当x∈(0，+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增. g(x)m=g(0)=2.故lmm≤2=lne2,.0<m≤e,故m的最大值为e213 16.【详解】(1)记“甲任选一道题并答对”为事件M,“甲知道答题涉及内容”为事件A. 依恩意，P()=片，P(同子P(M利=l,PW习- 因为事件AMA与Ma互斥，所以P(M）=P(MA+MA=P(MA)+P(MA :Pw1P+PM司P国-号 5 (2)(i)P(x=4)=2×1x2x1-1 P(X=-2)= 21211 23*2g 323299 (i)依题意，随机变量X=-2,-1,0,1,2,4。 P(x=-)=2×x2x1_2 111 3329 P(X=0)=×5= 3391 P(=)=2xxx2x12 32329 P(x=2)=2x2x2x1-2 故E(0-(2xg+(-*号0xg1*子2x名+4x日 2 2 12 9 9 9 934l5 17.【详解】(1)解法一：依题意得，△PAC为正三角形，取PA中点N, 连接CN,则CN⊥PA, 因为EF⊥平面PAB,PAC平面PAB,所以EF⊥PA,所以EFI/CN, 答案第3页，共8页 又因为E为PC的中点，所以F为PN中点，则PF=一PA,3 4 因为MF∥平面ABC,MFc平面PAB, 平面PABO平面ABC=AB,即MF∥AB, 也脚PM=PB,= 解法二：因为EF⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以EF⊥AB 由AB=AC=2,BC=25可知BC2=AB2+AC2,则△ABC 为等腰直角三角形，AB⊥AC, △PAC为正三角形，取AC中点O,连结PO,则POLAC, 取BC中点Q,连结O0,则DOIIAB, 又因为EF与AC相交于平面PAC,所以ABL平面PAC,也即OQ⊥平面PAC, P B O 所以OO,OC,OP两两相互垂直，以O为原点，OQ,OC,OP所在直线分别为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系。 则4a-0,8-10.cal0.Pea,59 pA=(0,-1,-) 因为MF∥平面ABC,MFc平面PAB, 平面PABO平面ABC=AB,则MF∥AB, 因为PM=PB,所以PF=PA=(0,-元√5，F(0,-元，5-5， EF.PA=4元-1=0 所以= 46 (2)因为EFL平面PAB,ABC平面PAB,所以EF⊥AB, 答案第4页，共8页 由AB=AC=2,BC=2V2可知BC2=AB2+AC2, 则△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC, △PAC为正三角形，取AC中点O,连结PO,则PO⊥AC, 取BC中点Q,连结OQ,则OQAB, 又因为EF与AC相交于平面PAC, 所以ABL平面PAC,也即OQ⊥平面PAC, 所以OQ,OC,OP两两相互垂直，以O为原点，OQ,OC,OP所在直线分别为x轴，y 轴，：轴，建立空间直角坐标系。8 则40-o.-o0.cou0.Paa同.9- 号9mc-20.F-9 设平面M4C的一个法向量n=(xy,),则方·AM=0,元AC=0, 即r+ 15 =0取：=2，则x=5, 2 2y=0. 10 所以i=（-√5,0,2)为平面M4C的一个法向量， EF.n 所以cos<EF,n 2 13 1×4 记平面PAB与平面MAC夹角为0，sin0= tan 0=v6 所以平面PAB与平面MAC夹角的正切值为V6. 15 答案第5页，共8页 18.【详解】(1)由右焦点为F(L,0),得c=1, 因为AM=aAF,所以4-d=a(a-1), 若a≥4，则a-4=a(a-1),得a2-2a+4=0,无解， 若a<4,则4-a三aa-,得心=4，所以6=3，因此C的方程+515 (2)设B(4,),易知过B且与C相切的直线斜率存在， 设为y-1=k(x-4), y-1=k(x-4) 联立 ，消去y得(3+42）x2+8-4)x+40-42-12=0, 由△=64k2(-4k)°-43+42)4-4)°-12=0，得12k2-8k+2-3=0, 设两条切线即，配的斜率分别为，名，则大+无-音号站 12 9 ①设BF的斜率为k,则名=4一3 l0 因为k+k2 2:=2k,所以BP,BF,B0的斜率成等差数列， ②在y-1=k(x-4)中，令x=0,得yp=1-4k1,所以P(0,1-4k), 同理，得Q(0,1-4k),所以PQ的中垂线为y=1-2(k+k), 易得B即中点为21-2出).所以B即的中垂钱为y=吉：-2小+1-2， y=1-2k,+k 联立 -习1-2头”解有N站+21-26+6》 y 所以NP=(-2kk2-22k,-2k,),N0=（-2kk2-22k,-2k2) 答案第6页，共8页 要使Np.N0=0,即4(kk2+1)-4(k-k2)=0,整理得kk+1=k-,15 -低+-49 12 3 所以3+F+9 12 ,解得=7，t=万，因此BM=万， 故存在符合题意的点B,使得N炉.N0=0,此时BM=√万7 19.(1)p(2)=1:p(3)=2:p(6)=2 (2)(i)9(6”）=26-:(ii)证明见解析 【分析】(1)依题可得(m)表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数的个数，进一 步分析即可求解： (2)()依题可得1,2”中与2"互质的正整数个数为2，[1,3”中与3”互质的正整数个数 为2×3，再结合p(mn)=p(m)p(a)即可求解： (）先求得6=。一，可利用6≤5：6一，根据等比数列求和后即可求解：也可以利用放 缩法结合数列求和的裂项相消法求解 【详解】(1)依题可得(m)表示所有不超过正整数m,且与m互质的正整数的个数， 因为与2互质的数为1，所以p(2)=1:因为与3互质的数为1,2，所以(3)=2： 因为与6互质的数为1,5，所以p(6)=26 (2)()因为1,2”中与2“互质的正整数只有奇数， 所以[12]中与2”互质的正整数个数为2，所以p(2）=2,8 又因为3k-2,3](k=1,2.…,3中与3”互质的正整数只有3k-2与3k-1两个， 答案第7页，共8页 所以[1,3”中与3”互质的正整数个数为2×31,10 所以(3）=2×3，所以p(6）=p(2）p(3）=2.6"，l1 1 (解法一：因为6306矿尸，所以6，=6一所以么55.6 1 令c,=5:6m, 因为9u=5-6=1 C 1 61 5.6 所以数列{c,}是以为首项，为公比的等比数列， 6 5 所以数列{c}的前n项和s,三 所以工，< - 6 又因为>0，所以T5’ .17 解法二：因为63p6例-所以66一 1 61-1 又因为6=6-6-06-可 6 [6-y6-月611] 所以6<6-j6可6- 56”-161-1 6「11 11 1 所以T 1 56-162-162-16-16-16-1 所以z品所以x会司 6「11 66[1 因为。1之0，所以工<名 4l7 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点一：对题中定义的理解：关键点二：对b,的放缩 6 455石，或者66-川6-可 答案第8页，共8页学科网（北京）股份有限公司 数学试题 第 1 页 共 4 页 河南省三甲名校25年校内自测卷（十）（ssyzx-10） 数学试题 学科网（北京）股份有限公司 数学试题 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 数学试题 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 数学试题 第 4 页 共 4 页